电磁场与电磁波课后答案第1章

1、给定三个矢量、和如下：求：（ 1）；（2）；（ 3）；（ 4）；（5）在上的分量； （6）； （7）和；（8）和。解 （ 1）（2）（ 3） 11（ 4）由 ，得（ 5）在上的分量（6）（7）由于所以（8）三角形的三个顶点为、和。（1）判断是否为一直角三角形；（2）求三角形的面积。解 （ 1）三个顶点、和的位置矢量分别为则 ， ，由此可见故为一直角三角形。（2）三角形的面积 求点到点的距离矢量及的方向。解 ，则且与、轴的夹角分别为给定两矢量和，求它们之间的夹角和在上的分量。解 与之间的夹角为在上的分量为给定两矢量和，求在上的分量。解所以在上的分量为证明：如果和，则；解 由，则有，即由于，于是得

2、到故那么便可以确定该未知矢量。如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积， 设为一已知矢量，而，和已知，试求。解 由，有 故得1）直角坐标中的坐标； （ 2）球坐在圆柱坐标中，一点的位置由定出，求该点在： 标中的坐标。解 （ 1）在直角坐标系中 、 故该点的直角坐标为。（ 2）在球坐标系中、故该点的球坐标为用球坐标表示的场，（ 1）求在直角坐标中点处的和；（ 2）求在直角坐标中点处与矢量构成的夹角。解 （ 1）在直角坐标中点处， ，故（ 2）在直角坐标中点处， ，所以故与构成的夹角为 球坐标中两个点和定出两个位置矢量和。证明和间夹角的余弦为解由得到一球面的半径为，球心在原点上，计算： 的值

3、。 解在由、和围成的圆柱形区域，对矢量验证散度定理。解 在圆柱坐标系中所以又故有求（ 1）矢量的散度； （ 2）求对中心在原点的一个单位立方体的积分； （ 3）求对此立 方体表面的积分，验证散度定理。解 （ 1）（ 2）对中心在原点的一个单位立方体的积分为（ 3）对此立方体表面的积分故有 计算矢量对一个球心在原点、半径为的球表面的积分，并求对球体积的积分。解又在球坐标系中， ，所以求矢量沿平面上的一个边长为的正方形回路的线积分，此正方形的两边分别与轴和 轴相重合。再求对此回路所包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。解又所以故有求矢量沿圆周的线积分，再计算对此圆面积的积分。证明：（1）; （2）;

4、（ 3）。其中，为一常矢量。 解（1）（2）（3）设，则，故一径向矢量场表示，如果，那么函数会有什么特点呢？ 解在圆柱坐标系中，由可得到为任意常数。在球坐标系中，由可得到给定矢量函数，试求从点到点的线积分：（1）沿抛物线；（2）沿连接该两点的直线。这个是保守场吗？解（1）（2）连接点到点直线方程为即故由此可见积分与路径无关，故是保守场。求标量函数的梯度及在一个指定方向的方向导数，此方向由单位矢量定出；求点的 方向导数值。解题图故沿方向的方向导数为点处沿的方向导数值为试采用与推导直角坐标中相似的方法推导圆柱坐 标下的公式解在圆柱坐标中，取小体积元如题图所示。矢量 场沿方向穿出该六面体的表面的通量

5、为同理因此，矢量场穿出该六面体的表面的通量为故得到圆柱坐标下的散度表达式方程给出一椭球族。求椭球表面上任意点的单位法向矢量。 解由于故椭球表面上任意点的单位法向矢量为现有三个矢量、为1）哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度表示？（ 2）求出这些矢量的源分布。解（1）在球坐标系中故矢量既可以由一个标量函数的梯度表示，也可以由一个矢量函数的旋度表示； 在圆柱坐标系中故矢量可以由一个标量函数的梯度表示；直角在坐标系中 故矢量可以由一个矢量函数的旋度表示。（ 2）这些矢量的源分布为，；，；利用直角坐标，证明解 在直角坐标中证明解 根据算子的微分运算性质，有式中表示只对矢量作微分运算，表示只对矢量作微分运算。 由，可得同理故有利用直角坐标，证明解 在直角坐标中 所以利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意义下证明及，试证明之。解 （ 1）对于任意闭合曲线为边界的任意曲面，由斯托克斯定理有由于曲面是任意