电磁场习题解答

1、电磁场习题解答1 22、求下列情况下，真空中带电面之间的电压。（2） 、无限长同轴圆柱面，半径分别为 a和 b（b a），每单位长度上电 荷：内柱为 而外柱为 。解：同轴圆柱面的横截面如图所示，做一长为 l半径为 r （a r b）且 与同轴圆柱面共轴的圆柱体。对此圆柱体的外表面应用高斯通量定理，得D dS l s考虑到此问题中的电通量均为 er 即半径方向，所以电通量对圆柱体前后 两个端面的积分为 0，并且在圆柱侧面上电通量的大小相等，于是2 l rD lDer2rEer2 0 r由此可得ber erd rlnb2 0 a123、高压同轴线的最佳尺寸设计高压同轴圆柱电缆，外导体的 内半径为

2、2cm ，内外导体间电介质的击穿场强为 200kV/cm 。内导体的半径为 a ，其值可以自由选定但有一最佳值。因为 a 太大，内外导体的间隙就变得很 小，以至在给定的电压下，最大的 E 会超过介质的击穿场强。另一方面，由 于 E的最大值 Em总是在内导体的表面上， 当 a很小时，其表面的 E 必定很大 试问 a为何值时，该电缆能承受最大电压？并求此最大电压。（击穿场强： 当电场增大达到某一数值时， 使得电介质中的束缚电荷能够电磁场习题解答脱离它的分子 而自由移动，这时电介质就丧失了它的绝缘性能，称为击穿。 某种材料能安全地承受的最大电场强度就称为该材料的击穿强度） 。解：同轴电缆的横截面如图

3、， 设同轴电缆内导体每单位长度所带电荷的电量为 ，则内外导体之间及内导表面上的电场强度分别为而内外导体之间的电压为U Ed r dr ln b a a 2 r 2 abU aEmax ln(b)adUdaEmaxln( ab) 1 0 alnb 1 0 ， aa b 0.736cm eUmax aEmax ln b 0.736 2 105 1.47 105 (V)a133、两种介质分界面为平面，已知 1 4 0 ， 2 2 0 ，且分界面一电磁场习题解答侧的电场强度 E1 100V/m ，其方向与分界面的法线成 450 的角，求分界面另 一侧的电场强度 E2 的值。解： E1t 100sin

4、45 50 2 ， E1n 100cos45 50 2D1n 4 0E1n 200 0 2根据 E1t E2t， D1n D2n得E2t 50 2 ， D2n 200 0 2 ， E2n D2n 100 2 2t2n 0 2n 2 0于是： E2E22tE22n(502)2 (100 2) 250 10 (V/m)18、对于空气中下列各种电位函数分布， 分别求电场强度和电荷体密度：（1）、Ax 2（2）、Axyz（ 3）、Ar 2 sin Brz（ 4）、Ar 2 sin cos解：求解该题目时注意梯度、散度在不同坐标中的表达式不同。1) 、 E( i j k)(Ax2) i2AxiD0( E

5、xEyEz )Exxyz0x0 ( 2Ax) 2A 0 x2)、 E( i j k)jxyz电磁场习题解答月 Axyz r Q Axyz 二 d Axyz 厂、=_(1 H/ +k)dxdy J dzA(yzi l xzj I xyk)pz =進（-咖）+务-加）+却如=0、吩磴診+將）R1 月=一(Ar2 sin0 + Brz)er +(Ar2 sin0+ Brz)%d rr d(/a+ (Jr2 sin0 + 3rz)斤) d z=一(2如” sin0 + Ar cos(/)+ Brk)Q 6p = V b = -s0r(2Jrsin+ Bz) +(Arcos(/t)r d rr d(I)

