概率论期末复习知识点汇编

1、学习 好资料知识点第一章 随机事件与概率本章重点：随机事件的概率计算1 * 事件的关系及运算(1) A B(或 B A)nn Ai(2) 和事件 ： A B； A1 A2An (简记为 i 1 i )n(3) 积事件 ： AB， A1 A2An (简记为 A1A2 An或i 1Ai )(4) 互不相容 ：若事件 A和 B不能同时发生，即 AB(5) 对立事件 ： A (6) 差事件 ：若事件 A发生且事件 B不发生，记作 A B(或AB ) (7) 德 摩根( De Morgan)法则 ：对任意事件 A 和 B有A B A B, A B A B2 * 古典概率的定义 古典概型 ：nAnA中所含

2、样本点的个数P(A) 中所含样本点的个数几何概率A的长度(或面积、体积) P(A) 样本空间的的长度(或面积、体积)更多精品文档学习 好资料3 * 概率的性质(1) P( ) 0 (2) (有限可加性 ) 设n 个事件 A1,A2, , An两两互不相容，则有 nP(A1 A2An)P(Ai )i 1 (3) P(A) 1 P(A)(4) 若事件 A，B满足 A B ，则有P(B A) P(B) P(A),P(A) P(B) (5) P(A) 1(6) (加法公式 ) 对于任意两个事件 A，B，有P(A B) P(A) P(B) P(AB)对于任意 n 个事件 A1, A2, ,An ，有P(

3、n nAi1ni)P(Ai)P(AiAj )i 1 1 i j nP(AiAj Ak)( 1)nP(A1 An)4 * 条件概率与乘法公式P(A|B)P(AB)P(B)乘法公式：P(AB) P(A)P(B |A) P(B)P(A| B)5* 随机事件的相互独立性事件 A与 B相互独立的充分必要条件一：更多精品文档学习 好资料P( AB) P( A)P(B) 事件 A与 B相互独立的充分必要条件二：P(A |B) P(A)对于任意 n 个事件 A1, A2, , An相互独立性定义如下：对任意一个1 i1ik n ，若事件 A1, A2, ,An 总满足P(Ai1 Aik) P(Ai1) P(A

4、ik )，则称事件 A1, A2, , An相互独立这里实际上包含了 2n n 1个等式6*贝努里概型与二项概率设在每次试验中，随机事件发生的概率 P(A) p(0 p 1) ， 验中，事件恰发生 k 次的概率为n k n kPn(k)pk(1 p)n k, k 0,1, ,nn k ，7 * 全概率公式与贝叶斯公式贝叶斯公式：k 2, ,n ，任意的则在 n 次重复独立试如果事件 A1, A2, , An两两互不相容，且nAii 1 i， P(Ai) 0 ，i1,2, , n ，则P(Ak)P(B |Ak)P(Ak |B) n k k ,k 1,2, ,nP(Ai)P(B| Ai)i1第二章

5、 一维随机变量及其分布本章重点：离散型和连续性随机变量的分布及其概率计算 概率论主要研究随机变量的统计规律，也称这个统计规律为随机变量的分布更多精品文档学习 好资料1 * 离散型随机变量及其分布律pi P(X ai ), i 1,2, , n, .分布 律 也可用下列表格形式表示：Xa1 a2anPrp1 p2pn2* 概率函数的性质(1) pi 0 ， i 1,2, , n, ;pi 1(2) i 1 3*常用离散型随机变量的分布(1) 01分布 B(1, p) ，它的概率函数为P(X i) pi(1 p)1 i其中， i 0或 1， 0 p 1 (2) 二项分布 B(n,p) ，它的概率函

6、数为 n i nP(X i) pi (1 p)ni其中， i 0,1,2, ,n， 0 p 1()* 泊松分布 P( ) ，它的概率函数为更多精品文档学习 好资料iP(X i) e i! ，其中， i 0,1,2, ,n, ， 0 4* 二维离散型随机变量及联合概率二维离散型随机变量 (X,Y) 的分布可用下列联合概率函数来表示：P(X ai,Y bj) pij , i,j 1,2, ,pij 0, i, j 1,2, ,pij 1其中， i j 5* 二维离散型随机变量的边缘概率设(X,Y) 为二维离散型随机变量， pij 为其联合概率(i,j 1,2, )，称概率 P(X ai)(i 1,

