(完整版)江苏十年高考试题汇编第二部分+三角函数与解三角形,推荐文档

1、一填空题（共 20 小题）第二部分 三角函数与解三角形第 21 页1（2013江苏）函数 y=3sin（2x+）的最小正周期为 2（2013新课标）设当 x= 时，函数 f（x）=sinx2cosx取得最大值，则 cos=3（2011江苏）函数 f（x）=asin（x+），（a， 是常数， a0，0）的部分图象如图所示，则 f（0）=4（2016江苏）定义在区间0，3上的函数 y=sin2x 的图象与 y=cosx 的图象的交点个数是5（2010江苏）定义在区间上的函数 y=6cosx 的图象与 y=5tanx 的图象的交点为p，过点 p 作 pp1x 轴于点 p1，直线 pp1 与 y=si

2、nx 的图象交于点 p2，则线段 p1p2 的长为 6（2016新课标）函数 y=sinxcosx 的图象可由函数 y=sinx+cosx 的图象至少向右平移个单位长度得到7（2008北京）若角 的终边经过点 p（1，2），则 tan2 的值为 8（2012江苏）设 为锐角，若 cos（+）=，则 sin（2+）的值为 9（2015江苏）已知 tan=2，tan（+）=，则 tan 的值为 10（2017江苏）若 tan（）=则 tan= 11（2013上海）若 cosxcosy+sinxsiny=，sin2x+sin2y=，则 sin（x+y）= 12（2016江苏）在锐角三角形 abc 中

3、，若 sina=2sinbsinc，则 tanatanbtanc 的最小值是 13（2014江苏）若abc 的内角满足 sina+sinb=2sinc，则 cosc 的最小值是 14（2014新课标）已知 a，b，c 分别为abc 的三个内角 a，b，c 的对边，a=2且（2+b）（sinasinb）=（cb）sinc，则abc 面积的最大值为 15（2014天津）在abc 中，内角 a，b，c 所对的边分别是 a，b，c，已知bc=a，2sinb=3sinc，则 cosa 的值为16（2011新课标）在abc 中，b=60，ac=，则 ab+2bc 的最大值为 17（2010江苏）在锐角ab

4、c 中，角 a、b、c 的对边分别为 a、b、c，若+=6cosc，则+的值是18（2009湖南）在锐角abc 中，bc=1，b=2a，则的值等于 ，ac 的取值范围为19（2008江苏）满足条件 ab=2，ac=bc 的三角形 abc 的面积的最大值是 20（2017新课标）abc 的内角 a，b，c 的对边分别为 a，b，c，若 2bcosb=acosc+ccosa，则 b=二解答题（共 10 小题）21（2017江苏）已知向量=（cosx，sinx），=（3，），x0，（1） 若，求 x 的值；（2） 记 f（x）=，求 f（x）的最大值和最小值以及对应的 x 的值22（2012江苏）在

5、abc 中，已知（1）求证：tanb=3tana；（2）若 cosc=，求 a 的值23（2015湖南）设abc 的内角 a、b、c 的对边分别为 a、b、c，a=btana，且 b 为钝角（1）证明：ba= ；（2）求 sina+sinc 的取值范围24（2015江苏）在abc 中，已知 ab=2，ac=3，a=60（1）求 bc 的长；（2）求 sin2c 的值25（2016江苏）在abc 中，ac=6，cosb=，c=（1）求 ab 的长；（2）求 cos（a ）的值26（2014江苏）已知 （，），sin=（1）求 sin（+）的值；（2）求 cos（2）的值27（2016四川）在ab

6、c 中，角 a，b，c 所对的边分别是 a，b，c，且+=（1）证明：sinasinb=sinc；（2）若 b2+c2a2=bc，求 tanb28（2016新课标）abc 的内角 a，b，c 的对边分别为 a，b，c，已知 2cosc（acosb+bcosa）=c（1）求 c；（2）若 c=，abc 的面积为，求abc 的周长29（2015ft东）设 f（x）=sinxcosxcos2（x+）（1） 求 f（x）的单调区间；（2） 在锐角abc 中，角 a，b，c 的对边分别为 a，b，c，若 f（）=0，a=1，求abc 面积的最大值第二讲 三角函数与解三角形参考答案与试题解析一填空题（共

7、20 小题）1（2013江苏）函数 y=3sin（2x+）的最小正周期为 【解答】解：函数表达式为 y=3sin（2x+），=2，可得最小正周期 t=|=|=故答案为：2（2013新课标）设当 x= 时，函数 f（x）=sinx2cosx 取得最大值，则 cos= 【解答】解：f（x）=sinx2cosx= （sinxcosx）= sin（x）（其中 cos=，sin= ），x= 时，函数 f（x）取得最大值，sin（）=1，即 sin2cos=， 又 sin2+cos2=1，联立得（2cos+ ）2+cos2=1，解得cos= 故答案为：3（2011江苏）函数 f（x）=asin（x+），（