6、+帥=-f()(4Jrsin + Bz)_/sin0 rBz=-s04Asin0 + )- Asin(/r/八 &6(p_ 6(p-1 d(p(4)、E = -(p = e + e0- + e- d r r o 0 rsin d (p月1 ri=-er (Ar2 sinOcos0) + 0(Ar2 sin0cos0)d rr d 0电磁场习题解答1r+ 爲(Ar2 sin。cos0)rsinO a 0=-(2 Jrsin cos)er + (Ar2 coscos)e0!(/sin 0sin 0)吊rrsin=-(2Jrsincos)er +(Ar cosOcos(/f)e0 -(Ar sin(

7、/)eI o0(-2Jr sin &cos0) +(-Arcos 0cos0sin 0 )厂 d rrsinO d 0+ 7(昇厂 sin0)rsin d 0=6：0 -6 A sin cos - C0S (cos2 0 - sin 0)+ 皿sin 0sin 014一2、两平行导体平板，相距为，板的尺寸远大于d , 一板的电位 为0,另一板的电位为V。，两板间充满电荷，电荷体密度与距离成正比，即 p(x) = pi)X 试求两极板之间的电位分布(注：x = 0处板的电位为0)。解：电位满足的微分方程为% 二 P。d X2 q其通解为：(P = -x3 + C.x + C26勺定解条件为：0仁

8、=o ； (fx=d = v0由处=0=0得 c2 =0电磁场习题解答由 x d V0得0 d3 C1d V0，即 C1 V0 0 d 2xd 0 6 0 1 0 1 d 6 0 于是 0 x3 （V00 d 2）x6 0 d 6 01 4 3、写出下列静电场的边值问题：（1）、电荷体密度为 1和 2（注： 1和 2为常数），半径分别为 a与b 的 双层同心带电球体（如题 143 图（ a）；（ 2）、在两同心导体球壳间， 左半部分和右半部分分别填充介电常数为1与 2的均匀介质，内球壳带总电量为 Q ，外球壳接地（题 143 图 b）；（3）、半径分别为 a 与b的两无限长空心同轴圆柱面导体，

9、内圆柱表面上 单位长度的电量为 ，外圆柱面导体接地（题 143 图（ c）。电磁场习题解答解：（1）、设内球中的电位函数为 1，介质的介电常数为 1 ，两球表面之 间的电位函数为 2 ，介质的介电常数为 2，则 1， 2所满足的微分方程分别 为2 1 111选球坐标系，则(r 2 r1r2r sin(sinsin21(r2)2r sin(sinr2 sin由于电荷对称，所以rr1和 2均与 、 无关，即 1和 2只是r 的函数，所r12 r (r 2rr定解条件为：电磁场习题解答分界面条件： 1 r a 2 r电位参考点： 2 r b 0 ；附加条件： 1 r 0 为有限值21122选球坐标系

10、，则12rr2 1) 2 1 (sin1)2 2r r2 sin r2 sin 2r12 r (r 2rrr2) r2 s1in(sin 2 ) r 2s1in22 0r r sin r sin由于外球壳为一个等电位面，内球壳也为一个等电位面，所以1和 2 均与 、 无关，即 1和 2只是r的函数，所以1 2112(r 21) 0，r r rr12 r (r 2rr分界面条件： 1 2由分解面条件可知满足的微分方程为1 2 。令 1 2 ，则在两导体球壳之间电位（2）、设介电常数为 1的介质中的电位函数为 1 ，介电常数为 2 的介质 中的电位函数为 2 ，则 1、 2 所满足的微分方程分别为

11、电位参考点： r b 0 ；电磁场习题解答边界条件： 2 a2( 1Er2Er) r aQ ，即22 a2( 1 2)( r)Qra（3）、设内外导体之间介质的介电常数为，介质中的电位函数为 ，则所满足的微分方程分别为选球柱坐标系，则1 1 2 2(r ) 02 2 2r r r r z由于对称并假定同轴圆柱面很长， 因此介质中的电位 和 及 z无关，即 只是r 的函数，所以1r (r ) 0 r电位参考点：边界条件： 22 a ( r)rrba Erra0；ra，即173、在无限大接地导体平板两侧各有一个点电荷 q1 和 q2 ，与导体平 板的距离均为 d ，求空间的电位分布。第 10 页电

