直线与圆解法

1、高考中数学直线和圆的解法1、直线的倾斜角 ：（ 1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与 x轴相交的直线 l ，如果把 x轴绕着交点 按逆时针方向转 到和直线 l 重合时所转的 最小正角 记为 ，那么 就叫做直线的倾斜角。 当直 线l 与x轴重合或平行时，规定倾斜角为 0；（ 2） 倾斜角的范围 0, 。如（1）直线xcos3y 2 0的倾斜角的范围是 （答： 0， 5 ， ） ）；（2）66过点 P（ 3,1）,Q（0,m） 的直线的倾斜角的范围 ,2 ,那么 m值的范围是 （答：33m 2或m 4 ）2、直线的斜率 ：（ 1）定义：倾斜角不是 90的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率

2、 k ，即k tan （ 90） ；倾斜角为 90的直线没有斜率；（2）斜率公式 ：经过两点 P1（x1,y1）、P2（x2, y2 ）的直线的斜率为 k y1 y2 x1 x2 ；（3） x1 x2直线的方向向量 a （1,k） ，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？4）应用 ：证明三点共线： kAB kBC提醒：（ 1）直线的倾斜角 一定存在，但斜率不一定存在。（ 2）直线的倾斜角与斜率的变化关系：若直线存在斜率k，而倾斜角为 ，则 k=tan.当倾斜角是锐角是，斜率 k随着倾斜角的增大而增大。当 是钝角时， k与同增 减.（3）斜率的求法：依据倾斜角：牢记图像依据两点的坐标： k y2

3、y1 x1 x2x2 x1依据直线方程：化为斜截式当已知 k，求倾斜角 时：k0时， =arctank ；k0 时， = +arctank 。4）直线 l的方向向量之一： a 1，k你知道如何由直线的方向向量来求斜率吗？）如 （1） 两条直线斜率相等是这两条直线平行的条件（答：既不充分也不必则 y 的最大值、最小值分别为 x要）；（2）实数 x,y满足 3x 2y 5 0 （1 x 3）， 23, 1）3、直线的方程 ：1）点斜式 ：已知直线过点 （x0 , y0）斜率为 k ，则直线方程为 y y0 k（x x0） ,它不包括垂直于 x 轴的直线。2）斜截式：已知直线在 y轴上的截距为 b和

4、斜率 k ，则直线方程为 y kx b ,它不包括垂直于 x 轴的直线。3）两点式：已知直线经过 P1（x1,y1）、P2（x2,y2） 两点，则直线方程为 y y1x x1y2 y1 x2 x1它不包括垂直于坐标轴的直线。（4）截距式：已知直线在 x轴和 y 轴上的截距为 a ,b ,则直线方程为 x y 1 ，它不包括 ab垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。5）一般式 ：任何直线均可写成 Ax By C 0（A,B 不同时为 0）的形式。如（1）经过点（2，1）且方向向量为 v =（1, 3 ）的直线的点斜式方程是 （_ 答：y 1 3（x 2） ）；（2）直线（m 2）x （2m 1）y

5、 （3m 4） 0，不管 m怎样变化恒过点 （答： （ 1, 2）；（3）若曲线 y a|x|与 y x a（a 0）有两个公共点，则 a的取值范围是（答： a 1 ）提醒：（1）直线方程的各种形式都有局限性 .（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距 式呢？）；（2）直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为 0.直线两截距相等 直线的斜率为 -1 或 直线过原点；直线两截距互为相反数 直线的斜率为 1 或直线过原点；直线两截距绝对值相等 直线的斜率为 1 或直线过原点如过点 A（1,4） ，且纵横截距的绝对值相等的直线共有 _条（答： 3）4. 设直线方程的一些常用技巧 ：（1）知直线纵截

