向量运算法则

1、（1）实数与向量的运算法则：设 l、 m 为实数，则有：1）结合律： l(ma) =(lm)a。2）分配律： (l+m)=la+ma，l(a +b ) =la+lb。（2）向量的数量积运算法则：1） a b =b a 。2） (la) b =l(a b ) =lab =a (lb) 。3） ( a +b ) c =a c +b c 。（3）平面向量的基本定理。e , e 是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任何一向量 a ，有且仅有一 1 2对实数 l, 1l ，满足 a =le +le 。 2 1 1 2 2（4 ） a 与 b 的数量积的计算公式及几何意义： a b =|a |

2、 b | cos q ，数量积 a b 等于 a 的长度 | a | 与 b 在 a 的方向上的投影 | b | cos （5）平面向量的运算法则。q的乘积。1）设 a ( x , y ) ， b ( x , y ) ，则1 1 2 2a+b ( x +x , y +y ) 。1 2 1 22）设 a ( x , y ) ， b ( x , y ) ，则 a - b ( x -x , y -y ) 。1 1 2 2 1 2 1 23）设点 a ( x , y ) ，b ( x , y ) ，则 ab =ob -oa =( x -x , y -y ) 。1 1 2 2 2 1 2 14）设 a

3、( x, y ),lr ，则la (lx,ly) 。5）设 a ( x , y ) ， b ( x , y ) ，则 a1 1 2 2（6）两向量的夹角公式：b ( x x +y y ) 。 1 2 1 2cosq =x 21x x +y y 1 2 1 2+y 2 x 2 1 2+y22（ a ( x , y ) ， b ( x , y ) ）。 1 1 2 2（7）平面两点间的距离公式：da , b | ab |= ab ab = ( x -x )2 12+( y -y ) 2 12（a ( x , y ) ，b ( x , y ) ）。1 1 2 2（8）向量的平行与垂直：设 a ( x

4、 , y ) ， b ( x , y ) ，且 b 0，则有：1 1 2 21） a | bb la x y -x y =0 。1 2 2 12） a b （ a 0） a b 0 x x +y y =0 。1 2 1 2（9）线段的定比分公式：设 p ( x , y ) ， p ( x , y ) ， p ( x, y ) 是线段 p p 的分点， l是实数，且 p p =lpp ，则1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 x +lx x = 1 2 1 +ly +lyy = 1 2 1 +lop +lopop = 1 21 +lop =top +(1 -t )op （ t = 1 211

5、+l）。（10）三角形的重心公式：abc 三个顶点的坐标分别为 a( x , y ) 、 b ( x , y ) 、 c ( x , y ) ， abc 的重心的坐1 1 2 2 3 3标为 g (x +x +x y +y +y 1 2 3 , 1 2 33 3) 。（11）平移公式：x=x+h x=x-h op =op +pp 。 y=y+k y=y-k（12）关于向量平移的结论。1）点 p ( x, y ) 按向量 a (h, k ) 平移后得到点 p( x +h, y +k ) 。2）函数 y = f ( x) 的图像c按向量 a ( h, k ) 平移后得到图像 c: y = f (

6、x -h ) +k 。3）图像 c按向量 a ( h, k ) 平移后得到图像 c : y = f ( x ) ，则 c为 y = f ( x +h ) -k 。4）曲线 c : f ( x, y ) =0 按向量 a ( h, k ) 平移后得到图像 c : f ( x -h, y -k ) =0 。设 a=（ x ， y ）， b=(x ， y) 。1 、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。向量的加法ob+oa=oc 。a+b=(x+x ， y+y) 。a+0=0+a=a 。向量加法的 运算律 ：交换律： a+b=b+a；结合律： (a+b)+c=a+(b+c) 。 12

7、、向量的减法如果 a 、 b 是互为相反的向量，那么 a=-b ， b=-a ， a+b=0. 0 的反向量为 0 ab-ac=cb. 即“共同起点，指向被向量的减法减”a=(x,y) b=(x,y) 则 a-b=(x-x,y-y).如图： c=a-b 以 b 的结束为起点， a 的结束为终点。3 、向量的数乘实数 和向量 a 的乘积是一个向量 ，记作 a ，且 a = a 。 当 0 时， a 与 a 同方向当 1 时，表示向量 a 的有向线段在原方向（ 0 ）或反方向（ 0 ）上 伸长为原来的 倍当 0 ）或反方向（ 0 ） 上缩短为原来的 倍。数与向量的乘法满足下面的运算律结合律： (

