11 第四章 弯曲应力(4)

1、第四章第四章 弯曲应力弯曲应力 4- -1 对称弯曲的概念及梁的计算简图对称弯曲的概念及梁的计算简图 4- -3 平面刚架和曲杆的内力图平面刚架和曲杆的内力图 4- -4 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力 梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件 4- -5 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力 梁的切应力强度条件梁的切应力强度条件 4- -6 梁的合理设计梁的合理设计 -3 -3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式惯性矩和惯性积的平行移轴公式 组组 合截面的惯性矩和惯性积合截面的惯性矩和惯性积 4- -2 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 4- -2 梁的剪力和弯矩梁的剪

2、力和弯矩 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 2021-6-12 2 1 1、两点假设：、两点假设： 剪应力与剪力平行；剪应力与剪力平行； 矩中性轴等距离处，剪应力矩中性轴等距离处，剪应力 相等。相等。 2 2、研究方法：分离体平衡。、研究方法：分离体平衡。 在梁上取微段如图在梁上取微段如图b b； 在微段上取一块如图在微段上取一块如图c c，平衡，平衡 0)( 112 dxbFFX NN dx x M(x) y M(x)+d M(x) dx 图图a 图图b 图图c )(xFS ( ) S F x s s x y z s s1 1 1 1 b 一、一、 横力弯曲时切应力的计算横力弯曲时切应力的计算

3、4-5 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力 梁的切应力强度条件梁的切应力强度条件 2021-6-12 3 dx x M(x) y M(x)+d M(x) dx 图图a 图图b 图图c z z A z A N I MS Ay I M AF dd 1 s z z N I SMM F )d( 2 z zS z z bI SF bI S x M d d 1 由剪应力互等由剪应力互等 1 ( ) s z F S y bI )(xFS ( ) S F x s s x y z s s1 1 1 1 b 0)( 112 dxbFFX NN 2021-6-12 4 dx x M(x) y M(x)+d M(x

4、) dx 图图a 图图b 图图c )(xFS ( ) S F x s s x y z s s1 1 1 1 b FS为截面剪力；为截面剪力； Sz 为为y点所对应的水平线以下的点所对应的水平线以下的 面积对中性轴的静矩面积对中性轴的静矩. Iz为整个截面对为整个截面对z轴之惯性矩；轴之惯性矩； b 为截面宽度为截面宽度, sz z FS bI 公式公式中各量的意义中各量的意义 2021-6-12 5 max 3 1.5 2 S F A ) 4 ( 2 2 2 y h I F z S 矩 Fs 方向：与横截面上剪力方向相同；方向：与横截面上剪力方向相同； 大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度大小：沿

5、截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线。分布为抛物线。 最大剪应力为平均剪应力的最大剪应力为平均剪应力的1.51.5倍。倍。 ) 4 ( 2 ) 2 ( 2 2 2 2 y hb y h b y h AyS cz 2 2 3 6 () 4 S Fh y bh y h b z 0 2 2 3 0 时，当 时，当 h y bh F y S 2021-6-12 6 二、其它截面梁横截面上的剪应力二、其它截面梁横截面上的剪应力 1 1、研究方法与矩形截面同、研究方法与矩形截面同; ;剪应力的计算公式亦为：剪应力的计算公式亦为： FS为截面剪力；为截面剪力； Sz 为为y点所对应的水平线以下的面积对中性

6、轴的静矩点所对应的水平线以下的面积对中性轴的静矩. Iz为整个截面对为整个截面对z轴之惯性矩；轴之惯性矩； b 为为y点处截面宽度。点处截面宽度。 Z ZS bI SF 2021-6-12 7 y z b B H h （1 1）工字形截面上的弯曲切应力）工字形截面上的弯曲切应力 主要考虑腹板上的弯曲切应力主要考虑腹板上的弯曲切应力 腹板腹板 翼缘翼缘 )/( max max max zz S z zS SIb F bI SF max y min min 其中其中 A z ydAS max FS ; max A FS f 结论：结论： 翼缘部分翼缘部分 max 腹板上的腹板上的 max， ，只计

7、算腹板上的 只计算腹板上的 max。 。 铅垂剪应力主要腹板承受（铅垂剪应力主要腹板承受（9597%），且），且 max min 故工字钢最大剪应力 故工字钢最大剪应力 A Af f 腹板的面积。 腹板的面积。 ; max A Fs f max min 翼缘部分主要承担截面的弯矩翼缘部分主要承担截面的弯矩. 腹腹 板板 2021-6-12 9 （2 2）圆形、圆环形截面上的弯曲切应力）圆形、圆环形截面上的弯曲切应力 y z FS 最大切应力在中性轴处：最大切应力在中性轴处： 3 4 3 4 max A F S bI SF z zS y 任意水平线上某点处任意水平线上某点处 切应力的切应力的 y