6、距 b ，常设其方程为 y kx b ；2）知直线横截距 x0 ，常设其方程为 x my x0 （它不适用于斜率为 0 的直线 ）；（3）知直线过点 （x0,y0），当斜率 k存在时，常设其方程为 y k（x x0） y0 ，当斜率 k不 存在时，则其方程为 x x0 ；（ 4）与直线 l: Ax By C 0平行的直线可表示为 Ax By C1 0（C C1）；（5）与直线 l: Ax By C 0垂直的直线可表示为 Bx Ay C1 0.利用待定系数法求解（6）已知直线 l 1：A1x+B1y+C1=0，直线 l 2：A2x+B2y+C2=0，则方程 A1x+B1y+C1+（A2x+B2y

7、+C2）=0 表示过 l 1与 l 2交点的直线系（不含 l 2）.不仅可以建立直线方程还可解决直线过定点问题 .提醒：（ 1）求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，（2）求解直线方程的最后结果，如无特别强调，都应写成一般式（3）求一个角的平分线所在的直线方程的方法： 法一、利用角的平分线所在的直线的方向向量 由顶点坐标（含线段端点）或直线方程求得角两边的方向向量v1、v2 ； 求出角平分线的方向向量 v v1 v2v1 v2 由点斜式或点向式得出角平分线方程。 直线的点向式方程：过 P（ x0, y0），其方向向量为 v（a,b），其方程为 x x0 y y0 ab 法二、利用角平

8、分线定理：法三、利用点到直线的距离公式：设 P（x,y） 为角平分线所在直线上的任意一点，通过P（ x, y）到两边距离相等而得 .5、点到直线的距离及两平行直线间的距离 ：Ax By C（1）点 P（x0,y0） 到直线 Ax By C 0的距离 d0 2 0 2A2 B2（2）两平行线 l1: Ax By C1 0,l2: Ax By C2 0间的距离为 d C1 C2 。A2 B2提醒 ：（1）公式要求直线方程为一般式 .（2）求平行直线间的距离时，一定要把 x 、y 项系数化成对应相等的系数 .6、直线l1 : A1x B1y C1 0与直线l2 : A2x B2y C2 0的位置关系

9、 ：（1）平行A1B2 A2B1 0（斜率）且 B1C2 B2C1 0（在 y 轴上截距）；（2）相交A1B2 A2B1 0 ；（ 3）重合A1B2 A2B1 0且 B1C2 B2C1 0 。提醒：（1）A1B1C1、 A1B1 、A1B1C1仅是两直线平行、相交、重合的充A2B2C2 A2B2A2B2C2分不必要条件！为什么？（2）在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线；（3）直线l1: A1xB1yC10与直线 l2: A2xB2yC20垂直A1A2B1B20。如（ 1）设直线 l1:x my 6 0和l2 :（m

10、2）x 3y 2m 0 ，当m 时l1 l2 ；当m时 l1 l2 ；当m 时l1与l 2相交；当m 时l1与l2重合（答：1；1 ； m 3且 m 1； 3）；2（2）已知直线 l的方程为 3x 4y 12 0，则与l平行，且过点（ 1，3）的直线方程是（答： 3x 4y 9 0 ）；（3）两条直线 ax y 4 0与x y 2 0相交于第一象限，则实数 a的取值范围是 （答： 1 a 2 ）；（4）设a,b,c分别是 ABC 中A、B、C所对边的边长，则直线 sinA x ay c 0与 bx sin B y sinC 0 的位置关系是 （答：垂直）；（5）已知点 P1（ x1, y1）是

11、直线 l: f（x,y） 0上一点， P2（x2,y2）是直线 l外一点，则方程f（x,y） f（x1,y1） f （x2 , y2） 0所表示的直线与 l的关系是 （答：平行）；6）直线l 过点（，），且被两平行直线 3x y 6 0和3x y 3 0所截得的线段长为 9，则直线 l的方程是（答： 4x 3y 4 0和x 1）7. 对称是平面几何的基本变换，有关对称的一些结论 点（， ）关于轴、 轴、原点、直线 y=x 的对称点分别是 （，），（， ）， （，），（，）k AA k l1AA 中点坐标满足l 方程 如何求点 A （ ，）关于直线 Ax+By+C=0的对称点 A ?AA l 点

