第三节列紧集

1、实用标准文案 泛函分析题1_3列紧集p19 1.3.1在完备的度量空间中，求证：为了子集 A是列紧的，其充分必要条件是对 0 ,存在A的列紧的网. 证明：(1)若子集A是列紧的，由Hausdoff定理， 0 ,存在A的有限网N . 而有限集是列紧的，故存在 A的列紧的 网N . 若 0 ,存在A的列紧的/2网B. 因B列紧，由Hausdoff定理，存在B的有限/2网C. 因C B A，故C为A的有限网. 因空间是完备的，再用Hausdoff定理，知A是列紧的. 1.3.2在度量空间中，求证：紧集上的连续函数必是有界的， 并且能达到它的上、 下确界. 证明：设(X,)是度量空间，D是紧子集，f

2、: D是连续函数. 若f无上界，则 n +，存在xn D，使得f (xn) 1/ n . 因D是紧集，故D是自列紧的. 所以Xn存在收敛子列Xn(k)X0 D (k ). 由 f 的连续性，f(Xn(k)f (X0) (k ). 但由 f (Xn) 1/ n 知 f (Xn) + (n )， 所以 f(Xn(k)+ (k)，矛盾. 故f有上界.同理，故f有下界. 设 M = sup x D f(x)，贝U n +，存在 yn D，使得 f (yn) M 1/ n . yn存在子列 yn(k) yo D (k ). 因此 f ( yo ) M . 而根据M的定义，又有f ( yo ) M . 所

3、以f ( yo ) = M .因此f能达到它的上确界. 同理，f能达到它的下确界. 133在度量空间中，求证：完全有界的集合是有界的，并通过考虑I 2的子集E =e k k i，其中e k = 0, 0, ., 1,0, . (只是第k个坐标为1，其余都是0 )， 来说明一个集合可以是有界的但不完全有界的. 证明：(1)若A是度量空间(X,)中的完全有界集. 则存在 A 的有限 1-网 N = X0, X1 , X2, ., Xn . 令 R =1 j n (X0, Xj) + 1 . 则x A，存在某个j使得0 j n，且(x, Xj) 1 . 因此，(x, X0)(x, Xj) + (Xj

4、, X0) 1 + 1 j n (X0, Xj) = R. 所以A是度量空间(X,)中的有界集. 注意到(ek , e j) = 2 1/2 ( k j )， 故E中任意点列都不是Cauchy列. 所以，E中任意点列都没有收敛子列(否则，该收敛子列就是Cauchy列，矛盾). 因此，E不是列紧集. 由I 2是完备的，以及Hausdorff定理，知E不是全有界集. 但E显然是有界集. 134设(X,)是度量空间，Fi, F2是它的两个紧子集，求证：Xi Fi(i = 1,2), 使得(Fi,F2) =(xi, X2).其中(Fi,F2) =inf (x, y) | xFi,yF2 证明：由(Fi

5、, F2)的定义，n + ,Xi(n)Fi ( i = i, 2),使得 (Xi(n), X2(n) 0 ,使得f M，( f, 0) K. 先证明A是一致有界的和等度连续的. F A， 存在f M，使得F(x)= :a, x f (t) dt . 由于 (F ,0) = max x a, b | F(x) | =max x a, b | a, x f(t) dt | ma X x a, b I f(t) | (b a )= (f, 0) (b a ) K (b a ) 故A 日 疋 -致有界的. 0， s, t a, b，当 | s t | 0 ,使得 x = ( 1, 2,., n, .)

6、 A，都有 | n | Cn ( n = 1,2,.). 证明：()设 Xk = ( 1(k), 2(k), ., n(k), .) ( k = 1,2,.)是 A 中的点列. 存在Xk的子列X1, k使得其第1个坐标1(1, k)收敛； 存在X1, k的子列X2, k使得其第2个坐标2(2, k)收敛; 如此下去，得到一个Xk的子列的序列，第(j +1)个子列是第j个子列的子列, 且第j个子列的第j个坐标是收敛的. 选取对角线构成的点列Xj,j，则Xj,j是Xk的子列，且每个坐标都收敛. 根据习题1.2.1的证明可知，S空间的点列收敛的充要条件是坐标收敛. 故Xj, j是收敛点列所以，A是列

7、紧的. ()我们只要证明，n +，A中的点的第n个坐标所构成的集合是有界集. 若不然，设A中的点的第N个坐标所构成的集合是无界的. 则存在 A 中的点列 Xk = ( 1(k), 2(k),，n(k),)(k = 1,2,.)，使得 I N(k)| k . 显然， N(k) 无收敛子列，故 Xk 也无收敛子列，这与A列紧相矛盾. 这样就完成了必要性的证明. 1.3.8设(X,)是度量空间，M是X中的列紧集，映射f : X M满足 (f(X1), f(X2) ( X1, X2 ) ( X1, X2 M , X1 X2). 求证：f在X中存在唯一的不动点. 证明：(1)首先证明cl( M)是紧集.

8、为此只要证明cl(M)列紧即可. 设 Xn 是cl(M)中的点列，则存在M中的点列 yn 使得(Xn, yn) 1/n . 因M列紧，故 yn 有收敛子列 yn(k)，设yn(k)u cl(M). 显然 Xn(k)也是收敛的，并且也收敛于u Cl(M). 所以cl(M)是自列紧的，因而是紧集. 令g(x) =( x, f (x)，则g是X上的连续函数. 事实上，由(f (X1), f (X2) 0，贝U ( X0, f (X0) 0，即 X0 f (X0). 故(Xo, f(xo)= g(xo)g( f(xo)=( f(xo),f ( f(xo) ( xo,f(xo),矛盾. 所以，必有g(xo) = o，即卩(xo, f (xo) = 0 ,因此xo就是f的不动点. 139设(M,)是一个紧距离空间，又E C(M), E中的函数一致有界并且满足 下列的 H?lder 条件：| x(ti) x(t