12、磁场习题解答解：设接地平板及 q1和q2 如图（ a）所示。选一直角坐标系，使得 z轴经 过q1和q2且正z轴方向由 q2指向q1 ，而x ，y轴的方向与 z轴的方向符合右手螺旋关系且导体平板的表面在x ， y 平面内。计算 z 0 处的电场时，在 （0,0, d ）处放一镜像电荷 q1 ，如图（ b）所示，用其等效 q1在导体平板上 的感应电荷，因此1 q1 ( 1 1 )4 0 x2 y2 (z d)2 x2 y2 (z d)2计算 z 0处的电场时，在（ 0,0,d ）处放一镜像电荷 q2如图（ c）所示，用其等效 q2 在导体平板上的感应电荷，因此2 q2 （ 1 1 ）0 x2 y2

13、 （z d）2x2 y2 （z d）2175、空气中平行地放置两根长直导线，半径都是 2 厘米，轴线间距 离为 12 厘米。若导线间加 1000V电压，求两圆柱体表面上相距最近的点和最 远的点的电荷面密度。解：由于两根导线为长直平行导线， 因此当研究它们附近中部的电场时可 将它们看成两根无限长且平行的直导线。在此假定下，可采用电轴法求解此 题，电轴的位置及坐标如图所示。12由于对称 h 6cm24 2cm第 11 页而 b h2 R2 62 22电磁场习题解答设负电轴到点 p(x,y)的距离矢量为 r2 ，正电轴到点 p(x,y)的距离矢量为 r1p点应在以 R为半径的两个圆之外) ，则 p

14、点的电位为(x, y)20r2ln(rr12 ) 2 0ln(x b) 2 y2(x b) 2 y21两根导体之间的电压为 U ，因此右边的圆的电位为 12U，即(h R ,0) ln (h R b)2 U2 0 ln (h R b)2 2由此可得U 10002 0 2ln h-R b 4ln(1 2)h-R-b250ln(1 2)于是(x,y)250 ln (x b) 2 y2 ln(1 2) (x b)2 y2E grad2 2 2 2250 (x b)(x b)2 y2 (x b)(x b)2 y2e ln(1 2) (x b)2 y2(x b)2 y2y(x b)2 y2 y(x b)

15、2 y2e (x b)2 y2(x b)2 y2 ey电磁场习题解答第 12 页由于两根导线带的异号电荷相互吸引， 因而在两根导线内侧最靠近处电场最强电荷密度最大，而在两导线外侧相距最远处电荷密度最小。max250 (x b)(x b)2 y2 (x b)(x b)2 y2e ln(1 2)(x b)2 y2(x b)2 y2 ey(x b)2 y2 y(x b)2 y2e (x b)2 y2(x b)2 y2 eyy0 xhR( ex )250 ( 1ln(1 2) h R b72) 1.770 10 7 C/m 2 hRbmin2 2 2 2250 (x b)(x b)2 y2 (x b)

16、(x b)2 y2e ln(1 2) (x b)2 y2(x b)2 y22 2 2 2y(x b)2 y2 y(x b)2 y2 e y 0 e(x b)2 y2(x b)2 y2 ey x h R e250 1 10 ln(1250 2) (h 1R b h 1R b) 8.867 10 8C/m2194、一个由两只同心导电球壳构成的电容器，内球半径为a ，外球壳半径为 b ，外球壳很薄，其厚度可略去不计，两球壳上所带电荷分别是Q和 Q ，均匀分布在球面上。求这个同心球形电容器静电能量。 解：以球形电容器的心为心做一个半径为 r 的球面，并使其介于两导体球 壳之间。则此球面上任意一点的电位

