数学中考专题一 ——《数与式》复习讲义(无答案)

1、热点专题一数与式【考点聚焦】“数与式”包括有理数、实数、代数式、整式与分式四个部分数与式渗透后面各部分内容之中，联 系着所有数学知识它是开展数学学习和研究的基础，也是中考的重要考点之一数与式的考题一般以填空、选择或解答题的形式出现这部分内容的考题难度不大，但涉及的基本概 念和知识点较多实数：理解有理数、无理数、数轴、相反数、倒数、绝对值、近似数、有效数字、平方根、算术平方 根、立方根的概念知道实数与数轴上的点一一对应，并会求一个数的相反数、倒数、绝对值会用科学 记数法表示一个数，能按要求用四舍五入法求一个数的近似值能正确运用实数的运算法则进行实数的混 合运算理解实数的运算律，并能运用运算律简化

2、运算能运用实数的运算解决简单的问题会用各种方 法比较两个实数的大小整式：了解整数指数幂的意义和基本性质；了解整式的概念和有关法则，会进行简单的整式加、减、 乘、除运算；掌握平方差公式和完全平方公式，并了解其几何背景，会进行简单的计算；会用提公因式法、 公式法进行因式分解分式：了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加、减、乘、除、 乘方及混合运算二次根式：了解二次根式的概念、性质及其加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单四则运算 代数式： 理解用字母表示数的意义，能分析简单问题，并能用代数式表示，能解释简单代数式的实际背景或几何意义，会求代数式的值【热点透视】热点

3、 1：实数及有关概念的考查（包括有理数、数轴、相反数、绝对值）例 1 （1）请写出一对互为相反数的数：_和_-1答案不惟一，如：1和点评：题型新颖只需给出很简单的一对数即可如：+1，-1（2）如右图，数轴上一动点 a 向左移动 2 个单位长度到达点 b ，再向右移动 5 个单位长度到达点 c ，若点c表示的数为 1，则点a表示的数为（ ）（a）（c）7-3（b）（d）3-2答案：（d）点评：考查数轴上两点之间的距离，若 a 点对应 a，b 点对应 b，则ab = a -b（3）实数227，2 +1，2 ，( 2)0，-3，9中，有理数的个数是（ ）（a）1（b）2（c）3（d）4答案：（）点评

4、：要准确的把握有理数、无理数的概念，不能片面地从形式上判断另外，有些数能化简的，要先化简，以最简结果进行分类如：( 2) 0 =1，9 =3，-3 =3（1）有理数的分类和判断（2）求一个数的相反数、绝对值和倒数（3）利用数轴化简绝时值，或第 1 页0-2 1 1 o 比较大小这些内容是中考的常客对实数知识点的考查仍以基本题型为主，考查时多以填空、选择题形式 出现，题目中包含若干个知识点，同时渗透数形结合思想热点 2：科学记数法、近似数、有效数字的考查例 2 （1）国家 aaaa 级旅游区东江湖的蓄水量为 812 亿立方米，812 亿这个数用科学记数法表 示为_答案： 8.12 109 （2）

5、怀化市 2019 年的国民生产总值约为 3339 亿元，预计 2019 年比上一年增长 10%，表示 2019 年 怀化市的国民生产总值应是（结果保留 3 个有效数字）（ ）（） 3.67 1010 元 （） 3.673 1010 元（） 3.67 1011 元 （） 3.67 108 元答案：（a）认识和表达生活中的数据，是课标设置的主要内容之一科学记数法、近似数、有效数字的考查是中 考前两题中经常出现的题目，这类题目往往和生活相联系热点 3：实数的运算能力的考查（包括零指数幂、负整数指数幂性质的运用）例 3 （1）-1-3等于（ ）（a）2（b）-2（c）4（d）-4答案：（d）（2）计算

