离散型随机变量地期望与方差同步

1、实用标准文案离散型随机变量的期望与方差知识回顾1 离散型随机变量的期望公式是什么，它反映了什么？E(x) x1p1 x2p2 L xnpn ， 离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平2 离散型随机变量的方差公式是什么，它反映了什么？D(X) (x1 E(x)2p1 (x2 E( x) 2 p2 L (xn E( x) 2 pn 离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小(离散程度)3 二项分布的的期望与方差分别是什么？若离散型随机变量 X服从参数为 n和 p的二项分布，则 E(X) np，D(x) npq (q 1 p)知识讲解离散型随机变量

2、的期望与方差1 离散型随机变量的数学期望定义：一般地，设一个离散型随机变量 X 所有可能的取的值是 x1， x2 ， xn ，这些值对应的概 率是 p1， p2， pn，则 E(x) x1p1 x2p2 L xnpn ，叫做这个离散型随机变量 X 的均值或数学 期望(简称期望) 离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平2 离散型随机变量的方差 一般地，设一个离散型随机变量 X 所有可能取的值是 x1 ，x2 ，xn ，这些值对应的概率是 p1 ，p2 ，2 2 2pn，则D(X) (x1 E(x)2p1 (x2 E( x)2 p2 L (xn E(x) 2 pn叫做这个离

3、散型随机变量 X 的方差离 散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小(离散程度) D ( X )的算术平方根 D(x) 叫做离散型随机变量 X 的标准差，它也是一个衡量离散型随机变量波动大 小的量文档实用标准文案3 X为随机变量 ， a ，b为常数 ，则E(aX b) aE(X) b ，D (aX b) a2D(X)；4 典型分布的期望与方差：1)二点分布： 在一次二点分布试验中， 离散型随机变量 X 的期望取值为 p，在 n次二点分布试验中，离散型随机变量 X 的期望取值为 np ( 2 )二项分布：若离散型随机变量X 服从参数为 n和 p的二项分布，则 E(X)

4、 np ，D(x) npq (q 1 p) (3)超几何分布：若离散型随机变量 X 服从参数为 N，M ，n 的超几何分布，nM则E(X) ， D(X) Nn(N n)(NM )M 1) 2N2(N题型一选择填空【例 1】下面说法中正确的是( )A离散型随机变量的期望 E反映了取值的概率的平均值B离散型随机变量的方差 D反映了取值的平均水平C离散型随机变量的期望 E)反映了取值的平均水平D 离散型随机变量的方差 D反映了取值的概率的平均值【例 2】投掷 1 枚骰子的点数为 ，则的数学期望为( )A3B3.5C4D 4.5例 3】 已知随机变量 X 的分布列为X123P0.40.20.4则 D(

5、X)等于()A 0B 0.8C2D 1文档实用标准文案例 5】 样本共有五个个体，其值分别为例 4】 随机变量 的分布列如下：101Pabc1其中 a，b，c成等差数列，若 E13.则 D 的值是a ，0，1，2， 3若该样本的均值为 1,则样本方差为A 6 2例 6】 某射手射击所得环数 的分布列如下78910Px00y13已知 的期望 E8.9,则 y的值为 题型二、综合题例7】 编号1，2，3的三位学生随意入座编号为 1， 2， 3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座 位编号相同的学生的个数是 X 求随机变量 X 的概率分布； 求随机变量 X 的数学期望和方差文档实用标准文案例 8】

6、学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3 个白球、 2 个黑球，乙箱子里装有 1 个白球、2 个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2个球，若 摸出的白球不少于 2 个，则获奖 （每次游戏结束后将球放回原箱）（）求在 1 次游戏中，（i）摸出 3 个白球的概率； （ ii）获奖的概率； （）求在 2 次游戏中获奖次数 X 的分布列及数学期望 E（X ）来源】（ 2011 天津理）文档实用标准文案例 9】 某校组织“上海世博会”知识竞赛已知学生答对第一题的概率是0 6，答对第二题的概率是 05，并且他们回答问题相互之间没有影响 （ I） 求一名学生至少答对第一、

7、二两题中一 题的概率；（）记 为三名学生中至少答对第一、二两题中一题的人数，求 的分布列及数 学期望 E 来源】（ 2011 年丰台区期末理）文档实用标准文案例 10】 甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格 就签约乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约设每人面试合格的 概率都是 1 ，且面试是否合格互不影响求签约人数 的数学期望2例 11】某项考试按科目 A、科目 B 依次进行，只有当科目 A成绩合格时，才可继续参加科目B 的考试已知每个科目只允许有一次补考机会， 两个科目成绩均合格方可获得证书 现某人参加这 项考试，科目 A每次考

8、试成绩合格的概率均为 2 ，科目 B每次考试成绩合格的概率均为 1 假32 设各次考试成绩合格与否均互不影响 在这项考试过程中， 假设他不放弃所有的考试机会， 记 他参加考试的次数为 ，求 的数学期望 E 来源】（ 2008 福建）文档实用标准文案例 12】 某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为12345P0.40.20.20.10.1250元；商场经销一件该商品，采用 1期付款，其利润为 200元；分 2 期或 3期付款，其利润为 分 4 期或 5 期付款，其利润为 300 元 表示经销一件该商品的利润1) 求事件 A ：“购买该商品的 3位顾客中，至少有 1 位