17、移矢量为电磁场习题解答第 13 页D4 Qr 2 er4r电场强度为EDQ2 er4r而电场能量密度为21Q2weE De232 2r 4球形电容器中储存的静电场能量为b2WeV wedVa 0 02Qr 2sin d d dr2432 2r 4b2Q232 2r 2sin d d drQ2Q2b10 b 12 (cos 00 cos )(2 0) a 2 dr a 2 dr 32 a r8 a r222Q 2 1 1Q 2 b a( ) =8a b8 ab195、板间距离为 d 电压为 U 0 的两平行板电极浸于介电常数为 的第 14 页液态介质中，如图所示。已知液体介质的密度是 m ，问两

18、极板间的液体将升 高多少？电磁场习题解答解：两平行板电极构成一平板电容器，取如图所示的坐标，设平板电容器在垂直于纸面方向的深度为 w ，则此电容器的电容为C(x)(L x)w 0dxw电容中储存的电场能量为We 12CU 021 (L x)w 02( d 0xwd )U液体表面所受的力为We 1 2 C(x) U 02w fx eU 00 ( 0)x 2 x 2d 此力应和电容器中高出电容器之外液面的液体所受的重力平衡，由此可得U 02w2d (0 )mgdwh2 (0)U 022 m gd22 5、内外导体的半径分别为 R1和 R2的圆柱形电容器，中间的非理想介 质的电导率为 。若在内外导体

19、间加电压为 U 0 ，求非理想介质中各点的电位 和电场强度。第 15 页电磁场习题解答解：设圆柱形电容器介质中的电位为 ，则20选择圆柱坐标，使 z 轴和电容器的轴线重合，则有1 1 2(r )r r (r r) r 2 22z2假定电容器在 z 方向上很长，并考虑到轴对称性，电位函数 只能是 r 的函数，因此 所满足的微分方程可以简化为1 rr0rC1 ，r两边再积分得电位的通解C1rrC1 lnr C2定解条件： r R U 0，r R20将电位函数的通解带入定解条件，得C1 ln R1 C2 U 0C1ln R2 C2 0由上述两式解得C1U0ln R1R2C2 U 0U0ln R1R2

20、ln R1第 16 页电磁场习题解答于是而UR0 lnr UR0 lnR1 U0UR0 ln r U0ln R1ln R1ln R1 R1R2R2R21Eere 1ezr r r z zU 0 rU0 1er r(ln R01 lnR1 U0)er ln R01 rln 1 lnR2R227、一导电弧片由两块不同电导率的薄片构成，如图所示。若1 6.5 107 西门子 /米， 2 1.2 107西门子 /米， R2 45厘米， R1 30厘米，钢片厚度为 2毫米，电极间的电压 U 30V ，且 电极 1。求： 、弧片内的电位分布（设 x 轴上电极的电位为 0）；、总电流 I 和弧片的电阻 R

21、；、在分界面上 D， ， E是否突变？ 、分界面上的电荷密度 。第 17 页解：（1）、设电导率为 1的媒质中的电位为 1 ，电导率为 2 的媒质中的 电位为 2 ，选取柱坐标研究此问题。 由于在柱坐标中电极上的电位和 r 及 z 无 关，因而两部分弧片中的电位也只是 的函数，即电磁场习题解答212211r ) r2 2r(rz222 rr r r2) r 2 2r r r r 2 2(r22由上边两式可得 1 、 2 的通解分别为1 C1 C2此问题的定解条件是：00a)42c)根据上述四式可得C4 0 ，C1 C21 4 2C3联立以上四式解得C14U 2C31 C124U 1( 1 2)

22、于是4UU( 1( 1 2)4U 1(12)、根据E14U 2( 1 2)r ez22 C3 C42U1142b)d)C12C4，2)12C2 UC2 U 2C1U ( 1 2)12C4 0(5.95 20.65) V32.26 V2)5.95电磁场习题解答第 18 页又 E ，因此1 1E14U 1 2e 6.5 107( 5.95e ) 3.868 108e ( 12 )rr r8R2 3.868 108R12 3.868 10 e ) ( 0.002)e d r5 R27.736 105 ln( 2 )R1R U 30 5 3.14 105 3)、由于电流密度的法向分量在分界面上连续，且