7、2, )为随机变量 X 的边缘分布律，记为 pi 并有pi . P(X ai )pij ,i 1,2,j，称概率 P(Y bj)( j 1,2, )为随机变量 Y的边缘分布率，记为 p.j ，并有p. P(Y bj)pij, j 1,2,p.j =i .6随机变量的相互独立性设( X ,Y)为二维离散型随机变量， X 与Y相互独立的充分必要条件为pij pi p j , 对一切 i, j 1,2, .多维随机变量的相互独立性可类似定义即多维离散型随机变量的独立性有与二维相 应的结论7* 随机变量函数的分布设X 是一个随机变量， g(x)是一个已知函数， Y g(X)是随机变量 X 的函数，它

8、也是一个随机变量对离散型随机变量 X ，下面来求这个新的随机变量 Y 的分布 更多精品文档学习 好资料设离散型随机变量 X 的概率函数为Xa1 a2anPrp1 p2pn则随机变量函数 Y g(X) 的概率函数可由下表求得Y g(X)g(a1 ) g(a2 )g(an)Prp1p2pn但要注意， 若 g(ai) 的值中有相等的， 则应把那些相等的值分别合并， 同时把对应的概率 pi 相加第三章 连续型随机变量及其分布本章重点：一维及二维随机变量的分布及其概率计算,边缘分布和独立性计算1* 分布函数随机变量的分布可以用其分布函数来表示，F(x) P(X x)2分布函数 F(x)的性质(1) 0

9、F(x) 1;imi(x) 1(2) lximF(x) 0,更多精品文档学习 好资料由已知随机变量 X 的分布函数 F (x) ，可算得 X 落在任意区间 (a,b 内的概率P(a X b) F(b) F(a)3联合分布函数二维随机变量 (X,Y) 的联合分布函数F(x,y) P(X x,Y x)4联合分布函数的性质(1) 0 F(x, y) 1；lim F ( x, y) 0, lim F(x,y) 0 (2) x ylimF(x,y) 0,xylimF(x, y) 1(3)P(x1Xx2,y1Yy2)F(x2,y2)F(x2, y1)F(x1, y2)F(x1,y1) 5 * 连续型随机变

10、量及其概率密度设随机变量 X 的分布函数为 F(x) ，如果存在一个非负函数 f(x) ，使得对于任一实数 x，有xF(x) f (x)dx成立，则 称 X为连续型随机变量 ，函数 f (x) 称为连续型随机变量 X 的概率密度6* 概率密度 f (x) 及连续型随机变量的性质() f (x) 0;() f (x)dx 1；() ；() F (x) f(x) ；更多精品文档学习 好资料4)设 X 为连续型随机变量，则对任意一个实数c， P(X c) 0 ；(5) 设 f ( x)是连续型随机变量 X 的概率密度，则有P( a X b) P(a X b) P(a X b) P(a X b)bf

11、( x )dxa7 * 常用的连续型随机变量的分布(1)均匀分布 R(a,b) ，它的概率密度为其中，1f ( x) b a0,a x b;其余.(2)指数分布E ( ) ，它的概率密度为f ( x)e0,0,x 0;其余.其中，其中，(3) 正态分布N( , 2) ，它的概率密度为f (x), 0 ，当1 e (x2 2)20,1时，称 N (0,1) 为标准正态分布，它的概率密度为f(x)x2e 2 , x2标准正态分布的分布函数记作 (x) ，即更多精品文档学习 好资料t2(x) 2dt当出 x 0 时， (x)可查表得到；当 x 0时， ( x)可由下面性质得到( x) 1 (x) 2

12、设 X N( , 2)，则有xF(x) (x ) ；baP(a X b) ( ) ( )* 二维连续型随机变量及联合概率密度对于二维随机变量(X，Y)的分布函数 F(x,y) ，如果存在一个二元非负函数f(x,y) ，使得对于任意一对实数 (x, y) 有xyF(x,y) f(s,t)dtds成立，则 (X,Y) 为二维连续型随机变量， f (x, y) 为二维连续型随机变量的联合概率密度* 二维连续型随机变量及联合概率密度的性质(1) f (x,y) 0, x,y(2)f (x,y)dxdy 1(3) 在 f (x, y) 的连续点处有2F (x, y)xyf (x,y)(4) 设(X,Y)

