空间点、直线、平面之间的位置关系

1、.第八章立体几何初步第 1 课时空间点、直线、平面之间的 位置关系对应学生用书（文）9799页 （理）99101页 考情分析考点新知理解空间点、线、面的位置关系；会用数学语言规范的表述空间点、线、面的位置关 理解空间直线、平面位置关系的定义， 系了解公理 1、2、3 及公理 3 的推论 1、2、 能判定空间两直线的位置关系；了解异面直3，并能正确判定；了解平行公理和等角定理线所成角.1. (原创)已知点 p、q，平面，将命题“p，qpq”改成文字叙述是_ 答案：若点 p 在平面 内，点 q 不在平面 内，则直线 pq 不在平面 内解析：正确理解符号语言表达空间点、线、面之间的位置关系，能正确进

2、行自然语言、 图形语言和符号语言的相互转化2. (原创)有下列命题：空间四点共面，则其中必有三点共线；空间四点不共面，则 其中任何三点不共线；空间四点中有三点共线，则此四点共面；空间四点中任何三点不 共线，则此四点不共面其中正确的命题是_(填序号)答案：解析：只须四点共面，任何三点不必共线；正确；错误3. (必修 2p 习题 1 改编)在正方体 abcda b c d 中，与 ad 平行的对角线有_ 条.28 1 1 1 1 1答案：1解析：与 ad 平行的对角线仅有 1 条，即 bc .1 14. (必修 2p 练习 12 改编)如图所示，在三棱锥 abcd 中，e，f，g，h 分别是棱 a

3、b，31bc，cd，da 的中点，则(1) 当 ac，bd 满足条件_时，四边形 efgh 为菱形；(2) 当 ac，bd 满足条件_时，四边形 efgh 是正方形答案：acbd acbd 且 acbd1 1解析：易知 ehbdfg，且 eh bdfg，同理 efachg，且 ef achg，2 2显然四边形 efgh 为平行四边形要使平行四边形 efgh 为菱形需满足 efeh，即 acbd； 要使四边形 efgh 为正方形需满足 efeh 且 efeh，即 acbd 且 acbd.5. (必修 2p 练习 3 改编)设 p 表示一个点，a，b 表示两条直线，、 表示两个平面，24给出下列四

4、个命题，其中正确的命题是_(填序号) pa，p a ； abp，ba；. ab，a，pb，pb； b，p，p p b.答案：解析：当 ap 时，p，p，但 a ， 错；ap 时，错；如图， ab，pb， p a， 由直线 a 与点 p 确定唯一平面 .又 ab，由 a 与 b 确定唯一平面 ，但 经过直线 a 与点 p， 与 重合， b 公共点必在其交线上，故正确，故正确；两个平面的1. 公理 1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平 面内公理 2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他的公共点，这些公共点的集合 是一条直线公理 3：经过不在同一直线上的三点，

5、有且只有一个平面推论 1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面推论 2：经过两条相交直线，有且只有一个平面推论 3：经过两条平行直线，有且只有一个平面2. 空间两条直线的位置关系位置关系 共面情况 公共点个数相交直线 在同一平面内 1平行直线 在同一平面内 没有异面直线 不同在任何一个平面内 没有3. 平行直线的公理及定理(1) 公理 4：平行于同一条直线的两条直线平行(2) 定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角 相等备课札记.1 1.题型 1 平面的基本性质例 1 画一个正方体 abcda b c d ，再画出平面 acd 与平面 bdc 的交

6、线，并且说明1 1 1 1 1 1理由解：fcd 、f平面 acd 、eac、e平面 acd 、ebd、e平面 bdc 、fdc 、 1 1 1 1 1f平面 dc b，则 ef 为所求1备选变式（教师专享）在长方体 abcda b c d 的 a c 面上有一点 p(如图所示，其中 p 点不在对角线 b d )上1 1 1 1 1 1 1 1(1) 过 p 点在空间作一直线 l，使 l直线 bd，应该如何作图？并说明理由； (2) 过 p 点在平面 a c 内作一直线 m，使 m 与直线 bd 成 角，其中 0， 2 ，这样的直线有几条，应该如何作图？解：(1) 连结 b d ，bd，在平面

