空间解析几何与向量代数答案

1、第七章 空间解析几何与向量代数一、选择题1. 已知 A(1,0,2), B(1,2,1)是空间两点，向量 AB 的模是：(A ) A ) 5B) 3C ) 6D)92. 设 a=1,-1,3, b=2,-1,2，求 c=3a- 2b 是：( B )A ) -1,1,5.B) -1,-1,5.C) 1, -1,5. D ) -1,-1,6.3. 设a=1, -1,3, b=2, 1,-2 ，求用标准基 i, j, k表示向量 c=a-b为(A ) A )- i-2 j+5kB)- i- j+3kC)-i-j+5kD)-2 i- j+5k4. 求两平面 x 2y z 3 0和 2x y z 5 0

2、的夹角是：( C )A )B)C )D )2 4 35. 一质点在力 F=3i+4j+5k 的作用下，从点 A( 1,2,0)移动到点 B(3, 2,- 1)，求力 F 所作的功是：( B )A )5焦耳B)1 焦耳C)3焦耳D)9焦耳6. 已知空间三点 M(1,1,1)、A(2,2,1)和 B(2，1，2)，求 AMB 是： ( C)A )B)C)D )2 4 3x y 1 z 27. 求点 M (2, 1,10) 到直线 L：32 1 的距离是：( A )A ) 138 B 118C) 158D) 18. 设 a i k,b 2i 3j k,求 a b 是：( )A )- i-2 j+5k

3、B)- i- j+3k C)-i-j+5kD)3i-3 j+3k9. 设 ABC 的顶点为 A(3,0,2), B(5,3,1),C(0, 1,3) ，求三角形的面积是： ( A )A ) 3 6B) 4 6C) 2D) 32 3 310. 求平行于 z轴，且过点 M1 (1,0,1)和 M2(2, 1,1)的平面方程是：( D) A) 2x+3y=5=0B)x-y+1=0C)x+y+1=0D) x y / 13 0 11、若非零向量 a,b 满足关系式 a b a b ，则必有( C )；(A)a b=a b； (B)a b； (C)a b= 0； (D)a b=012、已知 a= 2, 1

4、,2 ,b = 1, 3,2 ，则 Pr jba= ( D )；3B)5；C)3；D)513、直线 x 1 y 1 z 1与平面 2x y z 4 0的夹角为 B1 0 16B)4D)14、点(1,1,1)在平面 x 2y z 1 0的投影为 AC） 1, 1,0 ；（D） 12, 1, 12A） 21,0,23 ； （B） 12,0, 3215、方程 x2 2y2 3z2 1表示曲面，其对称轴在 上；(A)单叶双曲面 ,x轴;(B)双叶双曲面 ,x轴;(C)单叶双曲面 , y 轴;(D)双叶双曲面 ,z16 设 a, b为非零向量，且 a b, 则必有( C )AababBa b a bCa

5、babDabab17、设向量 a,b相平行，但方向相反，则当 a b 0 时，必有( A )Aa b a bBababCa b a bDabab18 向量 a 与 b 的数量积a b=（ C ） .A arj ba ； Ba rjab；Carj ab； Db rj ab19 非零向量 a, b满足 ab 0 ，则有(C)A a b; Ba b( 为实数 ) ；Ca b； Da b 0 20 设 a与 b为非零向量，则 a b 0 是(A )A a b的充要条件；B a b的充要条件 ;C a b 的充要条件；Da b 的必要但不充分的条件21设a 2i 3j 4k,b 5i j k，则向量 c

6、 2a b在 y轴上的分向量是( B)A 7 B 7 jC1；D -9k22 空间曲线的方程是(B ）A 惟一的； B 不惟一的；C 可能不惟一；D不能确定2 2 223 方程组 2x2 y2 4z29表示 ( B)x1A 椭球面； B x 1 平面上的椭圆；C 椭圆柱面； D 空间曲线在 x 1 平面上的投影24 方程 x y 0 在空间直角坐标系下表示 ( C )A 坐标原点 (0,0,0) ； B xoy 坐标面的原点 (0,0) ；2 / 13xoy 坐标面 .C z 轴；25 设空间直线的对称式方程为A 过原点且垂直于 x 轴；C 过原点且垂直于 z 轴；26 设空间三直线的方程分别