13、 为二维连续型随机变量，则对平面上任一区域 D有更多精品文档学习 好资料P( X , Y) D)f (x, y)dxdyD1，* 二维连续型随机变量 ( X ,Y)的边缘概率密度设 f (x,y) 为二维连续型随机变量的联合概率密度，则 X 的边缘概率密度为fX(x) f (x, y)dy ；Y 的边缘概率密度为fY(y)f (x,y)dx11常用的二维连续型随机变量(1) 均匀分布如果 (X,Y) 在二维平面上某个区域 G上服从均匀分布，则它的联合概率密度为1f (x,y) G的面积(2) 二维正态分布N( 1, 2, 12, 22, )x,y) G; 其余.如果 (X,Y) 的联合概率密度

14、1f (x,y) exp 22 1 2 1 2 2(1 2) 则称 (X,Y) 服从二维正态分布，并记为1 (x 1)2 2 (x 1)( y 2) (x 1)22 2 1 2121222(X,Y) N( 1, 2, 12, 22, )如果 (X,Y) N( 1, 2, 12, 22, )，则 X N( 1, 12)Y N( 2, 22)，即二维正0,态分布的边缘分布还是正态分布更多精品文档学习 好资料12 * 随机变量的相互独立性F (x,y) FX (x)FY(y), 对一切x, y ，那么，称随机变量 X 与 Y 相互独立设 (X,Y) 为二维连续型随机变量，则 X 与 Y 相互独立的充

15、分必要条件为f (x, y) fX(x) fY(y), 在一切连续点上 .22如果 (X ,Y) N( 1, 2, 1, 2, ) 那么， X 与Y 相互独立的充分必要条件是第四章 随机变量的数字特征本章重点：随机变量的期望。方差的计算 1 * 数学期望设 X 是离散型的随机变量，其概率函数为P( X ai ) pi , i 1,2, ,则定义 X 的 数学期望 为E(X )ai pii；设 X 为连续型随机变量，其概率密度为 f (x) ，则定义 X 的数学期望 为E(X ) xf (x)dx 2*随机变量函数的数学期望设 X 为离散型随机变量，其概率函数P(X ai) pi , i 1,2

16、, ,则 X 的函数 g(X ) 的数学期望为更多精品文档学习 好资料Eg(X)g(ai)pii设 (X,Y) 为二维离散型随机变量，其联合概率函数P(X ai,Y bj) pij , i, j 1,2, ,则 (X,Y) 的函数 g(X,Y) 的数学期望为Eg(X,Y)g(ai,bj )pijj i ；3 * 数学期望的性质(1) E(c) c (其中 c 为常数 )；(2) E(kX b) kE(X) b ( k,b为常数 )；(3) E(X Y) E(X) E(Y) ；(4) 如果 X 与相互独立，则 E(XY) E(X)E(Y) .4 * 方差与标准差随机变量 X 的方差定义为2D(X

17、) EX E(X)2 计算方差常用下列公式：D(X) E(X 2) E(X)2当 X 为离散型随机变量，其概率函数为 更多精品文档学习 好资料P(X ai) pi , i 1,2, ,则 X 的方差为2D(X)(ai E(X)2 pii当 X 为连续型随机变量，其概率密度为 f (x)，则 X 的方差为D(X) (x E(x)2 f(x)dx随机变量 X 的标准差定义为方差 D ( X )的算术平方根 D(X) .5 * 方差的性质(1) D(c) 0 (c 是常数 )；2(2) D(kX) k D(X) (k为常数 )；(3) 如果 X 与Y独立，则 D(X Y) D(X) D(Y).6原点矩与中心矩随机变量 X 的 k 阶原点矩定义为E(Xk)；随机变量 X 的 k 阶中心矩定义为E(X E(X)k ；7 * 常用分布的数字特征更多精品文档学习 好资料(1) 当