人教版八年级下册数学勾股定理知识点和对应练习

1、人教版八年级下册数学勾股定理知识点和对应练习勾股定理课堂导入如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若 干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形各组图形大小不一， 但形状一致，结构奇巧你能说说其中的奥秘吗？一、知识梳理：专题一：勾股定理；专题二：勾股定理的证明；专题三：勾股定理的应用 . 二、考点分类考点一：勾股定理如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2b2c2.【例 1】如图， abc 中，acb90，ab13cm，bc5cm，cdab 于 d，求：(1)ac 的长；(2)s ；abc(3)cd 的长解析：

2、(1)由于 abc 中，acb90，ab13cm，bc5cm，根据勾股定理即可求 出 ac 的长；(2)直接利用三角形的面积公式即可求出 s ；(3)根据面积公式得到 cdababcbcac 即可求出 cd.解：(1)在abc 中，acb90，ab13cm，bc5cm，ac ab2bc212cm；1 / 7abcabc人教版八年级下册数学勾股定理知识点和对应练习1 1(2)s cbac 51230(cm2)；2 21 1 ac bc 60(3)s acbc cd ab，cd cm.2 2 ab 13方法总结：解答此类问题，一般是先利用勾股定理求出第三边，然后利用两种方法表示 出同一个直角三角形

3、的面积，然后根据面积相等得出一个方程，再解这个方程即可【例 2】在abc 中，ab15，ac13，bc 边上的高 ad12，试求abc 的周长 解析：本题应 abc 为锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论解：此题应分两种情况说明：(1) 当 abc 为锐角三角形时，如图所示在rt abd 中， bd ab2ad21521229.在 acd 中，cd ac2ad2 1321225，bc5914 abc 的周长为 15131442；(2) 当 abc 为钝角三角形时，如图所示在abd 中， bd ab2ad21521229.在 acd 中，cd ac2ad2 1321225，bc954，abc的

4、周长为 1513432.当abc 为锐角三角形时 abc 的周长为 42； abc 为钝 角三角形时，abc 的周长为 32.方法总结：解题时要考虑全面，对于存在的可能情况，可作出相应的图形，判断是否符 合题意考点二：勾股定理的证明“赵爽弦图”、“刘徽青朱出入图”、“詹姆斯加菲尔德拼图”、“毕达哥拉斯图” 【例 3】探索与研究：方法 1：如图：对任意的符合条件的直角三角形 abc 绕其顶点 a 旋转 90得直角三角形 aed，所以2 / 712 1 2 33人教版八年级下册数学勾股定理知识点和对应练习bae90，且四边形 acfd 是一个正方形，它的面积和四边形 abfe 的面积相等，而四 边

5、形 abfe 的面积等于 bae 和 bfe 的面积之和根据图示写出证明勾股定理的过 程；方法 2：如图：该图形是由任意的符合条件的两个全等的 bea 和 acd 拼成的，你能根据图示 再写出一种证明勾股定理的方法吗？解析：方法 1：根据四边形 abfe 面积等于 bae 和 bfe 的面积之和进行解答； 方法 2：根 abc 和 acd 的面积之和等于 abd bcd 的面积之和解答解：方法 1：s s s s ，即 b正方形 acfd 四边形 abfe bae bfe1 12 c2 (ba)(ba)，整理得 2 22b2c2b2a2，a2b2c2；四边形方法 2：此图也可以看成 bea 绕

6、其直角顶点 e 顺时针旋转 90，再向下平移得到s1 ，s ，s s ，即 b2 abcd abc acd 四边形 abcd abd bcd abc acd abd bcd 21 1 1 ab c2 a(ba)，整理得 b2 2 2 2abc2a(ba)，b2abc2aba2，a2b2c2.方法总结：证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用 大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理证明勾股定理考点三：勾股定理与图形的面积【例 5】如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角 三角形，若正方形 a、b、c、d的面积分别为 2，5，1，2.则

