高中数学初高中衔接读本专题2.2根与系数的关系韦达定理高效演练学案

1、121 2第 2 讲根与系数的关系（韦达定理）现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着重要应用本专题将对一 元二次方程根的判别式、根与系数的关系等进行讲述。【知识梳理】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）一元二次方程ax2+bx +c =0 ( a 0)的两个根为：x =-b + b2 -4 ac -b - b 2 -4 ac, x =2 a 2 a所以：x +x =1 2-b + b2 -4 ac -b - b2 -4 ac b+ =- 2 a 2a a，x x =1 2

2、-b + b 2 -4 ac -b - b 22a 2 a-4 ac ( -b) =2-( b2(2 a)2-4 ac )24ac c= =4a 2 a定理：如果一元二次方程ax 2 +bx +c =0 ( a 0)的两个根为x , x1 2，那么：b cx +x =- , x x =a a说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”上述定理成立的前提是 【高效演练】d01.若x ，x1 2是一元二次方程x2-2 x -3 =0的两个根，则x x1 2的值是( )a2 b2 c4 d3【解析】：方程的两根为x1，x2，根据题意得x x =1

3、2ca=-3故选 d【答案】d2若 ， 是方程 x22x3=0 的两个实数根，则 2+2的值为（ ）a. 5 b. 7 c. 9 d. 10 【解析】， 是方程 x22x3=0 的两个实数根，+=2，=3， 2+2=（+）22=222（3）=10故选 d【答案】d3关于 x 的一元二次方程 x2pxq0 的两根同为负数，则( )a. p0 且 q0 b. p0 且 q0c. p0 且 q0 d. p0 且 q0【解析】试题解析：设 x ，x 是该方程的两个负数根，则有 x +x 0，x x 0，1 2 1 2 1 2x +x =-p，x x =q1 2 1 2-p0，q0p0，q0故选 a【答

4、案】a4.方程 x2(m6)xm20 有两个相等的实数根，且满足 x x x x ，则 m 的值是( )1 2 1 2a. 2 或 3 b. 3 c. 2 d. 3 或 25.规定：如果关于 x 的一元二次方程ax 2 +bx +c =0（a0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2 倍，则称这样的方程为“倍根方程”现有下列结论：方程x2+2 x -8 =0是倍根方程；若关于 x 的方程x2 +ax +2 =0是倍根方程，则 a=3；若关于 x 的方程ax2-6 ax +c =0（a0）是倍根方程，则抛物线y =ax2-6 ax +c与 x 轴的公共点的坐标是（2，0）和（4，0）；若点（m

5、，n）在反比例函数y =4x的图象上，则关于 x 的方程mx2+5 x +n =0是倍根方程上述结论中正确的有（ ）a b c d 【解析】122 1关于 x 的方程ax 2 -6 ax +c =0（a0）是倍根方程，x =2x ，抛物线2 1y =ax 2 -6 ax +c的对称轴是直线 x=3，抛物线y =ax 2 -6 ax +c与 x 轴的交点的坐标是（2，0）和（4，0），故正确；点（m，n）在反比例函数y =4 2 8的图象上，mn=4，解 mx 2 +5 x +n =0 得 x = ，x = ，x =4x ， x m m关于 x 的方程mx2+5 x +n =0不是倍根方程；故选

6、 c【答案】c6.已知关于 x 的一元二次方程 x2-x -3 =0的两个实数根分别为a, b，则 (a-1)(b-1)=_.【解析】关于 x 的方程： x，a+b=1，ab=-3 2-x -3 =0的两个实数根分别为a、b，(a-1)(b-1)=ab-(a+b)+1=-3-1+1=-3.【答案】-37.若方程 x2-x -1 =0 的两实根为 a、b，则1 1+ 的值为_。 a b【解析】方程 x2x1=0 的两实根为 a、b， a+b=1，ab=1，1 1 a +b 1 + = = =-1a b ab -1【答案】-18设m, n是方程x 2 +x - 2018 = 0 的两个实数根，则

7、m 2 +2 m +n的值为_。【解析】由 m, n 是方程 x2+x - 2018 = 0的两个实数根，则m +n =- 1, 且 m2+m - 2018 = 0，又m2 +2m +n =m 2+m +m +n = 2018 - 1 = 2017【答案】2017a9.关于 x 的一元二次方程x2+2 x -2 m +1 =0的两实数根之积为负，则实数 m 的取值范围是 10.一元二次方程x 2 -4 x +a =0有两个实根，一个比 3 大，一个比 3 小， 的取值范围为_。yx=20 3【解析】解一：由xd0( x -3)( x -3) 0 1 2解得：a 3解二：设f ( x)=x 2