6、：1 - 2 - 1 - +sin 30 g - 18 2007 2 答案：-2 2点评：考查实数的运算法则、方法、技巧运算时要认真审题，确定符号，明确运算顺序，灵活运用 （3）下列各数与最接近的是（ ）（a）25（b）26（c）27（d）28答案：（b）点评：考查开方和乘方是互为逆运算，不好直接估算出来，要反过来计算各数的平方（4）小明设计了一个关于实数的运算程序如下，当输入 x 的值为时，则输出的数值为_ 答案：1点评：渗透编程中框图的思想其实就是计算：当x =2 时， x2-1的值实数的混合运算中，运算顺序和运算技巧，零指数幂和负指数幂等是中考中的热点，实数的运算主要 是由二次根式、三角

7、函数、幂等组成的混合算式的计算，一般难度不大热点 4：整式的运算及同底数幂乘法法则、积和幂的乘方法则、乘法公式的运用的考查（包括因式分 解）例 4 （）下列运算正确的是（ ）第 2 页3 m n 2222（a）a2 ga3 =a 6（b）-2a-2=-14a2（c）( -a2 )3=a5（d）-a2-2 a2=-3a2答案：（d）点评：考查幂的运算熟练掌握幂的运算公式不要搞混（2）若 2 x y 与 -3x y是同类项，则 m +n _答案：5点评：同类项是所含字母相同且相同字母的次数也相同从而，m =2 ， n =3 （3）先化简，再求值：2 a ( a +b ) -( a +b )2，其中

8、a =2008 ， b = 2007 答案：化简为： a -b ，值为 1点评：一定要先化简再求值不要直接代入求值（4）分解因式：b 2 -2b =_答案：b (b -2)点评：因式分解的一般方法，先提取公因式，然后再考虑是否能运用公式法要注意整体代换的思想 考点主要是用代数式表示数量关系，单项式的系数、次数，多项式的项和次数，整式的运算，多项式的因式分解等内容有时也出现与其他知识的综合题和探索型题为此，应重视通过对特殊现象的研究而 得出一般结论的方法，即数学上常用的归纳法热点 5：非负数的考查（包括 a 、 a （ a 0 ）、 a 的非负性）例 5 （1）如果 a，b 是任意的两个实数，下

9、列各式中的值一定是负数的是（ ）（a）-b +1（b）-(a -b )2（c）- a2+b2（d）-(a2+1)答案：（d）点评：考查a、a、a2的非负性只有-(a 2 +1)不能为 0，其它可以为 0（2）若a +1 + a +b +5 =0，求ab答案：4点评：利用a、a、a2的非负性，而a +1、a +b +5的和为 0，只有a +1 =0，a +b +5 =0，解得：a =-1， b =-4，再代入计算a 、 a 、a 2 的非负性，是中学数学中一个很重要的性质利用它们的这个性质，可以处理很多问题，第 3 页；第 3 个数：16 =2应用很广热点 6：分式的意义、分式的基本性质及分式的

10、混合运算考查例 6 （1）当 x_时，分式x +2x -2有意义答案：x 2点评：分式有意义，分母必须不为 0即x -2 0（2）分式2m +5的值为 1 时，m 的值是（ ）（a）m =2（b）m =-2（c）m =-3（d）m =3答案：（c）点评：让分式等于 1，然后解分式方程（3）已知分式：a =x2 1 1， b = + ( x 1) 2 -1 x +1 1 -x下面三个结论：a，b 相等；a，b 互为相反数；a，b 互为倒数请问哪个正确？为什么？答案：点评：题型新颖其实就是计算 b， 再与 a 进行比较分式的考点主要是分式有意义、分式的值，分式的运算、分式的化简、求值的方法和技巧命