7、最大的正方形 e 的面积是_解析：根据勾股定理的几何意义，可得正方形 a、b 的面积和为 s ，正方形 c、d 的面 积和为 s ，s s s ，即 s 251210.故答案为 10.方法总结：能够发现正方形 a、b、c、d 的边长正好是两个直角三角形的四条直角边， 根据勾股定理最终能够证明正方形 a、b、c、d 的面积和即是最大正方形的面积3 / 7人教版八年级下册数学勾股定理知识点和对应练习考点四：勾股定理的应用【例 6】如图，在离水面高度为 5 米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子 bc 的长为 13 米，此人以 0.5 米每秒的速度收绳问 6 秒后船向岸边移动了多少米(假设绳子始终

8、是直 的，结果保留根号)?解析：开始时，ac5 米，bc13 米，即可求得 ab 的值，6 秒后根据 bc，ac 长度 即可求得 ab 的值，然后解答即可解：在 abc 中，bc13 米，ac5 米，则 ab bc2ac212 米.6 秒后，bc130.5610 米，则 ab bc2ac2 米5 3(米)，则船向岸边移动的距离为(125 3)方法总结：本题直接考查勾股定理在实际生活中的运用，可建立合理的数学模型，将已 知条件转化到同一直角三角形中求解【例 7】如图，长方体的长 be15cm，宽 ab10cm，高 ad20cm，点 m 在 ch 上，且 cm5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面

9、从点 a 爬到点 m，需要爬行的最短距离是多 少？解：分两种情况比较最短距离：如图所示，蚂蚁爬行最短路线为 am，am 102（205）25 29(cm)，如图所示，蚂蚁爬行最短路线为 am，am 202（105）225(cm)5 29 25，第二种短些，此时最短距离为 25cm.答：需要爬行的最短距离是 25cm.方法总结：因为长方体的展开图不止一种情况，故对长方体相邻的两个面展开时，考虑 要全面，不要有所遗漏不过要留意展开时的多种情况，虽然看似很多，但由于长方体的对 面是相同的，所以归纳起来只需讨论三种情况：前面和右面展开，前面和上面展开，左面和4 / 7人教版八年级下册数学勾股定理知识点

10、和对应练习上面展开，从而比较取其最小值即可【例 8】如图所示，数轴上点 a 所表示的数为 a，则 a 的值是( )a. 51 b 51c. 51 d. 5解析：先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点间的距离公式即可求出 a 点的坐标图中的直角三角形的两直角边为 1 和 2，斜边长为 1222 5，1 到 a 的距离是 5.那么点 a 所表示的数为 51.故选 c.方法总结：本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，解答此题时要注意，确定点a 的位置，再根据 a 的位置来确定 a 的值经典例题考点一：勾股定理的应用【例 1】如图所示，在一次夏令营活动中，小明坐车从营地 a 点出发，沿北偏东

11、60方 向走了 100 3km 到达 b 点，然后再沿北偏西 30方向走了 100km 到达目的地 c 点，求出 a、 c 两点之间的距离【例 2】如图，在树上距地面 10m 的 d 处有两只猴子，它们同时发现地面上 c 处有一 筐水果，一只猴子从 d 处向上爬到树顶 a 处，然后利用拉在 a 处的滑绳 ac 滑到 c 处，另 一只猴子从 d 处先滑到地面 b，再由 b 跑到 c，已知两猴子所经过的路程都是 15m，求树 高 ab.5 / 72 2人教版八年级下册数学勾股定理知识点和对应练习【例 3】如图，四边形 abcd 是边长为 9 的正方形纸片，将其沿 mn 折叠，使点 b 落在 cd 边上的 b处，点 a 的对应点为 a，且 bc3，则 am 的长是( )a1.5 b2 c2.25 d2.5拓展提升1、如图所示，“赵爽弦图”由 4 个全等的直角三角形拼成，在 rt abc 中，acb=90 ， ac=b，bc=a，请你利用这个图形解决下列问题：（1） 证明勾股定理；（2） 说明 a +b 2ab 及其等号成立的条件2、如图，将边长为 a 与 b、对角线长为 c 的长方形纸片 abcd，绕点 c 顺时针旋转 90得到 长方形 fgce，连接 af通过用不同方法计算梯形