8、-4 x +a，则如图所示，只须f (3) 0，解得a 3【答案】a 311若关于 x 的一元二次方程 x24x+k3=0 的两个实数根为 x 、x ，且满足 x =3x ，试求出方程的两个实1 2 1 2数根及 k 的值【解析】由根与系数的关系，得x +x =4，x x =k31 2 1 2又x =3x ，1 2联立、，解方程组得x =31x =12，k=x x +3=31+3=6 1 21则方程两根为 x =3，x =1；k=61 2【答案】x =3，x =1；k=6 1 212.已知关于 x 的方程x2 -2 (k-3)x+k2-4k -1 =0.（1）若这个方程有实数根，求实数 k 的

9、取值范围；（2）若方程两实数根分别为 x 、x ，且满足 x 2 +x1 222=x x +71 2,求实数 k 的值.【解析】分析：（1）根据方程有实根可得0，进而可得-2（k-3）2-41（k2-4k-1）0，再解即可；（2）根据根与系数的关系可得 x +x =2（k-3），xx =k2-4k-1，再由完全平方公式可得 x 2+x 2=（x +x ）-2x x ，1 2 1 2 1 2 1 2 1 2代入 x +x =2（k-3），x x = k2-4k-1 可计算出 m 的值1 2 1 2解析：（1）x2-2（k-3）x+k2-4k-1=0 有实数根，=4（k-3）2-4（k2-4k-1

10、）=4k2-24k+36-4k2+16k+4=40-8k0，解得：k5；13.已知关于x的方程x2-( k +1)x +14k2+1 =0，根据下列条件，分别求出k的值(1) 方程两实根的积为 5；(2) 方程的两实根x , x 满足 | x |=x 1 2 1 2【解析】(1) 方程两实根的积为 5 1d= -(k +1)2 -4( k 2 +1) 0 4 1x x = k 2 +1 =512 43 k , k =42所以，当k =4时，方程两实根的积为 5(2) 由| x |=x 1 2得知：当x 0 时， x =x 1 12，所以方程有两相等实数根，故d=0 k =32；当x 0 k 3

11、2，故k =-1不合题意，舍去综上可得，k =32时，方程的两实根x , x 满足 | x |=x 1 2 1 2【答案】（1） k =4 ；（2） k =32.14.已知关于 x 的一元二次方程x2+( k -5) x +1 -k =0，其中 k 为常数（1）求证：无论 k 为何值，方程总有两个不相等实数根；（2）已知函数y =x 2 +( k -5) x +1 -k的图象不经过第三象限，求 k 的取值范围；（3）若原方程的一个根大于 3，另一个根小于 3，求 k 的最大整数值解析：（1）证明：=（k5）24（1k）=k26k+21=（k3）2+120，无论 k 为何值，方程总有两 个不相等

12、实数根；（2）解：二次函数y =x2+( k -5) x +1 -k的图象不经过第三象限，二次项系数 a=1，抛物线开口方向向上，=（k3）2+120，抛物线与 x 轴有两个交点，设抛物线与 x 轴的交点的横坐标分别为 x ，x ，x +x =5k0，x x =1k0，解得 k1，即 k 的取值范围是 k1；1 2 1 2 1 2（3）解：设方程的两个根分别是 x ，x ，根据题意，得（x 3）（x 3）0，即 x x 3（x +x ）+90，1 2 1 2 1 2 1 2又 x +x =5k，x x =1k，代入得，1k3（5k）+90，解得 k 1 2 1 252则 k 的最大整数值为 2

13、【答案】（1）证明见解析；（2）k1；（3）2【解题反思】：本题考查了抛物线与 x 轴的交点，二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系， 根的判别式，根与系数的关系，综合性较强。1 215.已知x , x1 2是一元二次方程4kx 2 -4 kx +k +1 =0的两个实数根(1) 是否存在实数 k ，使 (2 x -x )( x -2 x ) =-1 2 1 232成立？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由(2) 求使x x1 + 2 -2 x x2 1的值为整数的实数k的整数值【解析】(1) 假设存在实数k，使(2 x -x )( x -2 x ) =- 1 2 1 232成立 一元二次方程4kx 2 -4 kx +k +1 =0的两个实数根， 4k 0d=( -4k ) 2 -4 4k( k +1) =-16k 0 k 0 ，又 x , x1