23、在此题目中电流密分界面处的电场强度等于分界面处的而 I S 1 dSR1 (r3.14 105A9.55 10 5度只有法向分量， 因此 14244电流密度与电导率的比值，又 1 2 ，因此 E14 E2。对于导电媒质4中的电流场，媒质的介电常数一律为0 ，因此 D14 D24)、(D14 ) e2 4U 1 00(e e ) e ( 12)0 ( 1 2)r ( 12) r( 12) r 1 24 D24U 24U 0211、以橡胶作为绝缘的电缆的漏电阻通过下属办法测定： 把长度为 l 的 电缆浸入盐水溶液中，然后在电缆导体和溶液之间加电压，从而可测得电流。 有一段 3米长的电缆，浸入后加

24、200V的电压，测得电流为 2 10 9A 。已知绝 缘层的厚度和中心导体的半径相等，求绝缘层的电阻率。解： 设导体的电位高于盐水的电位，则绝缘层中的漏电流密度为：Ier2 lr而绝缘层中的电场强度为：IEer2 l r r设导体的半径为 R1，电缆绝缘层的外半径为 R2 ，则导体和盐水之间的电压为：R2IU E d rer er d rR1R1 2 l r r rR2R1R2IR1 2 I l r dr电磁场习题解答第 19 页d r ln2 l R1 r 2 l R1即 I ln R22 U l R1 将已知数据代入上式，得2 10ln 2R1 10 ln2 3.677 10 13 S/m

25、2 200 3 R16001 122.727 1012 /m321、一半径为 a 长圆柱形导体，被一同样长度的同轴圆筒导体所 包围，圆筒半径为 b ，圆柱导体和圆筒导体载有相反方向电流 I 。求圆筒内外 的磁感应强度（导体和圆筒内外导磁媒质的磁导率均为 0 ）。解：求解此问题可将圆柱导体和圆筒导体视为无限长。 在垂直于 z 的平面 上以z轴和此平面的交点为心做一半径为 r的圆l ，设l的方向和 z符合右手螺 旋关系。由安培环路定律得：H dl I式中 I 为 l 中包含的电流，其方向与l 符合右手螺旋关系时为正，否则为负。考虑到在 l 上 H 的大小相等，方向为 l 的切线方向，则有第 20

26、页电磁场习题解答2 rH I2r2r2r当 0 r a 时，2rIe2a当ab时，II2r当 r b 时，有I0因而B03 3 3、在恒定磁场中，若两种不同媒质分解面为 xoz 平面，其上有电 流线密度 k 2exA/m ，已知 H1 (ex 2ey 3ez ) A/m ，求 H2。解：设 y 0的区域中的磁导率、磁场强度、磁感应强度分别为2 、H2第 21 页电磁场习题解答B2； y 0的区域中的磁导率、磁场强度、磁感应强度分别为1、 H1、 B1由已知条件得：H 1z 3；H1x 1；由分解面条件得：B1yH1y 1H 2z H1z 2 ；H 2x H1x 0 ；B2y B1y将已知条件代

27、入，得：H 2z 2 H 1z 5 ；H 2x H 1x 1；B2y1H1y2 1于是H2yB2y212H2 H2xex H 2yey H2zez(ex 2 1 ey 5ez) A/m2343、已知电流分布为J J0 r ez r aJ 0为常数，求矢量位 A和磁感应强度 B（注 A的参考点选为 r r0 a处）。解：设 r 0的区域中的矢量磁位为 A1， r 0的区域的矢量磁位为 A2，则 A1、 A2 所满足的微分方程分别为：2 A10J0r ezr a2A2 0 r a考虑到电流密度只有 z 分量，矢量磁位也只能有 z 分量，上两可改写为2A1z0 J0rr a第 22 页电磁场习题解答