8、 方向分量方向分量 K y y z FS 最大切应力也在中性轴处：最大切应力也在中性轴处： 22 max A F S max max y 2021-6-12 10 (3)(3)槽钢：槽钢： e x y z P S FRR z zS bI SF ，合力为腹板上; 。合力为翼缘上H z S I AF ; 2 1 0)d( A x dAM 力臂 R Hh e e S F e h S F 2021-6-12 11 （1）横截面上切应力的存在使得梁在弯）横截面上切应力的存在使得梁在弯 曲时横截面出现翘曲，不再保持平面。曲时横截面出现翘曲，不再保持平面。 （2）横截面上的正应力与切应力最大值之比）横截面上

9、的正应力与切应力最大值之比 h l max max s 对细长梁对细长梁( l/h 5 ) ,主要为弯曲正应力。主要为弯曲正应力。 （3）某些形状的截面（薄壁梁如）某些形状的截面（薄壁梁如T梁、梁、L梁、工字梁）梁、工字梁） 或某些受力情况（如支座附近有较大集中力）下，横截或某些受力情况（如支座附近有较大集中力）下，横截 面上的切应力是主要应力。面上的切应力是主要应力。 max 中性轴处：中性轴处： max 上下缘：上下缘：0 F 4 max Fl M 2 max F F S h l 2 max max s 22 max 2 36 4bh Fl bh Fl s bh F bh F 8 3 24

10、 3 max 2021-6-12 12 1 1、危险面与危险点分析：、危险面与危险点分析： 一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上 下边缘上；最大剪应力发生在剪力绝对值最大的截面的中下边缘上；最大剪应力发生在剪力绝对值最大的截面的中 性轴处。性轴处。 s ss s s s M 三、梁的正应力和剪应力强度条件三、梁的正应力和剪应力强度条件 S F 2021-6-12 13 带翼缘的薄壁截面，最大正应力与最大剪应力的情况与上带翼缘的薄壁截面，最大正应力与最大剪应力的情况与上 述相同；还有一个可能危险的点，在述相同；还有一个可能危险的点，

11、在Fs和和M均很大的截面均很大的截面 的腹、翼相交处。（以后讲）的腹、翼相交处。（以后讲） s s M s s S F 2021-6-12 14 正应力强度条件正应力强度条件 当截面上下不对称时：当截面上下不对称时： t sss max c sss max C M=Fl/4 max s max s max s max s ss max max z W M 当截面上下对称时：当截面上下对称时： 2 2、正应力和剪应力强度条件：、正应力和剪应力强度条件： 2021-6-12 15 弯曲切应力强度条件弯曲切应力强度条件 梁弯曲时，横截面上切应力的危险点：梁弯曲时，横截面上切应力的危险点： 剪力最大截

12、面的中性轴上（此处正应力恰好为零），剪力最大截面的中性轴上（此处正应力恰好为零）， 纯剪切应力状态纯剪切应力状态 F C AB (FS) F/2 F/2 F/2 max max 切应力强度条件切应力强度条件 max max bI SF z zS 2021-6-12 16 、校核强度：、校核强度： 校核强度：校核强度： 设计截面尺寸：设计截面尺寸： 设计载荷：设计载荷： ; maxmax ss max s M Wz )( ; maxmax MfPWM z s 3 3、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算： 2021-6-12 17 4.梁的

13、弯曲强度计算的若干问题梁的弯曲强度计算的若干问题 （1）一般的细长非薄壁梁（跨高比）一般的细长非薄壁梁（跨高比 l/h 较大），可较大），可 只校核正应力强度条件（此时切应力强度条件多自只校核正应力强度条件（此时切应力强度条件多自 动满足）。动满足）。 F C AB l h ，应正确找出梁的拉应力危险点和压应，应正确找出梁的拉应力危险点和压应 力危险点（可能不在同一截面上）并分别校核。力危险点（可能不在同一截面上）并分别校核。 (2)注意脆性材料且截面上下不对称的梁，注意脆性材料且截面上下不对称的梁， ss maxmax ss （3 3）各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，各向异性材料（如木

