2.3垂径定理 (2)

1、2.3 垂径定理 合作合作 探究探究 课后课后 作业作业 课堂课堂 小结小结 情景情景 引入引入 问题:你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度 (弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距 离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 赵州桥主桥拱的半径是多少？赵州桥主桥拱的半径是多少？ 首页首页 情景引入情景引入 由此你能得到圆的什么特性？由此你能得到圆的什么特性？ 可以发现：圆是轴对称图形。任何一条直径所在直 线都是它的对称轴 问题1：不借助任何工具，你能找到圆形纸片的圆心 吗？ 首页首页 探究点一探究点一 垂径定理垂径定理 合作探究合作探究 问题2：如图,AB是O的一

2、条弦, 直径CDAB, 垂足 为E.你能发现图中有那些相等的线段和弧? 为什么? O AB C D E 线段线段: AE=BE: AE=BE 弧弧: AC=BC, AD=BD: AC=BC, AD=BD 首页首页 垂径定理垂径定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧 CDABCDAB CD CD是直径，是直径， AE=BE, AE=BE, AC =BC, AC =BC, AD =BD.AD =BD. O AB C D E 提示提示: : 垂径定理是圆中一个重要的定理垂径定理是圆中一个重要的定理, , 三种语言要相互转化三种语言要相互转化, ,形成整体形成整体, ,才才 能运用自如能运

3、用自如. . 首页首页 E D C O A B 下列图形是否具备垂径定理的条件？ E C O A B D O A B c 是是不是不是是是不是不是 O E D C A B 首页首页 E D C O A B O B C A D D O B C AO B A C 垂径定理的几个基本图形： CD过圆心 CDABCDAB于于E E AE=BE AC= BC AD= BD 首页首页 例例1 1：如图，：如图，ABAB是是O O的直径，的直径，CDCD为弦，为弦， CDABCDAB于于E E，则下列结论中，则下列结论中不成立不成立的是的是 （ ） A.COE=DOEOE=DOE B.CE=DECE=DE

4、C.OE=AEOE=AE D.BD=BCBD=BC O A B E C D C 首页首页 例题学习例题学习 例例2 2：如图，：如图，OEABOEAB于于E E，若，若O O的半径为的半径为 10cm,OE=6cm,10cm,OE=6cm,则则AB=AB= cmcm。 O A BE 解：解：连接连接OAOA， OEABOEAB cm OEOAAE 8610 22 22 AB=2AE=16cm AB=2AE=16cm 首页首页 问题：你能利用垂径定理解决求赵州桥拱半径 的问题吗? 探究点二探究点二 垂径定理的实际应用垂径定理的实际应用 首页首页 37.4m 7.2m AB O C D 首页首页

5、AB O C D 解：如图，用解：如图，用ABAB表示主桥拱，设表示主桥拱，设ABAB 所在的圆的圆心为所在的圆的圆心为O O，半径为，半径为r.r. 经过圆心经过圆心O O作弦作弦ABAB的垂线的垂线OCOC垂足为垂足为 D D，与，与ABAB交于点交于点C C，则，则D D是是ABAB的中的中 点，点，C C是是ABAB的中点，的中点，CDCD就是拱高就是拱高. . AB=37.4m AB=37.4m，CD=7.2mCD=7.2m AD=1/2 AB=18.7m AD=1/2 AB=18.7m，OD=OC-CD=r-7.2OD=OC-CD=r-7.2 222 ADODOA 2 22 2 .