7、 a c 内过 p 作直线 l，使 lb d ，则 l 即为所求作的直1 1 1 1 1 1线，如图(a) b d bd，lb d ， l直线 bd.1 1 1 1图(a)(2) bdb d ， 直线 m 与直线 bd 也成 角，即直线 m 为所求作的直线，如图(b)由1 1 图知 m 与 bd 是异面直线，且 m 与 bd 所成的角 0， . 2 当 时，这样的直线 m 有且只有一条，当 时，这样的直线 m 有两条 2 2图(b)题型 2 共点、共线、共面问题.1,例 2) 如图，四边形 abef 和 abcd 都是直角梯形，badfab90，bc=21ad，be= fa，g、h 分别为 f

8、a、fd 的中点2(1) 证明：四边形 bchg 是平行四边形(2) c、d、f、e 四点是否共面？为什么？1 1(1) 证明：由已知 fgga，fhhd，可得 gh= ad.又 bc= ad， gh=bc.2 2四边形 bchg 为平行四边形1(2) 解：(解法 1)由 be= af，g 为 fa 中点知，be=fg， 四边形 befg 为平行四2边形 efbg.由(1)知 bgch， efch， ef 与 ch 共面又 dfh， c、 d、f、e 四点共面1(解法 2)如图，延长 fe、dc 分别与 ab 交于点 m、m， be= af， b 为 ma2中点1 bc= ad， b 为 ma

9、 中点 m 与 m重合，即 fe 与 dc 交于点 m(m) 2c、d、f、e 四点共面变式训练如图，在正方体 abcda b c d 中，对角线 a c 与平面 bdc 交于点 o，ac、bd 交于1 1 1 1 1 1点 m，e 为 ab 的中点，f 为 aa 的中点求证：1(1) c 、o、m 三点共线；1(2) e、c、d 、f 四点共面1证明：(1) c 、o、m平面 bdc ，又 c 、o、m平面 a acc ，由公理 2 知，点1 1 1 1 1c 、o、m 在平面 bdc 与平面 a acc 的交线上， c 、o、m 三点共线1 1 1 1 1(2) 连结 ef，a、b、c、d

10、， e、f 分别是 ab，a a 的中点， efa b. a b1 1 1cd ， efcd . e、c、d 、f 四点共面1 1 1题型 3 空间直线位置关系问题.2 22 2 2 2 2.例 3 已知 a 是bcd 平面外的一点，e，f 分别是 bc，ad 的中点(1) 求证：直线 ef 与 bd 是异面直线；(2) 若 acbd，acbd，求 ef 与 bd 所成的角(1) 证明：假设 ef 与 bd 不是异面直线，则 ef 与 bd 共面，从而 df 与 be 共面，即 ad 与 bc 共面，所以 a、b、c、d 在同一平面内，这与 a 是bcd 平面外的一点相矛盾故直 线 ef 与

11、bd 是异面直线(2) 解：取 cd 的中点 g，连结 eg、fg，则 egbd，所以相交直线 ef 与 eg 所成的角，1即为异面直线 ef 与 bd 所成的角在 egf 中，由 egfg ac，求得feg45，即2异面直线 ef 与 bd 所成的角为 45.备选变式（教师专享）已知四棱锥 pabcd 的顶点 p 在底面的射影恰好是底面菱形 abcd 的两条对角线的交点， 若 ab3，pb4，则 pa 长度的取值范围为_答案：( 7，5)解析：由题意知 po平面 abcd，ab3，pb 4，设 poh，obx，则 pa h 9 x 16x x 9252x ，因为 0x3，所以 7252x 2

12、5，所以 7pa5.1. (2013 福州检测)给出下列四个命题：1 没有公共点的两条直线平行；2 互相垂直的两条直线是相交直线；3 既不平行也不相交的直线是异面直线；4 不同在任一平面内的两条直线是异面直线其中正确命题是_(填序号)答案：解析：没有公共点的两条直线平行或异面，故命题错；互相垂直的两条直线相交或异 面，故命题错；既不平行也不相交的直线是异面直线，不同在任一平面内的两条直线是异 面直线，命题、正确2. 下列命题错误的是_ (填序号)1 如果平面 平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面 ；2 如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 ；3 如果平面 平面