8、a) b = (a b)=(a b) 。向量对于数的分配律（第一分配律）： ( + )a= a+ a.数对于向量的分配律（第二分配律）： (a+b)= a+ b.数乘向量的消去律： 如果实数 0 且 a= b ，那么 a=b 。 如果 a 0 且 a= a ，那么 = 。 24 、向量的数量积定义：已知两个非零向量 a,b 。作 oa=a,ob=b ,则角 aob 称作向量 a 和向量 b 的夹角，记作 a,b 并规定 0 a,b 定义：两个向量的 数量积（ 内积 、点积 ）是一个数量（没有方向） ，记作 ab 。 若 a 、b 不共线，则 ab =|a | b |cos a ， b （依定义

9、有： cos a ， b = ab / |a|b| ）；若 a、 b 共线，则 ab = a b 。向量的数量积的坐标表示： a b=xx+yy。向量的数量积的运算律a b=b a （ 交换律 ）( a)b= (ab) ( 关于数乘法的结合律 )（ a+b ) c=a c+b c（分配律）向量的数量积的性质a a=|a| 的 平方 。a b = a b=0 。|a b | a | b| 。（该 公式证明 如下： |a b|=|a | b |cos | 因为 0|cos |1，所以 |a b | a | b| ）向量的数量积与实数运算的主要不同点1 向量的数量积不满足结合律，即： (a b )

10、c a ( b c)；例如：(a b )2 a 2 b2 。2 向量的数量积不满足消去律，即：由 a b=a c (a 0) ，推不出 b=c 。 3 |a b| 与 | a | b| 不等价4 由 | a|=|b| ，推不出 a=b 或 a=-b 。5 、向量的向量积定义：两个向量 a 和 b 的 向量积向量的几何表示（外积、 叉积 ）是一个向量，记作 a b （这里“”并不是乘号，只是一 种表示方法，与“”不同，也可记做“”） 。若 a 、b 不共线，则 a b 的模是： a b =| a | b |sin a ，b ；a b 的方向是：垂直于 a 和 b ， 且 a 、 b 和 a b

11、按这个次序构成 右手系 。若 a 、 b 垂直，则 a b=0 。向量的向量积性质： a b 是以 a 和 b 为边的平行四边形 面积 。a a=0 。a 垂直 b = a b=0向量的向量积运算律a b=-b a（ a ） b= （ a b ） =a （ b ）a （ b+c ） =a b+a c.注 ： 向量没有除法，“向量 ab/ 向量 cd”是没有意义的。6 、三向量的混合积定义：给定空间三向量 a 、 b、 c ，向量 a 、 b 的向量积 ab ，再和向量 c 作 数量积 (a b ) c ，向量的混合积所得的数叫做三向量 a 、 b 、 c 的混合积，记作 (a,b,c) 或 (

12、 abc ) ，即(abc )=(a,b,c)=(a b ) c混合积具有下列性质：1 三个不共面向量 a 、b 、c 的混合积的 绝对值 等于以 a 、 b 、 c 为棱的平行 六面体的体积 v ，并且当 a 、 b、 c 构成右手系时混合积是 正数 ；当 a 、 b 、 c 构成左手系时， 混合积是 负数 ，即 ( abc )= v（当 a、b 、c 构成右手系时 =1 ； 当 a 、 b 、 c 构成左手系时 =-1 ）2 上性质的推论：三向量 a 、 b 、 c 共面的 充要条件 是 ( abc )=03 (abc )=( bca )=(cab )=-( bac )=-( cba )=-( acb )4 (a b ) c=a ( b c)7. 例题正方形 abcd,efga,chik 首尾相连， l 是 eh 中点，求证 lbgk？设 ae=a 向量, ag=a, ad=c, ab=c, ch=b,ck=b 有 aa=bb=cc=0, a