6、 77 .18rr 解得解得r=27.9r=27.9（m m） 即即主桥拱半径约为主桥拱半径约为27.9m.27.9m. 首页首页 关于弦的问题，常常需要关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段过圆心作弦的垂线段， 这是一条非常重要的这是一条非常重要的辅助线辅助线。 圆心到弦的距离、半径、弦圆心到弦的距离、半径、弦构成构成直角三角形直角三角形， 便将问题转化为直角三角形的问题。便将问题转化为直角三角形的问题。 知识要点知识要点 首页首页 例4:如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD, 点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点, 且OECD垂足为F,EF=90m.求这

7、段弯路的半径. 解解: :连接连接OC.OC. O C D E F .)90(,mROFRm则设弯路的半径为 ,CDOE ).(300600 2 1 2 1 mCDCF 得根据勾股定理, 即, 222 OFCFOC .90300 2 22 RR .545,R得解这个方程 .545m这段弯路的半径约为 首页首页 例题学习例题学习 CDAB,CDAB, CD CD是直径，是直径， AE=BE AE=BE AC =BC, AC =BC, AD =BD.AD =BD. O AB C D E 探究点三探究点三 垂径定理的推论垂径定理的推论 命题：命题：“平分弦平分弦（不是直径）（不是直径）的直径垂直于的

8、直径垂直于 弦弦, ,并且平分弦所对的两条弧。并且平分弦所对的两条弧。”是真命题吗是真命题吗? 若是，请证明；若不是请举出反例若是，请证明；若不是请举出反例. 首页首页 （1 1）如何证明？）如何证明？ O AB C D E 已知：已知：如图，如图，CDCD是是O O的直径，的直径， ABAB为弦为弦，且，且AE=BE.AE=BE. 证明：证明：连接连接OAOA，OBOB，则，则OA=OBOA=OB AE=BE AE=BE CDAB CDAB AD=BD, AD=BD, 求证：求证：CDABCDAB，且，且AD=BD,AD=BD, AC =BC AC =BC AC =BC AC =BC 首页首

9、页 （2 2）“不是直径不是直径”这个条件能去掉吗？这个条件能去掉吗？ 如果不能，请举出反例。如果不能，请举出反例。 平分弦平分弦（不是直径）（不是直径）的直径垂直的直径垂直 于弦于弦, ,并且平分弦所对的两条弧。并且平分弦所对的两条弧。 O A B C D 首页首页 CD CD是直径是直径, , CDAB, CDAB, AM=BM AM=BM AC=BC,AC=BC, AD=BD.AD=BD. 如果具备上面五个条件中的任何两个，那如果具备上面五个条件中的任何两个，那 么一定可以得到其他三个结论吗？么一定可以得到其他三个结论吗？ 一条直线一条直线满足满足:(1):(1)过圆心过圆心;(2);(

10、2)垂直于弦垂直于弦;(3);(3) 平分弦平分弦（不是直径）（不是直径）; (4); (4)平分弦所对优平分弦所对优 弧弧;(5);(5)平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧. . O AB C D M 首页首页 根据已知条件进行推导：根据已知条件进行推导： 过圆心过圆心 垂直于弦垂直于弦 平分弦平分弦 平分弦所对优弧平分弦所对优弧 平分弦所对劣弧平分弦所对劣弧 （1 1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧。对的两条弧。 （3 3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条

11、弧。 （2 2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分 弦所对的另一条弧。弦所对的另一条弧。 只要具备上述五个条件中任两个只要具备上述五个条件中任两个,就可以推出其余三个就可以推出其余三个. 知识要点知识要点 首页首页 例3: 如图，点A、B是O上两点，AB=10，点P是 O上的动点P与A、B不重合），连结AP、BP，过 点O分别作OEAP于E， OFPB于F，求EF的长. 解：在解：在O中中,OEAP,OEAP， OFPB, OFPB, AE=PE, BF=PF,AE=PE, BF=PF, EFEF是是ABPABP的中位线的中位线, , EF= AB= EF= AB= 10=5cm.10=5cm. 首页首页 例题学习例题学习 圆是轴对称图形圆是轴对称图形, ,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴经过圆心的每一条直线都是它的对称轴. . 垂直于弦的直径平分这条弦垂直于弦的直径平分这条弦, ,并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧 . . 垂径定理垂径定理: : 在解决有关圆的问题时，可以利用垂径定理将其转化在解决有关圆的问题时，可以利用垂径定理将其转化 为为解直角三角形解直角三角形的问题的问题 。 根据垂径定理与推论可知对于