13、，平面 平面 ，l，那么直线 l平面 ；4 如果平面 平面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面 .答案：解析：根据长方体模型可知，是错的3. 如图是正四面体的平面展开图，g，h，m，n 分别为 de，be，ef，ec 的中点，在 这个正四面体中：.1 gh 与 ef 平行；2 bd 与 mn 为异面直线；3 gh 与 mn 成 60角；4 de 与 mn 垂直以上四个命题中，正确命题的是_(填序号)答案：解析：还原成正四面体知 gh 与 ef 为异面直线，bd 与 mn 为异面直线，gh 与 mn 成 60角，demn.4. 若直线 l 不平行于平面 ，且 l ，则下列命题正确的是_ (填序号

14、)1 内的所有直线与 l 异面；2 内不存在与 l 平行的直线；3 内存在唯一的直线与 l 平行；4 内的直线与 l 都相交答案：5. 从正方体 abcda b c d 的 8 个顶点中任意取 4 个不同的顶点，这4 个顶点可能是：1 1 1 1(1) 矩形的 4 个顶点；(2) 每个面都是等边三角形的四面体的 4 个顶点；(3) 每个面都是直角三角形的四面体的 4 个顶点；(4) 有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体的 4 个顶点其中正确的结论有_ 个答案：4解析：四边形 abcd 适合(1)，四面体 acb d 适合(2)，db c d 适合(3)，da c d 适合(4

15、)，1 1 1 1 1 1 1 1因此正确的结论有 4 个1. 若空间中有两条直线，则 “这两条直线为异面直线 ”是“这两条直线没有公共点 ” 的_条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”)答案：充分不必要解析：若两条直线无公共点，则两条直线可能异面，也可能平行若两条直线是异面直 线，则两条直线必无公共点2. (2013 南昌模拟)若 p 是两条异面直线 l、m 外的任意一点，则下列命题中假命题的是 _ (填序号)1 过点 p 有且仅有一条直线与 l、m 都平行；2 过点 p 有且仅有一条直线与 l、m 都垂直；3 过点 p 有且仅有一条直线与 l、m 都相交；4

16、 过点 p 有且仅有一条直线与 l、m 都异面答案：解析：是假命题，因为过点 p 不存在一条直线与 l、m 都平行；是真命题，因为过 点 p 有且仅有一条直线与 l、m 都垂直，这条直线与两异面直线的公垂线平行或重合；是 假命题，因为过点 p 也可能没有一条直线与 l、m 都相交；是假命题，因为过点 p 可以作 出无数条直线与 l、m 都异面，这无数条直线在过点 p 且与 l、m 都平行的平面上.3. 如图，在四面体 abcd 中作截面 pqr，若 pq、cb 的延长线交于 m，rq、db 的延 长线交于 n，rp、dc 的延长线交于 k.求证： m、n、k 三点共线证明： mpq，直线 pq

17、平面 pqr，mbc，直线 bc平面 bcd， m 是平面 pqr 与平面 bcd 的一个公共点，即 m 在平面 pqr 与平面 bcd 的交线 l 上同理可证：n、k 也在 l 上 m、n、k 三点共线4. 已知：a、b、c、d 是不共点且两两相交的四条直线，求证：a、b、c、d 共面 证明：证法 1：若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设 a、b、c 相交于一点 a，直线 d 和 a 确定一个平面 .又设直线 d 与 a、b、c 分别相交于 e、f、g，则 a、e、f、g.a、e，a、ea， a .同理可证 b，c. a、b、c、d 在同一平面 内证法 2：当四条直线中任何三条都不共点时，如图 这四条直线两两相交，则设相 交直线 a、b 确定一个平面 .设直线 c 与 a、b 分别交于点 h、k，则 h、k.又 h、kc， c.同理可证 d. a、b、c、d 四条直线在同一平面 内1. 证明点线共面的常用方法：一是依据题中所给条件先确定一个平面，然后证明其余