12、A、A 关于直线 l 对称AA 中点在 l上点关于直线 y x b 的对称点是什么？ 直线 Ax+By+C=0关于轴、轴、原点、直线 y=x 的对称的直线方程分别是什么，关于点 （，）对称的直线方程又是什么？你能用哪些方法来求一条直线关于另一条直线的对 称直线？ 如何处理与光的入射与反射问题？8、圆的方程 ：圆的标准方程： x a y br2 。圆的一般方程： x2 y2 Dx Ey F 0（D2E24F 0） ，特别提醒：只有当 D2E24F 0时，方程 x2 y2 Dx Ey F 0才表示圆心为 （ D , E） ，半径为 1 D 2 E 2 4F 的圆（二元二次方程 Ax2 Bxy Cy

13、2 Dx Ey F 0 表 示圆的充要条件是什么？ （ A C 0,且B 0且 D2 E2 4AF 0）；在圆的标准方程 （x a）2 （y b）2 r2 （r 0）中有三个参数 a,b,r ；在圆的一般方程 x2 y2 Dx Ey F 0中，也有三个参数 D,E,F 。所以说三个互相独立的条件确定一个圆。 在平面几何中也是熟悉的事实：不共线的三点唯一地确定一个圆。确定一个圆，包括确定圆的位置和大小两个方面。圆心确定圆的位置，半径确定圆的大 小。又称圆心是圆的定位条件，半径是圆的定形条件。圆的参数方程： x a rcos （ 为参数），其中圆心为 （a,b），半径为 r。y b rsinx a

14、 rcos在参数方程 x a rcos 中，当 为参数，t为常量 （t 0）时表示一个圆， 有几何意义；y b r sin而当 t 为参数， 为常量时，表示一条直线， t 也有几何意义圆的参数方程的主要应用是三角换元： x2 y2 r2 x rcos ,y rsin ； x2 y2 tx r cos ,y r sin (0 rt) 。 Ax1, y1,Bx2,y2为直径端点的圆方程 xx1xx2yy1yy20过两圆交点的圆系方程设圆 C1 : x2 y2 D1x E1 y F1 0，圆C2 :x2 y2 D2x E2y F2 0有公共点，则经过圆 C1和圆 C2的公共点的圆系方程为：(x2 y

15、2 D1x E1y F1) (x2 y2 D2x E2y F2) 0(其中 为参数， R, 1，方程不包括圆 C2 。)在有 些问题中需检验圆 C2 是否也为所求；当1时，该方程是一条直线的方程，此直线就是两圆的公共弦所在直线。3. 过直线与圆的交点的圆系方程设直线 l :Ax By C 0 与圆 x2 y2 Dx Ey F 0 有公共点，则过其交点的圆系方程为(x2 y2 Dx Ey F) (Ax By C) 0。如(1)圆 C与圆(x 1)2 y2 1关于直线 y x对称，则圆 C的方程为 (答：x2 (y 1)2 1)；( 2)圆心在直线 2x y 3 上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方

16、程是 (答： (x 3)2 (y 3)2 9或(x 1)2 (y 1)2 1)；(3) 已知 P( 1, 3)是圆 xy rr csoins ( 为参数， 0 2 )上的点，则圆的普通方程为 ，P点对应的 值为，过 P点的圆的切线方程是 (_ 答：x2 y24； 2； x 3y 4 0)；3(4) 如果直线 l将圆：x2+y2-2x-4y=0 平分，且不过第四象限， 那么l的斜率的取值范围是 (答： 0，2)；(5) 方程 x2+yx+y+k=0 表示一个圆，则实数 k的取值范围为 (答： k 1 )；2(6) 若M ( x,y)| xy 33csoins ( 为参数，0) ，N (x,y)|