14、材）的抗剪能力较差，要校要校 核剪应力。核剪应力。 2021-6-12 18 (4)薄壁梁、跨度小的高梁（薄壁梁、跨度小的高梁（ l/h 较小）或支座附近较小）或支座附近 有较大集中力有较大集中力除校核正应力强度条件外，还除校核正应力强度条件外，还 应校核切应力强度条件。应校核切应力强度条件。 (5) 组合梁的特殊面（胶接面，焊接面，铆接面）组合梁的特殊面（胶接面，焊接面，铆接面） 应进行切应力强度校核。应进行切应力强度校核。 (6)注意：薄壁梁截面上的特殊点，注意：薄壁梁截面上的特殊点， ，这些点的强度校，这些点的强度校 核见核见。 s ss s 2021-6-12 19 5.梁的强度计算问

15、题步骤梁的强度计算问题步骤 三类问题三类问题 1 1、强度校核、强度校核 2 2、截面设计、截面设计 （正应力强度、切应力强度）（正应力强度、切应力强度） （一般从正应力强度出发设计截（一般从正应力强度出发设计截 面，再校核切应力强度）面，再校核切应力强度） 3 3、确定允许载荷、确定允许载荷 （一般从正应力强度出发定最大载（一般从正应力强度出发定最大载 荷，再校核切应力强度）荷，再校核切应力强度） （1 1）先根据梁的受力，画出剪力、弯矩图，从中找）先根据梁的受力，画出剪力、弯矩图，从中找 出出 。 max maxmax , S FMM （2 2）根据截面几何参数，计算截面形心及关于中性轴）

16、根据截面几何参数，计算截面形心及关于中性轴 的的 ， 21 , zzz WWI maxz S 2021-6-12 20 （4）分别计算）分别计算 并带入强度并带入强度 条件校核。条件校核。 maxmaxmax ,ss （5）截面设计或确定允许载荷，一般先考虑正）截面设计或确定允许载荷，一般先考虑正 应力强度进行计算，再用切应力强度条件校核。应力强度进行计算，再用切应力强度条件校核。 （3）综合考虑内力及截面几何特点，找出梁的危）综合考虑内力及截面几何特点，找出梁的危 险截面、危险点位置。险截面、危险点位置。 2021-6-12 21 解：解：画内力图求危面内力画内力图求危面内力 例例1 矩形矩

17、形(b h=0.12m 0.18m）截面木截面木 梁如图，梁如图，s s=7MPa， =0. 9 M Pa， 试求最大试求最大正应力和最大剪应力之比正应力和最大剪应力之比, 并校核梁的强度。并校核梁的强度。 N5400 2 33600 2 max qL FS Nm4050 8 33600 8 22 max qL M q=3.6kN/m x M + 8 2 qL A B L=3m 2 qL 2 qL + x FS 2021-6-12 22 求最大应力并校核强度求最大应力并校核强度 应力之比应力之比 7 .16 3 2 max max max h L Q A W M z s q=3.6kN/m x

18、 M + 8 2 qL Q 2 qL 2 qL + x 7MPa6.25MPa 18. 012. 0 405066 22 maxmax max s s bh M W M z 0.9MPa0.375MPa 18. 012. 0 54005 . 1 5 . 1 max max A FS 23 例题例题2 2 对于由对于由56a号工字钢制成的如图号工字钢制成的如图a所示简支梁，试所示简支梁，试 求梁的横截面上的最大切应力求梁的横截面上的最大切应力 max和同一横截面上腹板上和同一横截面上腹板上a点点 处处( (图图b) )的切应力的切应力 a 。梁的自重不计。梁的自重不计。 24 图图d为该梁的剪力

19、图，最大剪力为为该梁的剪力图，最大剪力为FS,max，存在于除两个端，存在于除两个端 截面截面A，B和集中荷载和集中荷载F 的作用点处的作用点处C 以外的所有横截面上。以外的所有横截面上。 (d) 解：解：由型钢表查得由型钢表查得56a号工字钢截面的尺寸如图号工字钢截面的尺寸如图b所示，且所示，且 根据型钢表有根据型钢表有Ix=65 586 cm4和和 。 前者就是前前者就是前 面一些公式中面一些公式中Iz，而后者就是我们以前在求，而后者就是我们以前在求 max公式所公式所 。 cm7734 x x S I * max, z z S I 25 MPa6 .12Pa106 .12 m105 .1

20、2m1073.47 N1075 6 32 3 * max, max,S * max,max,S max d S I F dI SF z z z z 第四章第四章 弯曲应力弯曲应力 (d) 26 dI SF z za a * max,S 其中：其中： 33 * mm10940 2 mm21 2 mm560 mm21mm166 za S 于是有：于是有： MPa6 . 8Pa106 . 8 m105 .12m1065586 m10940N1075 6 348 363 a 27 腹板上切应力沿高度的变化规律如图所示。腹板上切应力沿高度的变化规律如图所示。 max 2021-6-12 28 例题例题3