7、为y z 则该直线必( A) .12 过原点且垂直于 y 轴； 过原点且平行于 x 轴 .x 3 y 4L1:1 2 5x 2y z 1 02x y z 0z; L : xy 3t1 3t; L : ; L2 : y 1 3t; L3 :3z 2 7t则必有( D).A L1 L2 ；B L1 L3 ； C L2 L3 ； D L1 L2 .二、填空题1 平面的点法式方程是2、 yoz坐标面的曲线 f(y,z) 0绕 z轴旋转生成的旋转曲面的方程是：3、 已知两点 A(4,0,5)与 B(7,1,3)，与向量 AB 方向一致的单位向量 a0 = 。4、 平面的一般式方程是 :5、 平面的截距式

8、方程是 :6、已知 a 2, b2 , 且 a b 2, 则 a b ；7、已知三向量 a, b, c两两互相垂直，且 a 1,b 2, c 1，则向量 s a b c的 模等于 ；8、旋转曲面 z 2 x2 y2 是由曲线 绕 z 轴旋转一周而得； xy19、空间曲线在 yOz 面上的投影为 ；zx10、当 时,直线 2x 3y z 1 平行于平面 4x y z 0。xt2(1)过点 M (1,2, 1) 且与直线 y 3t 4 垂直的平面方程是 .zt1(2)已知两条直线的方程分别是x 1 y 2 z 3 x 2 y 1 zL1:,L2 :，1 1 0 1 2 2 1 1则过 L1 且平行

9、于 L2的平面方程是 .3 / 13解( 1)化参数方程为对称方程： x 2 y 4 z 1 ，1 3 1 则所求平面的法向量为 n 1,3,1 ，依点法式得1(x 1) 3(y 2) 1 (z 1) 0， 即 x 3y z 4 0 (2)取 L1上的点 A(1,2,3) ，取i j kn s1 s2 1 0 1 1, 3,1 .2 1 1则由点法式可得所求平面方程为 x 3y z 2 0 三、判断题1、任何向量都有确定的方向。a,b 同向。(3、若 a b a c ，则 b c4、与非零向量 a 同向的单位向量a 只有 1 个 .5、与非零向量 a 共线的单位向量只有 1 个 .2、若两向量

10、 a,b 满足关系由于 P与 A、B 、 C三点等距，故 |PA|2 |PB|2 |PC |2，2 2 2 2 2解此方程组，得 y 1 ，3y 1 z 2y 5z 12 2 2 2 242y 22 z 2 2y 5 2z 1 2z 2 ，故所求的点为 P 0,1, 22证明 x2 y2 z2 2x 4y 4z 0 是一个球面方程，并求出球心和半径证：将方程移项并配方， 得： x 12 y 2 2 z 2 2 32 ，由两点间的距 离公式知它是以 P1, 2,2 为球心， 3 为半径的球面方程。3已知 M1 2,2, 2 ，M2 1,3,0 ，求 M 1M 2的模、方向余弦与方向角解：由题设知

11、： M1M2 1 2,3 2,0 2 1,1, 2 , 则M1M21 2 122 2 2,1 1 2 cos ，cos ，cos2 2 2于是，4已知 a 3,5, 1 ， b 2,2,3 ， c 4, 1, 3 ，求下列各向量的坐标：(1) 2a ；(2)a b c ；(3)2a 3b 4c ；(4) ma nb.解：(1) 2a 6,10, 2 ；(2)a b c 1,8,5 ；(3) 2a 3b 4c 16,0, 23 ； (4)ma nb 3m 2n,5m 2n, m 3n.5 设 m 3i 5j 8k ， n 2i 4j 7k 和 p 5i j 4k ， 求 向 量 a 4m 3n

12、p 在 x 轴上的投影及在 y 轴上的分向量。解：a 43i 5j 8k 32 i 4j 7k 5i j 4k 13i 7j 15k故a在 x轴上的投影为 13，在 y 轴上的分向量为 7j。6在 xoz 坐标面上求一与已知向量 a2,3,4 垂直的向量。解：设所求向量为 b x0,0,z0 ，由题意，5 / 13a b 2x0 4z0 0取z0 1，得x0 2，故b 2,0,1 与a垂直。当然任一不为零的数 与b的乘积 b 也垂直 a7求以A1,2,3 ，B 3,4,5 ，C 1, 2,7 为顶点的三角形的面积 S解：由向量的定义，可知三角形的面积为 S 1 AB AC ，因为 AB 2,2

