流体力学雷诺方程的推导

1、主要参数 R= 20mm, L=40 mm, n=1000 rpm, =0.3, c=2 mm.各种流体润滑问题都涉及在狭小间隙中的流体粘性流动， 描写这种物理现象的基本方程为 雷诺方程，他的普遍形式是22( h2 p)( h2p)6(Uh V h 2h)x( x)y (y)6(Ux V y 2t )这个椭圆形的偏微分方程仅仅对于特殊的间隙形状才可能求得解析解，而对于复杂的几何形 状或者工况条件下的问题，无法用解析方法求得精确解。随着迅速发展的点算技术，数值算 法成为求解润滑问题的有效途径。数值法师讲偏微分方程转化为代数方程组的变换方法。它的一般原则是：首先将求解域 划分成有限个数的单元，并使

2、每一个单元充分的微小。以至于可以认为在各单元内的未知量 (本人毕业设计中设油膜压力为 P)相等或者依照线性变化，而不会造成很大的误差。然后， 通过物理分析或数学变换方法，将求解的偏微分方程写成离散形式，即使将它转化成一组线 性代数方程。该代数方程组表示了各个单元的待求未知量于周围各单元未知量的关系。最后 根据消去法或者迭代法求解代数方程组，从而求得整个求解域上的未知量。用来求解雷诺方程的数值方法很多，最常用的是有限元差分方法、有限元法和边界元法， 这些方法都是将求解域划分成许多个单元，但是处理方法各不相同。在有限差分法和有限元 法中，代替基本方程的函数在求解域内是近似的，但完全满足边界条件。而

3、边界元法所用的 函数在求解域内完全满足基本方程，但是在边界上则近似的满足边界条件。一、雷诺方程的数值解法根据边界条件求解雷诺方程，这在数学上称为边值问题。首先将所求解的偏微分方程无量纲化。这样做的目的是减少自变量和因变量的数目，同 时用无量纲参数表示的解具有通用性。然后，将求解域划分成等距的或者不等距的网格，如图 1-1 为等距网格。图 1-1沿轴向将 Y 划分为 8 个等距区间，沿周向从0到 2 划分为 12个等距区间。这样在 Y方向有 13个节点， 方向有 9个节点，总计 13 9 117个节点。则 1 ， Y 1 。68有限差分法如果用 P代表所求的未知量例如油膜压力， 则变量 P 在整

4、个域中的分布可以用各节点的 P 值来表示。根据差分原理， 任意节点 O(i, j)的一阶和二阶偏导数都可以由其周围的节点变量值 来表示。如图 1-2所示，如果采用中差分公式，则变量 P 在O(i, j)点的偏导数为图.1-2p) pi 1,j pi 1,j)i,j21-1)( p) pi,j 1 pi,j 1y i,j 2 yp)pi 1,j pi 1,j 2pi,j2)i,j( )21-2)22p2)i,j2 i,jypi,j 1 pi,j 1 2pi,j( y)2以 P 为润滑膜压力，雷诺方程的二维二阶偏微分方程的标准形式为：1-3)A 2P2 B 2P2 C P D P E2Y2Y其中

5、A,B,C,D 和 E都为已知量。然后将上述方程应用到各个节点， 根据中差分公式 (1-1) 和( 1-2)用差商代替偏导数，即可求得各个节点的变量pi.j 于相邻各个节点变量的关系。这种关系可以写成：1-4)pi,jCN pi,j 1CSpi,j1CEpi1,jCWpi1,j G其中CNCSCECWK 2( By 2y2By2A2A2 E KA2Dy ) /2yDy ) 2yC)2C)21-5)By2)式（ 1-4）中各系数值随节点位置而改变。方程（ 1-4）是有限差分法的计算方程，对于每个节点都可以写出一个方程，而在边界上 的节点变量应满足边界条件，它们的数值是已知量。这样，就可以求得一组

6、线性代数方程。 方程与未知量数目相一致，所以可以求解。采用消去法或者迭代法求解代数方程组，并使计 算结果满足一定的收敛精度，最终求得整个求解域上各节点的变量值。求解代数方程使用迭代法求解。1、雷诺方程的无量纲化定常雷诺方程x(h33 p ) ( h 3 xyp p) y(2-1)将轴承表面沿平面展开，如图 1-1 所示，并代入 x R ,dx Rd .3hp(R Rd2 p h 3 y26uhRd等式两边同时乘以 R2则雷诺方程变为(h 3 p )2 p2 h 3y26uR ddh(2-2)若令y YL/2, (2R/ L)2,h c(1 cos) Hc,p P6u2R c2代入后得33(H

7、3c 36 u RP3 3 2 6 u R2PY22( L2 )2 c2 cdH6u Rd化简得3P3 2 R22PdH(H3)H (3)22LY2d2将 （2R/L）2 代入得)H2PY2dHd2-3)代入（ 2-3）式，得h c(1 cos ) HcH 1 cos22 P 2 P 3- 3( sin ) H H 2 H22PY2d (1 cos )d再次化简得无量纲雷诺方程-3（ sin ） P 2P2 P1 cos 2Y 2sin1 cos )32-4)R 为轴承半径， L 为轴承长度， 为偏心e/c 率， e为偏心距， c为半径间隙，采用有限元差分法进行迭代计算。式（ 1-4）为标准形

8、式，参考标准式（ 1-3）可求得标准式中 A,B,C,D,E 的值。A 1，B ,C3 sin1 cos,D 0,Esin(1 cos )3将以上各值代入式（ 1-5）求得(22 Y 2 )2(22 Y 2 )2(1 cos ) 3 sin22 2 (1 cos )CW2 (1 cos ) 3 sin22 2 (1 cos )223 sin 2 Y 23 2 2(1 cos ) 2 ( Y )222( 2 Y 2 )将已知值代入式（ 1-4）Pi,（222 Y 2)P 2 PPi,j 1(22 Y 2) Pi,j 12 (1cos ) 3 sin P2 2 (1 cos ) P2(1 cos

9、) 3 sin P2 2 (1 cos ) Pi 1, j3 sin(1 cos)3 2( 2 Y 2 )2-5)(2R/ L)22(2 20 / 40 )2 1, 0.3代入式（ 2-5）得迭代方程 :Pi,j2(222Y 2 ) Pi,j 1 (2 2 Y 2 ) Pi,j 12 (1 0 .3 cos ) 0 .9 sin2 2 (1 0.3 cos )Pi 1. j2(1 0 .3 cos) 0.9 sin2 2 (1 0 .3 cos )Pi 1, j2Y0 .9 sin(1 0 .3 cos ) 3 2 ( 2 Y 2 )Y18代入上式中，得Pi , j 0 .9 Pi , j 1 0 .9 Pi , j 12(1 0 .3 cos ) 0.4 7 sin0 .5 4 (1 0 .3 cos )Pi 1 . j2 (1 0 .3 cos ) 0 .4 7 sin Pi 1 . j 0.5 4(1 0.3 cos ) i 1. j0 .0 12 sin3(1 0 .3 cos ) 3( 2-6)上式为最终迭代方程。边界问题：将轴承表面沿平面展开，如图 2-1图.2-1对于径向轴承，方程（ 2-4）中两个