11、题形式 有填空题、选择题，有关运算、化简求值的题目多以解答题的形式出现热点 7：二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，二次根式的性质及计算的考查例 7 （1）16 的平方根是_答案：4点评：注意平方根、算术平方根的区别（2）要使二次根式2 x -6有意义，x 应满足的条件是（ ）（a） x 3（b）x 3（d） x 3答案：（a）点评：被开方数必须大于或等于 0，不要忘了等号 （3）计算： 18 - 8 _答案：2点评：先化成最简二次根式，再合并重点考查最简二次根式、同类二次根式的概念，以及二次根式的化简、求值通常以填空题、选择题 的形式出现，常与一元二次方程、函数等知识相联系热点 8：

12、探究规律，发现规律的考查例 8 （1）观察一列有规律的数：4，8，16，32，它的第 2 007 个数是（ ）（a）22007（b）22007-1（c）22008（d）22006答案：（c）点评：第 1 个数：4 =22；第 2 个数：8 =23 4；第 2 007 个数：22008认真观第 4 页 察，从特殊到一般 （2）观察下列各式：猜想：答案：13 +23 +33 +l +10 3 552=_点评：1+23，1+2+36，1+2+3+410 （ 3 ） 观 察 ：1 1 1 1 1 1 1 1 =1 - ， = - ， = -12 2 2 3 2 3 3 4 3 4将 以 上 三 个 等

13、 式 两 边 分 别 相 加 得 ：1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 + + =1 - + - + - =1 - =12 2 3 3 4 2 2 3 3 4 4 4猜想并写出：1 n(n +1)=_直接写出下列各式的计算结果： 1 1 1 1+ + +l + = 12 2 3 3 4 2006 2007_1 1 1 1+ + +l + = 12 2 3 3 4 n( n +1)_探究计算：1 1 1 1+ + +l +2 4 4 6 6 8 2006 2008答案：1 1 2006 n 1003 - ； ， ； n n +1 2007 n +1 4016点评：认真观察：1 1 1= -

14、n( n +1) n n +1而中原式=1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1- + - + - + -2 2 4 2 4 6 2 6 8 2 2006 2008归纳、猜想型试题是近年中考出现的新题型，其特点是：给出一组具有递进关系的数、式子、图形， 或某个由简单到复杂的操作过程，或某一具体的问题情境，通过探求其变化过程中的规律，归纳或猜想出 一般性的结论；有的题目还要求对结论的正确性加以验证解答这类试题的思路是：从简单的、局部的、 特殊的情形出发，通过分析、比较、提炼，发现其中的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论【考题预测】1_的倒数是-112； 0.28 的相反数是_2当 x_时，

15、分式x -2x +5有意义3二次根式x -4有意义，则 x 的取值范围_4如下图，是一个简单的数值运算程序，当输入 x 的值为 5 3 -的绝对值是_第 5 页-1时，则输出的数值为_2 21-1 6 （ 1）数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是 _，数轴上表示 1 和-3的两点之间的距离是_（2）数轴上表示 x 和 -1的两点 a 和 b 之间的距离是_，如果 ab =2 ，那么 x =_7当代数式x +3 x +5 的值为 7 时，代数式 3x +9 x -2的值是_8如果a x =2 ， a y =3 ，则 a2 x +3 y=_9下列说法中，不正确的是（ ）（a） -1的平方是 1（

16、b） -1的平方根是-1（c）-1的立方是-1（d）-1的立方根是-110( -3)2的值等于（ ）（a）-3（b）3（c）9（d）-911如果 a 是实数，那么下面说法正确的是（ ）（a）-a一定是负数 （b）a一定是正数（c）a的倒数是 （d）a2一定不是负数12下列根式中，与3是同类二次根式的是（ ）（a）24（b）12（c）32（d）813下列运算中错误的是（ ）（a）a2 ga =a 3（b）2 a +3b =6 ab（c）a4a2=a2（d）( -ab )2 =a 2b 214如果a b，那么一定有（ ）（a）a b（b）a =b（c）a b（d）a b15适合( a -3)2 =3 -a的正整数 a 的值有（ ）（a）1 个