21、 解解:1.:1.内力图内力图 2.2.根据正应力强度选择截面根据正应力强度选择截面 3 max 281 cm M Wz s aa l F q AB F 试为图示梁选用工字钢型号试为图示梁选用工字钢型号 已知：已知： ml2ma2 .0 mkNq/10 kNF200 材料特性：材料特性：Mpa160s Mpa100 kN210 kN208 208 210 8 kN8 8 .41 mkN45 )(M )( S F 危险截面：中间截面危险截面：中间截面 mkNM45 max ss z W M max max 2021-6-12 29 例题例题3 aa l F q AB F kN210 kN208

22、208 210 8 kN8 )( S F 查表，初选查表，初选I22a，截面参数为：，截面参数为： 3 309cmWz cmSI zz 9 .18: mmd5 . 7 3.校核切应力强度校核切应力强度 kNFS210 max MpaMPa dSI F dI SF zz S z zS 100148 5 . 7189 10210 ):( 3 max max * maxmax max 8 .41 mkN45 )(M 2021-6-12 30 例题例题3 4.4.改用改用I25bI25b cmSI zz 27.21/ * mmd10aa l F q AB F kN210 208 210 8 kN8 )

23、( S F MpaMPa dSI F zz S 1007 .98 107 .212 10210 ):( 3 max max max 故选择故选择I25b可同时满足正可同时满足正 应力强度和切应力强度。应力强度和切应力强度。 kN208 8 .41 mkN45 )(M 2021-6-12 31 例题例题4 A B L CD l b B H 图示主梁图示主梁AB为为I22a工字梁，副梁工字梁，副梁CD为矩形截面梁，为矩形截面梁， B=4cm，H=12cm，两梁材料相同，两梁材料相同， ， Mpa100s Mpa50 ，L=4m，l=1m，副梁可在主梁上移动，副梁可在主梁上移动， （1）若在副梁中点

24、加集中力）若在副梁中点加集中力F，求求F的最大允许值的最大允许值F （2）若不用副梁，）若不用副梁，F力直接加在主梁上，则力直接加在主梁上，则F=？ F 2021-6-12 32 例题例题4 （1）在副梁中）在副梁中 点加力点加力F，求最，求最 大允许值大允许值F 解：解： F应保证主、应保证主、 副梁均安全副梁均安全 副梁和主梁的内力图：副梁和主梁的内力图： Fl/4 (M) l F/2F/2 A B L CD l b B H F CD l F F/2F/2 (FS) (M) MC MD FAFB 2/ max FFS 4 max Fl M 2021-6-12 33 例题例题4 F (FS)

25、 FAFB ) 2 1 ( L l L FF A 当当 8 7 ) 2 1 ( , 0 max F L l FF S 求最大内力：求最大内力： ) 2 1 ( L l L FFM AC 0 d dM C 令令 )(766. 0 75. 1 max mNF MM m C m lL 75. 1 4 2 l F/2F/2 A B L CD l b B H (M) MC MD 2021-6-12 34 例题例题4 A B L CD l b B H 2/ max FFS 4 max Fl M 8 7 ) 2 1 ( max F L l FF S )(766. 0 max mNFM 由副梁正应力强度条件：

26、由副梁正应力强度条件： MpaF W M 100 12040 6 4 10 2 3 max s kNNF4 .38104 .38 3 由主梁正应由主梁正应 力强度条件：力强度条件： Mpa F W M 100 10309 10766. 0 3 3 max s kNNF4 .40104 .40 3 2021-6-12 35 例题例题4 A B L CD l b B H 2/ max FFS 4 max Fl M 8 7 ) 2 1 ( max F L l FF S )(766. 0 max mNFM 由主梁切应由主梁切应 力强度条件：力强度条件： kNNF811081 3 Mpa F SIb F

27、 zz S 50 5 . 71898 7 ):( max max 综合以上结果，应取综合以上结果，应取 F = 38.4kN 2021-6-12 36 例题例题4 A B L CD l b B H （2）若不用副梁，）若不用副梁，F力直接加在主梁上，则力直接加在主梁上，则F=？ F 若若F力直接加在主梁上，则力直接加在主梁上，则 FFL S max , 0 4/, 2/ max FLML s z W FL 4 kNNF9 .30109 .30 3 ):( zz SIb F kNNF9 .70109 .70 3 则有：则有：F = 30.9kN 2021-6-12 37 4-6 梁的合理设计梁的合理设计 . 合理配置梁的荷载和支座 2021-6-12 38 2 max 125.