9、采用 1期付款”的概率 P( A) ；2) 求 的分布列及期望 E 文档实用标准文案例 13】在某次测试中，甲、乙、丙三人能达标的概率分别为0.4，0.5， 0.8 ，在测试过程中，甲、乙、丙能否达标彼此间不受影响（1）求甲、乙、丙三人均达标的概率；（ 2 ）求甲、乙、丙三人中至少一人达标的概率；（ 3）设 X 表示测试结束后达标人数与没达标人数之差的绝对值，求X 的概率分布及数学期望 EX 例 14】某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9 个白球、 1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球， 记下颜色后放回， 摸出一个红球可获得奖金 10元；摸出两个红球可获得奖金 50元现 有甲、乙两位顾

10、客，规定：甲摸一次，乙摸两次，令 X 表示甲、乙两人摸球后获得的奖金总 额求：文档实用标准文案1） X 的概率分布； （ 2 ） X 的期望文档实用标准文案例 15】 A ，B 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是 A ，A ，A ， B 队队员是B ，B ，B ，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：A 队队员胜的A 队队员负的对阵队员概率概率A1对 B1213323A2 对 B25523A3对 B355现按表中对阵方式出场，每场胜队得 1分，负队得 0分设 A队、B 队最后总分分别为求 ， 的期望文档实用标准文案例16】下图是某市 3月1 日至 14 日的空气质

11、量指数趋势图 ,空气质量指数小于 100 表示空气质量优 良 ,空气质量指数大于 200 表示空气重度污染 ,某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 13 日中的某一天文档实用标准文案( )设 X 是此人停留期间空气质量优良的天数,求 X 的分布列与数学期望 ;( )由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明 )来源】( 2013 北京高考)文档实用标准文案例17】甲、乙两支排球队进行比赛 ,约定先胜 3 局者获得比赛的胜利 ,比赛随即结束 ,除第五局甲队获胜 12的概率是 外 ,其余每局比赛甲队获胜的概率都是,假设各局比赛结果相互独立 .23( )分别求甲队以 3:0

12、,3:1,3:2 胜利的概率 ;()若比赛结果为 3:0 或3:1,则胜利方得 3 分,对方得 0 分;若比赛结果为 3:2,则胜利方得 2 分、 对方得 1 分 .求乙队得分 X 的分布列及数学期望 .来源】( 2013 山东卷理)文档实用标准文案随堂练习练 1】 某班有甲、乙两个学习小组，两组的人数如下：现采用分层抽样的方法（层内采用简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3 名同学进行学业检测（）求从甲组抽取的同学中恰有 1名女同学的概率；（）记 X 为抽取的 3 名同学中男同学的人数，求随机变量 X 的分布列和数学期望来源】（ 2013 西城一模理）文档实用标准文案练 2】 某班联欢会举行抽

13、奖活动，现有六张分别标有1， 2，3， 4，5，6 六个数字的形状相同的卡片，其中标有偶数数字的卡片是有奖卡片， 且奖品个数与卡片上所标数字相同， 游戏规则如下： 每人每次不放回抽取一张，抽取两次 .（）求所得奖品个数达到最大时的概率；（）记奖品个数为随机变量 X ，求 X 的分布列及数学期望 .C 3 ，5D 4 ，5文档实用标准文案来源】（ 2013 东城一模理）文档实用标准文案【练 3】 在某大学自主招生考试中，所有选报II 类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为 A,B,C,D,E 五个等级 . 某考场考生两科的考试成绩的数据统 计如下图所示，其中

14、“数学与逻辑”科目的成绩为 B 的考生有 10 人 . （）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为 A 的人数；（）若等级 A，B，C，D，E分别对应 5 分，4 分，3 分，2 分，1 分.（i）求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；（ii）若该考场共有 10 人得分大于 7 分，其中有 2 人 10 分，2 人 9 分，6 人 8 分. 从这 10 人中随机抽取两人，求两人成绩之和的分布列和数学期望 .来源】（ 2013 海淀一模理）文档实用标准文案练 4】 一个盒子中装有 5 张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是1、 2、3、4、5，现从盒子中随机抽取卡片 .） 从盒子中依次抽

15、取两次卡片， 每次抽取一张，取出的卡片不放回，求两次取到的卡片的数字都为 奇数或偶数的概率；）若从盒子中有放回的抽取）从盒子中依次抽取卡片，3 次卡片，每次抽取一张，求恰有两次取到卡片的数字为奇数的概率； 每次抽取一张， 取出的卡片不放回， 当取到记有奇数的卡片即停止抽取，否则继续抽取卡片，求抽取次数B I AU BX 的分布列和期望C I B U eIAD IAU eI B来源】（2011 昌平二模理 16 ）文档实用标准文案文档实用标准文案课后作业题 1】 同时抛掷两枚相同的均匀硬币，随机变量1 表示结果中有正面向上，0表示结果中没有正面向上，则 E ， D 题 2】 已知离散型随机变量 X 的分布如下表若 E X 0,D X 1,则 a =,b =X1012Pabc112题 3 】 在某校组织的一次篮球定点投篮比赛中，两人一对一比赛规则如下：若某人某次投篮命中，则 由他继续投篮，否则由对方接替投篮 现由甲、乙两人进行一对一投篮比赛，甲和乙每次投 篮命中的概率分别是 1 ， 1 两人共投篮 3 次，且第一次由甲开始投篮 假设每人每次投篮32命中与否均互不影响（ 1） 求