含绝对值地导数题

1、实用文档1已知函数f x = ln x x 0 .（1）求函数g x二f x ：;-x 1的极值;（2）求函数h（x ）= f （x ）+x-a （a为实常数）的单调区间;11 一 x解：（1） g （x）= lnx x+ 1, g （x）= 一一 1 =,xx当 0vxv 1 时，g （x） 0;当 x 1 时，g（x）v 0, 可得g （乂）在（0,1）上单调递增，在（1,+）上单调递减, 故g （x）有极大值为g （1） = 0,无极小值.(2) h (x)= lnx + |x a| .当 a0 恒成立，此时 h (x)在(0,+)上x单调递增;当 a0 时，h (x)lnx+ x a,

2、Jnx x+ a,x a,0 v xv a.标准文案1当x a时，h(x)= lnx + x a, h ( x)=1 + -0恒成立，此时h （乂）在（a,+）x上单调递增;当 0 v xv a 时，h (x)= lnx x+ a, h ( x)= 1 = 当0v a 0恒成立，此时h （乂）在（0, a）上单调递增；当 a 1 时，当 0v xv 1 时 h （x） 0,当 1 xv a 时 h （x） 1时，h （x）增区间为（0, 1）, （a,+）;减区间为（1, a）.2设 a0，函数 f （x） =x +a|l nx1|.（1）当a =1时,求曲线y = f（x）在x =1处的切线

3、方程；当X，-）时,求函数f（x）的最小值1.解（门当 a=1 时，f（x）=x +|ln x“令XF得彳二乙厂“,所以切点为（1 , 2）,切线的斜率为1 ,所以曲线y = f（x）在x =1处的切线方程为：X - y 0 oa(x e)(2)当 x_e 时，f(x)=x2 al nx_a，f(x)_2x -a 0 , - f(x) 0恒成立。 f(x)在e，二)上增函数。故当 X = e 时，ymin = f (e) = e2f(x)a=l(x 列2(i)当 t1,即0：a乞2时，f (x)在x(1，e)时为正数，所以f(x)在区间1,e)上为增函数。故当x = 1时，min = 1 a，

4、且此时f(1) ： f(e)1 :(ii)当a-，即2%时，f(x)在x W时为负数，在间x(E，e)时为正数。所以f(x)在区间口：2)上为减函数，在(、2,e上为增函数x 二故当2时,3a a. aayminh尹2，且此时 fc.2b：f(e),a_e2(iii)当 1 2 ;即 a - 2 时,f (x)在(1,e)时为负数，所以f(x)在区间1,e上为减函数，故当X =e时，ymin = f(e) =e。综上所述，当a -2。2时,f (x)在x 一 e时和1乞x乞e时的最小值都是e2。所以此时f (x)的最小值为f (e) = e当2 : a ： 2e2时，f (x)在x _ e时的

5、最小值为3aa aIn22 2，而f(;；)：f(e)a、 3a a af (J_) = _ I n _ 所以此时f (x)的最小值为222 2。当0 ”： a岂2时，在X 一 e时最小值为e2，在1乞X疳e时的最小值为f (1) =a，而f(0 ： f(e)，所以此时f (x)的最小值为f(1)二1 a当 1 兰 xe 时，f(x)=x al nx+1.1 a,0 ： a 2e已知函数 f,(x) =e|xa 1|, f2(x)R.(I )若 a = 2，求 f (x) = f/x)+ f2(x)在 x 2 , 3上的最小值;(ll)若 x a,：)时,f2(x)_f1(x),求 a 的取值

6、范围;(III)求函数g(x)=f1(x) f2(x)|f1(x)-f2(x)| 在 X 1，6上的最小值.2a =22且.2X 2，3, 所厂3xe e cx2 x =2e,e e . e e当且仅当x=2时取等号,所以f (x)在X 2，3上的最小值为3e:(1) 因 为=e3-xx-1；+e由题意知，当X a, ：)时，e2a1|_e2,即| x 2a T|_|x - a1恒成立所以2|x-2a 1|x-a 1,即 2ax _3a -2a对 xa：)恒成立, 2a _0则由 22,得所求a的取值范围是Oa岂22a3a-2a(3)记 g(x) =|x -(2a -1)|,h2(x) =|x