8、a， 是常数，a0，0）的部分图象如图所示，则 f（0）=【解答】解：由的图象可得函数的周期 t 满足 =解得 t=又0，故 =2， ）又函数图象的最低点为（ 故 a=且 sin（2 +）=故 =即+= f（x）=sin（2x+ ）f（0）=sin=故答案为：4（2016江苏）定义在区间0，3上的函数 y=sin2x 的图象与 y=cosx 的图象的交点个数是7【解答】解：法 1：画出函数 y=sin2x 与 y=cosx 在区间0，3上的图象如下：由图可知，共 7 个交点法 2：依题意，sin2x=cosx，即 cosx（2sinx1）=0，故 cosx=0 或 sinx= ，因为 x0，3

9、，故 x=，共 7 个， 故答案为：75（2010江苏）定义在区间上的函数 y=6cosx 的图象与 y=5tanx 的图象的交点为p，过点 p 作 pp1x 轴于点 p1，直线 pp1 与 y=sinx 的图象交于点 p2，则线段 p1p2 的长为 【解答】解：线段 p1p2 的长即为 sinx 的值，且其中的 x 满足 6cosx=5tanx，即 6cosx=，化为 6sin2x+5sinx6=0，解得 sinx=线段p1p2 的长为故答案为 6（2016新课标）函数 y=sinxcosx 的图象可由函数 y=sinx+cosx 的图象至少向右平移个单位长度得到【解答】解：y=f（x）=s

10、inx+cosx=2sin（x+），y=sinx cosx=2sin（x），f（x）=2sin（x+ ）（0），令 2sin（x+）=2sin（x），则=2k（kz），即 =2k（kz），当 k=0 时，正数 min=， 故答案为：7（2008北京）若角 的终边经过点 p（1，2），则 tan2 的值为 【解答】解：角 的终边经过点 p（1，2），答案为： 故8（2012江苏）设 为锐角，若 cos（+）=，则 sin（2+）的值为 【解答】解：设 =+，sin= ，sin2=2sincos=，cos2=2cos21= ，sin（2+ ）=sin（2+ 故答案为：）=sin（2 ）=sin2c

11、oscos2sin =9（2015江苏）已知 tan=2，tan（+）=，则 tan 的值为 3 【解答】解：tan=2，tan（+）= ，可知 tan（+）=， 即=，解得 tan=3 故答案为：310（2017江苏）若 tan（）=则 tan= 【解答】解：tan（ ）=6tan6=tan+1， 解得 tan=， 故答案为：11（2013上海）若 cosxcosy+sinxsiny=，sin2x+sin2y=，则 sin（x+y）= 【解答】解：cosxcosy+sinxsiny= ，cos（xy）= sin2x+sin2y= ，sin（x+y）+（xy）+sin（x+y）（xy）= ，2

12、sin（x+y）cos（xy）= ， ，sin（x+y）= 故答案为12（2016江苏）在锐角三角形 abc 中，若 sina=2sinbsinc，则 tanatanbtanc 的最小值是 8【解答】解：由 sina=sin（a）=sin（b+c）=sinbcosc+cosbsinc，sina=2sinbsinc，可得 sinbcosc+cosbsinc=2sinbsinc，由三角形 abc 为锐角三角形，则 cosb0，cosc0，在式两侧同时除以 cosbcosc 可得 tanb+tanc=2tanbtanc， 又 tana=tan（a）=tan（b+c）= ， 则 tanatanbtan

13、c=tanbtanc，由 tanb+tanc=2tanbtanc 可得 tanatanbtanc=，令 tanbtanc=t，由 a，b，c 为锐角可得 tana0，tanb0，tanc0， 由式得 1tanbtanc0，解得 t1，tanatanbtanc= = ，=（ ）2 ，由 t1 得，0， 因此 tanatanbtanc 的最小值为8，另解：由已知条件 sina=2sinbsinc，sin（b 十 c）=2sinbsinc， sinbcosc 十 cosbsinc=2sinbcosc，两边同除以 cosbcosc，tanb 十 tanc=2tanbtanc，tana=tan（b 十

14、c）=，tanatanbtanc=tana 十 tanb 十 tanc，tanatanbtanc=tana 十 2tanbtanc2， 令 tanatanbtanc=x0，即 x2，即 x8，或 x0（舍去），所以 x 的最小值为 8当且仅当 t=2 时取到等号，此时 tanb+tanc=4，tanbtanc=2，解得 tanb=2+，tanc=2，tana=4，（或 tanb，tanc 互换），此时 a，b，c 均为锐角13（2014江苏）若abc 的内角满足 sina+sinb=2sinc，则 cosc 的最小值是 【解答】解：由正弦定理得 a+b=2c，得 c= （a+b），由余弦定理得