13、,2 ，2ijkAB AC222244ijk1于是， S2222244AC 2, 4,4 ，所以16, 12, 4 ，8求与向量 a 2,0,1 ，1 1622 2 4 2 2 69.b 1, 1,2 都垂直的单位向量解：由向量积的定义可各，若 a b c，则 c同时垂直于 a和b，且i j kc a b 2 0 1 i 3j 2k ，1 1 2因此，与 c a b 平行的单位向量有两个：1 i 3j 2k 和14c a b i 3j 2k c|c| |a b| 123 2 22c 1 i 3j 2k.149指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？2 2 2 2(1) x

14、 2；(2) y x 1；(3) x2 y2 4；(4)x2 y2 1。方程在平面解几中表示在空间解几中表示x2平行于 y 轴的一直线与 yoz 平面平行且过 2,0,0 的平面6 / 13y x 1斜率为 1，在 y 轴截距为 1 的直线平行于 z 轴，过 (0,1,0)， (-1,0,1)的平面22xy4圆心在原点，半径为 2 的圆以过 z轴的直线为轴，半径为 2 的圆柱面22xy1双曲线母线平行于 z 轴的双曲柱面9分别求母线平行于x轴及 y 轴而且通过曲线2x2 y2 z2 16222 xzy0的柱面方解：10从方程组中消去 x得： 3y2 2z2 16 ，此方程即母线平行于 x轴且通

15、过已知曲线的柱面方程；20从方程组中消去 y 得：3x2 2z2 16 ，此方程即母线平行于 y轴且通过此曲线的柱面方程10求球面 x2 y2 z2 9与平面 x z 1的交线在 xoy 面上的投影的方程。解 ： 由 x z 1 ， 得 z 1 x ， 代 入 x2 y2 z2 9 ， 消 去 z 得x2y21 x9，即2x22xy28，这就是通过球面x2y2z29 与平面 x z 1的交线，并且母线平行于 z轴的柱面方程，将它与 z 0 联系，得：2x2 2x y2 8 z0即为所求的投影方程。11求过 A1,1, 1 ，B 2, 2,2 和C1, 1,2 三点的平面方程解一：点法式： AB

16、 3, 3,3 ， AC 0, 2,3 ，取i j jn AB AC 3 3 3 31, 3, 2 ，0 2 3 于是所求方程： x 3y 2z 0 。解法二：用一般式，设所求平面方程为Ax By Cz D 0, 将已知三点的坐标分别代入方程得7 / 13A B C D 0 2A 2B 2C D 0,A B 2C D 0解得B 3AC 2A ，得平面方程： x 3y 2z 0 。D0解法三：设点 P x,y,z 为此平面上任一点，则 AP ， AB， AC 共面，由三向量共面的充要条件得 AP, AB, AC 0，而AP x 1,y 1,z 1 ， AB 3, 3,3 ， AC 0, 2,3

17、，所以x 1 y 1 z 13 3 30，即 x 3y 2z 0 为所求平面的方程。0 2 312求平面 2x 2y z 5 0 与 xoy面的夹角。解： n 2, 2,1 为 此平 面的 法 向 量 ， 设此 平面 与 xoy 的夹 角为 ， 则cos|n| |k |2, 2,1 0,0,13113，故Arc cos 113分别按下列条件求平面方程(1)平行于 xoz 面且经过点 2, 5,3 ；(2) 通过 z 轴和点 3,1,2 ；(3) 平行于 x 轴且经过两点 4,0, 2 和 5,1,7 。解： (1)因为所求平面平行于 xoz面，故 j 0,1,0 为其法向量，由点法式可得：0

18、x 2 1 y 5 0 z 3 0，即所求平面的方程： y 5 0(2)因所求平面通过 z 轴，其方程可设为 Ax By 0 (*) ，已知点 3,1, 2 在8 / 13此平面上，因而有 3A B 0，即 B 3A ，代入（ *）式得：Ax 3Ay 0 ，即所求平面的方程为： x 3y 0。（3）从共面式入手， 设 P x,y,z 为所求平面上的任一点， 别用 A ，B表示，则 AP，AB， i共面，从而 AP, AB, i点 4,0, 2 和 5,1,7 分 x 4 y z 21 1 9 0， 100于是可得所求平面方程为： 9y z 2 0。xyz1 14用对称式方程及参数式方程表示直线