7、 -a I 1 ,则 hx), h2(x)的图象分别是以(2 a-1,0)和(a,1)为顶点开口向上的 V型线，且射线的斜率均为一1.当1 _ 2a - 1 6即1乞a乞7时，易知g(x)在x 1 ，6上的最小值为2f1(2a _1) =e0 =1当a1时,可知2a- 1a,可知2a -16,2(i )当g(6)乞1 ,得|2a -7|乞1 ,即7 : a乞4时，g(x)在x 1 , 6上的最小值为2H6)占(i )当h1(6)1且a空6时，即4 ： a乞6 , g(x)在x 1 , 6上的最小值为f2(a)二e 二 e(iii)当 a 6 时,因为 hi(6)=2a-7 .a-5 = h2(

8、6),所以 g(x)在 1 , 6上的最小值为 f2(6) =eaJa0e2a0兰 ac1“711a-综上所述,函数g(x)在xe 1 , 6上的最小值为22a_77e 一 c a w 42e 4 1对任意x(0,1都成立，则实数a取值范围是解答：显然 x =1 时，有 | a |_1,a _ -1,or,a _1。321 3ax3-1x x当a空-1时，对任意X (0,1，g (x)33ax - -1x 1，解得：a 。3a 333e2故所求a36.已知函数f(x) =|ex -bx|,其中e为自然对数的底(1) 当b = 1时，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；(2) 若函数y=f(

9、x)有且只有一个零点，求实数b的取值范围；(3) 当b0时，判断函数y=f(x)在区间(0, 2)上是否存在极大值，若存在，求出极大值及相应实数b的取值范围.解：(1 )记 g(x)= ex- bx.当 b = 1 时，g (x) = ex- 1.当x0时，g (x)0,所以g(x)在(0,+ )上为增函数.又 g(0)= 1 0,所以当 x (0,+3 )时，g(x)0.所以当 x (0,+s )时，f(x)=l g(x) 1= g(x)，所以 f (1) = g (1) = e-1.所以曲线y= f(x)在点(1, e 1)处的切线方程为:y-(e 1)= (e 1)(x 1),即 y =

10、 (e 1)x.(没有说明在x= 1附近，f(x)= ex bx”的扣1分)(2)解法一 f(x)= 0同解于g(x) = 0，因此，只需g(x)= 0有且只有一个解.即方程ex - bx= 0有且只有一个解.x e 因为x= 0不满足方程，所以方程同解于b=-xex(x一1)ex令 h(x)= 一，由 h (x)= x = 0 得 x= 1 . xx当 x (1 ,+s )时，h(x)0, h(x)单调递增，h(x) (e,+ );当 x (0, 1)时，h(x)v 0, h(x)单调递减，h(x) (e,+ );x所以当x (0,+s )时，方程b =目有且只有一解等价于b = e.x3,

11、 0),当x ( 3, 0)时，h(x)单调递减，且h(x) (x从而方程b =色有且只有一解等价于 b ( 3, 0).x10分综上所述，b的取值范围为(3 0) U e.解法二 f(x) = 0同解于g(x)= 0，因此，只需g(x) = 0有且只有一个解.即方程ex bx= 0有且只有一个解，即 ex = bx有且只有一解.也即曲线y= ex与直线y= bx有且只有一个公共点.如图y = bx与y = ex总是有且只有一个公共点，满足要求.1，当bv0时，直线8分如图当且仅当直线y= bx与曲线y= ex相切.Xo设切点为(Xo, e )，根据曲线y= ex在x= Xg处的切线方程为:X

12、oxoy e = e (x xo).xo把原点(o, o)代入得xo= 1，所以b = e = e.io分综上所述，b的取值范围为( a, o) U e.(3) 由 g(x) = ex b= o,得 x= Inb.当 x ( a, inb)时，g(x)v o, g(x)单调递减.当 x (Inb,+a )时，g(x)o, g(x)单调递增.所以在 x= Inb 时，g(x)取极小值 g(lnb)= b blnb= b(1 Inb).当 ov b o，从而当 x R时，g(x) o.所以f(x)=l g(x) 1= g(x)在( a,+a )上无极大值.因此，在x (o, 2)上也无极大值. 1