15、 cosc=， 当且仅当时，取等号，故cosc1，故 cosc 的最小值是 故答案为：14（2014新课标）已知 a，b，c 分别为abc 的三个内角 a，b，c 的对边，a=2 且（2+b）（sinasinb）=（cb）sinc，则abc 面积的最大值为 【解答】解：因为：（2+b）（sinasinb）=（cb）sinc（2+b）（ab）=（cb）c2ab2=c2bc， 又因为：a=2，所以： ，abc 面积，而 b2+c2a2=bcb2+c2bc=a2b2+c2bc=4bc4所以： ，即abc 面积的最大值为 故答案为：15（2014天津）在abc 中，内角 a，b，c 所对的边分别是 a

16、，b，c，已知 bc= a，2sinb=3sinc，则 cosa 的值为 【解答】解：在abc 中，bc= a ，2sinb=3sinc，2b=3c ，由可得 a=2c，b=再由余弦定理可得 cosa= ， 故答案为：16（2011新课标）在abc 中，b=60，ac=，则 ab+2bc 的最大值为 2【解答】解：设 ab=c ac=b bc=a由 余 弦 定 理cosb=所以a2+c2ac=b2=3 设c+2a=m代入上式得7a25am+m23=0=843m20 故 m2当 m=2时，此时 a=，c= 符合题意因此最大值为 2另解：因为 b=60，a+b+c=180，所以 a+c=120，

17、由正弦定理，有=2，所以 ab=2sinc，bc=2sina所以 ab+2bc=2sinc+4sina=2sin（120a）+4sina=2（sin120cosacos120sina）+4sina=cosa+5sina=2sin（a+），（其中 sin=，cos=）所以 ab+2bc 的最大值为 2故答案为：217（2010江苏）在锐角abc 中，角 a、b、c 的对边分别为 a、b、c，若+=6cosc，则+的值是 4【解答】解：+=6cosc， 由余弦定理可得， 则+=故答案为：418（2009湖南）在锐角abc 中，bc=1，b=2a，则的值等于 2，ac 的取值范围为 （）【解答】解：

18、（1）根据正弦定理得：=， 因为 b=2a，化简得=即=2；（2）因为abc 是锐角三角形，c 为锐角，所以，由 b=2a 得到 a+2a且 2a= ，从而解得：， 于是，由（1）的结论得 2cosa=ac，故故答案为：2，（，）19（2008江苏）满足条件 ab=2，ac=bc 的三角形 abc 的面积的最大值是 2【解答】解：设 bc=x，则 ac=x， 根据面积公式得 sabc=abbcsinb=2x ，根据余弦定理得 cosb=，代 入 上 式 得sabc=x =，由三角形三边关系有，解得 22x2+2故当 x=2时，sabc 取得最大值 220（2017新课标）abc 的内角 a，b

19、，c 的对边分别为 a，b，c，若 2bcosb=acosc+ccosa，则 b=【解答】解：2bcosb=acosc+ccosa，由正弦定理可得，2cosbsinb=sinacosc+sinccosa=sin（a+c）=sinb，sinb0，cosb= ，0b，b= ，故答案为：二解答题（共 10 小题）21（2017江苏）已知向量=（cosx，sinx），=（3，），x0，（1） 若，求 x 的值；（2） 记 f（x）=，求 f（x）的最大值和最小值以及对应的 x 的值【解答】解：（1）=（cosx，sinx），=（3，）， cosx=3sinx，tanx= ，x0，x= ，（2）f（x）

20、=3cosx sinx=2（cosxsinx）=2 cos（x+），x0，x+ ，1cos（x+ ），当 x=0 时，f（x）有最大值，最大值 3，当 x=时，f（x）有最小值，最小值2 22（2012江苏）在abc 中，已知（1） 求证：tanb=3tana；（2） 若 cosc=，求 a 的值【解答】解：（1）=3，cbcosa=3cacosb，即 bcosa=3acosb，由正弦定理=得：sinbcosa=3sinacosb， 又 0a+b，cosa0，cosb0，在等式两边同时除以 cosacosb，可得 tanb=3tana；（2）cosc= ，0c，sinc=，tanc=2，则 t

21、an（a+b）=2，即 tan（a+b）=2，=2，将 tanb=3tana 代入得：=2，整理得：3tan2a2tana1=0，即（tana1）（3tana+1）=0，解得：tana=1 或 tana=， 又 cosa0，tana=1，又 a 为三角形的内角， 则 a=23（2015湖南）设abc 的内角 a、b、c 的对边分别为 a、b、c，a=btana，且 b 为钝角（）证明：ba= ；（）求 sina+sinc 的取值范围【解答】解：（）由 a=btana 和正弦定理可得=，sinb=cosa，即 sinb=sin（+a） 又 b 为钝角，+a（，），b= +a，ba= ；（）由（）