19、 l ： 。2x y z 4i j k 解：因为直线 l 的方向向量可设为 s n1 n2 1 1 1 2,1,3 ，在直211线上巧取一点 A3,0, 2 （令 y 0，解直线 l的方程组即可得 x 3，z 2），则 直线的对称式方程为 x 3 y z 2 ，参数方程为： x 3 2t ， y t ，2 1 3z 2 3t 。15求过点 0,2,4 且与两平面 x 2z 1和 y 3z 2 平行的直线方程。解：因为两平面的法向量 n1 1,0,2 与 n2 0,1, 3 不平行， 所以两平面相交k2 2,3,1 ，故所求直线方2y 2z 3 间的位置关系ij程为 xy2z4。23116确定直

20、线x32解：直线的方向向量于一直线，此直线的方向向量 s n1 n2 1 0 01y 4 z 和平面 4x73s 2, 7,3,平面的法向量 n 4, 2, 2,0.cos 222, 7,3 4, 2, 2 2 22 2 7 2 3242 2 2 22从而 s n ，由此可知直线平等于平面或直线在平面上9 / 13再将直线上的点 A( 3, 4,0) 的坐标代入平面方程左边，得2x y z 0 xyz0平行的平4 3 2 4 2 0 4 3，即A不在平面上，故直线平行于平面x 2y z 1 017求过点 1,2,1而与直线l1 : xx 2yy zz1100面方程。ij解：因 s1 1 211

21、k1 1, 2, 3 为直线 l1 的方向向量，1i j ks2 2 1 1 0, 1, 1 直线 l2 的方向向量 1 1 1i j k取 n s1 s21 2 3 1,1, 1 ，则通过点 1,2,1 并以 n 为法向 011量的平面方程 x y z 0 即为所求的平面方程。本章测试题一、填空题1. 已知a 2i 3j 4k,b 5i 3j k,则向量 c 2a 3b在z轴方向上的分向量为2. 过点 M1(3, 2,1)和M 2( 1,0,2) 的直线方程为 3. 设 a 2, b 2 ，且 a b 2 ，则 a b 4. 设空间两直线 x 1 y 1 z 1与 x 1 y 1 z相交于一

22、点，则 125. 已知向量 a 与 c 4,7, 4 平行且方向相反，若 a 27 ，则 a 6. 方程 z x2 y2 在空间直角坐标系中表示的曲面是 7. 平面 x y 2z 1 0 与平面 2x y z 3 0 的夹角为 8. xoy 平面上的双曲线 4x2 9y2 36绕 y轴旋转所得旋转曲面方程为 选择题1. 设 a, b, c为三个任意向量 ,则 (a b) c ()Aa c cb；Bc a cb；Ca c bc；Dc a bc.10 / 132.2 2 2 2 2 2曲面 x y z a 与 x y2az(a 0) 的交线是 ()3.抛物线； B 双曲线； C圆周； D 椭圆设向

23、量 a 与 b 平行且方向相反 ,又 ab 0 , 则有 () x 3 y 4 z 与平面 4x 2y 2z 3的关系为 () 2 7 3A 平行但直线不在平面上； C 垂直相交；5. 已知 a 1, b 2 ,且 (a,b)4.直线B 直线在平面上；D相交但不垂直4, 则)2；6. 下列等式中正确的是 ( i j k ；)j；7. 曲面 x2 y2z 在 xoz 平面上的截线方程为)Ax2 z ；2yzB ；x022Cx2 y2z00；x2 zy08. 2(x 1)2 (y 2)2(z 3)2 0 在空间直角坐标系中表示 ()B 椭圆锥面；C 抛物面；A 球面； 圆锥面三、 计算题21. 已

24、知 a 2,b 5,(a,b),问 为何值时 ,向量 u a 17b与 v 3a b互相垂直32. 求过点 M1(x1,y1,z1),M2(x2, y2 ,z2)且垂直于平面 x y z 0的平面法向量 n3. 求两平行面 3x 6y 2z 14 0 与 3x 6y 2z 7 0之间的距离4. 求过点 ( 3,2,5) 且与两平面 x 4z 3 0 和 2x y 5z 1 0的交线平行的直线方程5. 一平面过点 (1,0, 1)且平行向量 a 2,1,1 和 b 1, 1,0 ，试求这平面方程四、已知三个非零向量 a,b,c 中任意两个向量都不平行，但 (a b) 与 c 平行， (b c) 与 a 平 行，试证： a b c 0 测试题参考答案一、填空题1. 9k2.3. 24.5.11 / 13a 12, 21,126.顶点在原点,开口