13、2分当 b e 时，g(lnb)v o.因为 g(o) = 1 o, g(2Inb) = b2 2blnb= b(b 2Inb) o,2(令 k(x)= x 2Inx.由 k(x)= 1 - = o 得 x= 2,从而当 x (2,+a )时，k(x)单调递增, x又 k(e)= e 2o，所以当 be 时，b 2lnbo.)所以存在 Xi (o, Inb), XqG (Inb, 2Inb)，使得 g(x”= g(X2)= o.此时 f(x)=l g(x) I =cg(x), x2,即be2时，f(x)在(o, 2)上不存在极大值.综上所述，在区间(o, 2)上,当ov b e2时，函数y =

14、 f(x)不存在极大值；当 ev bv e2 时，函数 y = f(x),在 x= Inb 时取极大值 f(lnb)= b(lnb 1).a7.已知函数 f(x) = xa I nx , aR .2(1) 求函数f (x)的单调区间；(2) 若函数 f (x)有两个零点 x- ,x2,区：:：x2)，求证：1 ： x- : a x2 : a .解：(1)由题意，函数的定义域为 (0, ：),aa当 a0 时，f(x) = x a l nx = x al nx ,22af (x) =10，函数f(x)的单调递增区间为(0, ：), 3分2xaxa-lnx ,xKa当 anO 时，f(x) = x

15、a?l nx = 2,5 分2a,a- x 一 In x, 0 v x a. 2a2x a若x_a , f(x)=10，此时函数f(x)单调递增，2x 2xa右x ： a , f (x) = -10，此时函数f (x)单调递减，2x综上，当a乞0时，函数f (x)的单调递增区间为(0,二)；当a 0时，函数f(x)的单调递减区间为(0,a);单调递增区间为(a,=).7分(2)由(1)知，当a乞0时，函数f (x)单调递增，至多只有一个零点，不合题意；8分则必有a 0，此时函数f (x)的单调递减区间为(0,a)；单调递增区间为(a, ：),a由题意，必须f (a) ln a 0，解得a 1

16、, 10分a由 f (1) -a -1 ln 1 =a -10 , f (a)0 ,得 (1,a) , 12 分而 f (a2) = a2 -a -aln a 二 a(a -1 -ln a),下面证明：a 1时，a-1-lna 0设 g(x) =x _1 _ln x , x 11 x 1则 g (x) = 10,x x所以g(x)在x 1时递增，则g(x) g(1H0 ,所以 f(a2) = a2 -a-alna = a(a-1-lna) 0 , 又 f(a) ： 0,所以 X2 (a,a2),16分综上，1 g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(3) 求函数h(x)Hf(x)| g(x)在区

17、间【-2,2】上的最大值(直接写出结果，不需给出演算步 骤).20.解析】本小题主要考查函数的概念、性质及图象等基础知识，考查抽象概括能力、运 算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、特殊 与一般思想.2(1) 方程 |f(x)匸g(x)，即 |x 1匸a|x1|，变形得 |x 1|(| x+1| a) = 0 ,显然，x =1已是该方程的根，从而欲原方程只有一解，即要求方程|x da ,有且仅有一个等于1的解或无解，结合图形得a g(x)对R恒成立，即(X -1) aX-H( *)对x R恒成立，当x =1时，(* )显然成立，此时a R ；当x P时,可

18、变形为 al，令IxTI L(xr)，(xd).因为当x 1时，(x)2，当X ：1时,：(x)-2所以(x)一2，故此时a 1),I 2-x -ax：;a：；1, (-1 x : 1),210分(3)因为 h(x) =|f (x)|+g(x) =|x2 -1| 阳 |x1| 八 x ax+ah (xc1).当21,即a 2时，结合图形可知h(x)在-2,1上递减，在1,2上递增,且hZ) =3a+3,h(2) =a+3，经比较，此时h(x)在幺2上的最大值为3a+3.当时，结合图形可知 h(x)在么-1，2 上递减,aa在八2,【1,2】上递增，且 h(-2)=3a 3,h(2)=a 3h(