22、知 c=（a+b）=（a+a）= 2a0，a（0，），sina+sinc=sina+sin（2a）=sina+cos2a=sina+12sin2a=2（sina ）2+，a（0，），0sina，由二次函数可知2（sina ）2+ sina+sinc 的取值范围为（， 24（2015江苏）在abc 中，已知 ab=2，ac=3，a=60（1） 求 bc 的长；（2） 求 sin2c 的值【解答】解：（1）由余弦定理可得：bc2=ab2+ac22abaccosa=4+9223=7， 所以 bc=（2）由正弦定理可得： ，则 sinc=，abbc，bc= ，ab=2，角 a=60，在三角形 abc

23、中，大角对大边，大边对大角， 2，角 c角 a，角 c 为锐角sinc0，cosc0 则 cosc=因此 sin2c=2sinccosc=2=25（2016江苏）在abc 中，ac=6，cosb=，c=（1） 求 ab 的长；（2） 求 cos（a）的值【解答】解：（1）abc 中，cosb=，sinb= ，ab=5；（2）cosa=cos（c+b）=sinbsinccosbcosc= a 为三角形的内角，sina= ，cos（a ）=cosa+ sina=26（2014江苏）已知 （，），sin=（1） 求 sin（+）的值；（2） 求 cos（2）的值【解答】解：（，），sin=cos=

24、（1） sin（ +）=sin cos+cos sin= = ；sin（ +）的值为： （2） （，），sin=cos2=12sin2=，sin2=2sincos=cos（ 2）=cos cos2+sin sin2= = cos（ 2）的值为： 27（2016四川）在abc 中，角 a，b，c 所对的边分别是 a，b，c，且+=（）证明：sinasinb=sinc；（）若 b2+c2a2=bc，求 tanb【解答】（）证明：在abc 中，+=，由正弦定理得：，=，sin（a+b）=sinc整理可得：sinasinb=sinc，（）解：b2+c2a2= bc，由余弦定理可得 cosa=sina=

25、，=+=1， =，tanb=428（2016新课标）abc 的内角 a，b，c 的对边分别为 a，b，c，已知 2cosc（acosb+bcosa）=c（）求 c；（）若 c=，abc 的面积为，求abc 的周长【解答】解：（）在abc 中，0c，sinc0已知等式利用正弦定理化简得：2cosc（sinacosb+sinbcosa）=sinc， 整理得：2coscsin（a+b）=sinc，即 2coscsin（a+b） =sinc2coscsinc=sinccosc= ，c= ；（）由余弦定理得 7=a2+b22ab，（a+b）23ab=7，s= absinc=ab=，ab=6，（a+b）2

26、18=7，a+b=5，abc 的周长为 5+29（2015ft东）设 f（x）=sinxcosxcos2（x+）（）求 f（x）的单调区间；（）在锐角abc 中，角 a，b，c 的对边分别为 a，b，c，若 f（）=0，a=1，求abc 面积的最大值【解答】解：（）由题意可知，f（x）= sin2x= sin2x=sin2x由 2k 2x2k ，kz 可解得：k xk ，kz； 由 2k 2x2k ，kz 可解得：k xk ，kz；所以 f（x）的单调递增区间是k ，k ，（kz）；单调递减区间是：k ，k，（kz）；（）由 f（）=sina =0，可得 sina=， 由题意知 a 为锐角，所

27、以 cosa=， 由余弦定理 a2=b2+c22bccosa，可得：1+bc=b2+c22bc，即 bc ，且当 b=c 时等号成立 因此 s=bcsina ，所以abc 面积的最大值为30（2013江苏）如图，游客从某旅游景区的景点 a 处下ft至 c 处有两种路径一种是从 a 沿直线步行到 c，另一种是先从 a 沿索道乘缆车到 b，然后从 b 沿直线步行到 c现有甲、乙两位游客从 a 处下ft，甲沿 ac 匀速步行，速度为 50m/min在甲出发 2min 后，乙从 a 乘缆车到 b，在 b 处停留 1min 后，再从 b 匀速步行到 c假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，ft路

28、 ac 长为 1260m，经测量，cosa=，cosc= （1） 求索道 ab 的长；（2） 问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3） 为使两位游客在 c 处互相等待的时间不超过 3 分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？【解答】解：（1）在abc 中，因为 cosa=，cosc= ，所以 sina=，sinc= ，从而sinb=sin（a+c）=sin（a+c）=sinacosc+cosasinc= =由正弦定理，得 ab=1040m所以索道 ab 的长为 1040m（2） 假设乙出发 t 分钟后，甲、乙两游客距离为 d，此时，甲行走了（100+50t）m，乙距离 a处 130t m，所以由余弦定理得d2=（