17、 y x b ，若M N ，则 b 的取值范围是 （答： 3,3 2 ）228、点与圆的位置关系 ：已知点 M x0,y0 及圆C：x-a 2 y b 2 r2 r 0 ，（1）点 M2 2 2在圆 C 外 CM rx0 ay0 br 2 ；（2）点 M 在圆 C 内2 2 2 2CM rx0 ay0 b r 2 ；（3）点 M 在圆 C 上 CM rx0 a2 2 2y0 b 2 r2。如点 P（5a+1,12a）在圆（x）y2=1的内部,则 a的取值范围是 （答：1|a | ）139 、直线与圆的位置关系 ：直线 l :Ax By C 0 和圆 C： x a y b r 2r 0 有相交、

18、相离、相切。可从代数和几何两个方面来判断： （ 1）代数方法（判断直线与 圆方程联立所得方程组的解的情况） ： 0 相交； 0 相离； 0 相切；（2）几 何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小） ：设圆心到直线的距离为 d ，则 d r 相交； d r 相离； d r 相切。提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。如（1）圆 2x2 2y2 1与直线 xsin y 1 0（ R, k ，k z） 的位置关系为 （答：相离）；（ 2）若直线 ax by 3 0与圆 x2 y2 4x 1 0切于点 P（ 1,2） ，则 ab的值（答： 2）；（3）直线 x 2y 0 被曲线 x2 y

19、2 6x 2y 15 0 所截得的弦长等于 （答： 4 5 ）；（4） 一束光线从点 A（1,1）出发经 x 轴反射到圆 C:（x-2）2+（y-3）2=1 上的最短路程是（答： 4）；（5）已知 M（a,b）（ab 0）是圆O:x2 y2 r 2内一点，现有以 M 为中点的弦所在直线 m和直 线l:ax by r2，则 Am/l ，且l 与圆相交Bl m，且l 与圆相交Cm/l ，且l与圆相离Dl m ，且l与圆相离（答： C）；（6）已知圆 C：x2 （y 1）2 5，直线 L：mx y 1 m 0。求证：对 m R，直线 L 与圆 C总有两个不同的交点；设 L 与圆 C交 于 A 、B

20、两点，若 AB 17 ，求 L 的倾斜角；求直线 L 中，截圆所得的弦最长及最短时 的直线方程 . （答： 60 或 120最长： y 1，最短： x 1 ）10、圆与圆的位置关系 （用两圆的圆心距与半径之间的关系判断） ：已知两圆的圆心分别为 O1，O2 ，半径分别为 r1,r2 ，则（1）当|O1O 2 r1 r2 时，两圆外离；（2）当|O1O2 r1 2r 时，两圆外切；(3)当 r1 r2|O1O2 r1 r2时，两圆相交；(4)当 |O1O2 r1 r2 |时，两圆内切；(5)当 0 |O1O2 r1 r2 |时，两圆内含。2如 双曲线 x2a22by2 1的左焦点为F1，顶点为

21、A1、A2，P 是双曲线右支上任意一点，则分答：内切)别以线段 PF1、A1A2 为直径的两圆位置关系为 特别提醒：圆系方程有哪些？04年上海卷 . 文理 8)圆心在直线 2x y 7 0上的圆 C与 y轴交于两点 A(0, 4), B(0, 2) , 则圆 C 的方程为.两圆相交弦所在直线方程的求法：圆 C1 的方程为： x2+y2+D1x+E1y+C1=0.圆 C2的方程为： x2+y2+D2x+E2y+C2=0.把两式相减得相交弦所在直线方程为： (D1-D2)x+(E 1-E 2)y+(C 1-C2)=0 注意：两圆相切要区分内切还是外切 .11、圆的切线与弦长 ：(1) 切 线： 过 圆 x2 y2 R2 上 一点 P(x0, y0) 圆 的 切线 方程 是： xx0 yy0 R2 ， 过圆(x a)2 (y b)2 R2上一点 P(x0, y0 )圆的切线方程是： (x a)(x0 a) (y a)(y0 a) R2，一般 地，如何求圆的切线方程？(抓住圆心到直线的距离等于半径) ；从 圆外一点引圆的切线一定有两条 ，可先设切线方程，再根据相切的条件，运用几何 方法(抓住圆心到直线的距离等于半径)来求；过两切点的直线(即“切点弦” )方程的求 法：先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆，该