19、 一二)经比较，知此时h(x)在-2,2上的最大值为3a+3.a当_1仝2 ：0,即-2仝a ： 0时，结合图形可知h(x)在-2,-1,匕，1上递减,在2 , 1,2上递增，且 h(-2)=3a+3,h(2) =a+3hV)经比较，知此时h(x)在【一2,2上的最大值为a 3.一3 a -1, 即 - 3 0经比较，知此时h(x)在【一2,2上的最大值为a 3.-,即 a ： 3当22时，结合图形可知h(x)在-2,1上递减，在1,2上递增,故此时h(x)在_2,2上的最大值为h(1)=.综上所述，当a 0时，h(x)在-2,2上的最大值为3a 3 ；当-3 0(I)当a=1时,求函数f(x

20、)在区间1，e上的最大值；3f (x) a,x 1, ：)f (xj =g(x2)成立,求a的取值(n)若2恒成立，求a的取值范围；(川)对任意x1 1,二),总存在惟一的x2 2 ；),使得” 1 ,”nx+1 f (x)=2xf(1)范围20.解：(I)当 a T,x 1，e时 f (x)=所以f(x)在1,e递增，所以f(x)max=f (e)二 e2分.4(n)当 x _e时，f(x)二 x alnx a ,af (x) = 2x x ,a 0, f(x) 0恒成立,2-f (x)在e, 7)上增函数，故当 X =e 时，ymin 二 f(e) = e2当 1 兰xce时，f(x)=x

21、 aln x + a ,af (x)二 2x x2 a=(x ：2)(x-a；2)2 1,、2即0：a乞2时，f (x)在(1,e)时为正数,所以f(x)在区间1,e)上为增函数,故当X1时，ymjn二1 a，且此时f(1) ： f(e) =e21 J2 3a2aJ?e当 2( a 一 2e)时，得、3不成立.综上，所求a的取值范围是：8乞2分ii(川)当0 : a空2时，g(x)在2，=)单调递增,5由 g(2)= 6_2a_2In21+a,得孑分121 2当 2 时,3a a a g(2) 2a - 2 - 2In 2Ing (x)在2,)先减后增，由222 ,aaaIn 2-2I n2：

22、0得222a h(t) =t tInt -2 2In 2(t)设2h (t) =2 I nt 0(1 ：t ： 2)所以h(t)单调递增且h(2) = 0，所以h(t) : 0恒成立得2 a ： 4 a 2aa2 - 0).(1)求函数g (x) = f (x)- x+ 1的极值；*(2)求函数h(x)= f (x) + | x a|( a为实常数)的单调区间；*(3)若不等式(x2 1)f (x) k(x 1)2对一切正实数x恒成立，求实数 k的取值范围.11 x解：(1)g (x)= Inx x+ 1, g(x) = - 1,入入当 0v xv 1 时，g(x) 0；当 x 1 时，g(x

23、) v 0,当0 v xv a时,h(x)= Inx x+ a,1h(x) =厂仁可得g (x)在(0,1)上单调递增，在(1 ,+ )上单调递减, 故g (x)有极大值为g (1)= 0，无极小值.(2)h(x)= lnx+ | x a| .当aw 0时，1h(x) = lnx+ x a, h(x)= 1 + -0恒成立，此时 h(x)在(0,+ )上单调递增； x当a 0时，,、 lnx+ x a, xa, h (x) = i|nx x+ a, 0 v xv a.1 一当x a时，h(x)= lnx+ x a, h(x)= 1 + 0恒成立，此时h(x)在(a,+m )上单调递增;入当0v aw 1时，h (x) 0恒成立，此时h(x)在 (0, a)上单调递增;当 a 1 时，当 0v xv 1 时 h (x) 0，当 1 w xv a 时 h (x) 1时，h(x)增区间为(0, 1), (a,+ );减区间为(1, a).不等式(x2 1)f (x) k(x 1)2对一切正实数x恒成立， 即(x2 1)1 nx k(x 1)2对一切正实数 x恒成立.当 Ov xv 1 时，x2 1 v 0; Inxv 0，贝V (x21)1 nx 0;当 x 1 时，x2 1 0; lnx 0，则(x2 1)lnx 0.因此当x 0时，(x2 1)lnx 0恒成立.又当 kw 0 时