28、A2z 0ra选圆柱坐标系，上两式变为r1 r (r Ar1z)r r r21 2A1z2r2A1zz20 J0r1 rr(rA2z)r2A2z22A2zz2由于电流密度不随 z和 变化，所以矢量磁位也不随 z 和 变化，因此上述两 式可简化为1 (r A1z )0J0r(1)r r rr1 r (r Ar2z ) 0 r r r2)1)、(2)两式的通解分别为A1z0J0 r3 C1ln r C293)A2z C3ln r C44)定解条件：附加条件：当 r 0 时， A1z 应为有限值；参考点处矢量磁位为0，即A2z r r0011分解面条件： A1z r aA2z ra； 1 (A1)

29、ra1 (A2) r a1z r a2z ra 0 1 ra02 r a根据定解条件，得：C1 0( 5)C3 ln r0 C46)电磁场习题解答第 23 页3a3 C1 ln a C2 90J00J0 a2 C1 1)3aC3 ln a C41 C30aC3 lnr0 C4 0a3C2 C3 ln a C40J0a2C3联立上述三式解得：C30 J03a3；C40J0 3 a ln r0 ；C20J031 3lnr0a于是A1 0J00J0 a3(1 3ln r0 )ez7)8)0J0 r33a3(1 3lnra0)aezA2 0J0 a3 ln30J0a ln r0 ez 0J0 3 r0

30、a ln ez r由柱坐标中的旋度公式1 A er (AzA ) e ( AzrrzrArAz)er 1(rA )Ar )电磁场习题解答第 24 页可得：B1A1 e (A1z r23B2 A2 e (A2z0 J0a2z ) er 3r361、在磁导率7 0的半无限大导磁媒质中距媒质分界面 2cm 有一载流为 10A的长直细导线，试求媒质分界面另一侧 （空气）中距分界面 1cm 处 p点的磁感应强度 B 。解：此题如图 1 所示，图中 h 2cm ， h1 1cm ，I 10A （设其方向和 正 z 轴的方向一致）求空气中的磁场的等效模型如图 2 所示。图中的I 2 7 0 I14 0 I

31、7III0 7 0II8 0 4而 Hp I i 7I 1 i 875i (A / m) p 2 (h h1)4 2 (0.01 0.02) 3Bp 0H p 1.16 10 4 i (Wb/m2 )3 72、有一截面为正方形的铁磁镯环，均匀绕有500匝导线，镯环内电磁场习题解答第 25 页外半径分别为 R1 6cm 和 R2 7cm ，高 h 1cm ， 800 0 ，求线圈的自感系数解：做一个半径为 r 的圆，使此圆所在的平面在正方形铁磁镯环的两个端 面之间，且与端面平行，圆心在铁磁镯环的轴线上。设线圈的匝数为 n ，根据安培环路定理，得lH d l nI方向沿圆的切线对于此题， 在上述所

32、做的圆上磁场强度的大小处处相等， 方向，于是上述积分的结果为2 rH nInI2rnI2r磁通为SB d sn I R2S2 r e eds R1hn I0 2 rdzdrn I R22R1h1 d zd r0rnI h R2线圈的磁链为 n n ln hln R22R1再由 LI ，得LnR1 hlnR2 5002 800 0 0.01ln 7I 2R12 6第 26 页电磁场习题解答27 5002 800 4 10 7 0.01 7 ln 260.0616H3 73、如图所示，求真空中： （1）、沿 Z 轴放置的无限长直线电流和 匝数为 1000 的矩形回路之间的互感； （ 2）、如矩形回

33、路及其它长度所标尺寸 的单位，不是米而是厘米，重新求互感。解： （1）、在 x 0， y 0 的半平面内0I2y( i )设互感磁通 m 的方向如图中的 所示，则m5I 0 dzdy 5I 0 0 2 y 2ln5与线圈交链的总互感磁链为Nm2500I 0 ln(52)2M m 2500 0 ln(5) 9.163 10 4 ( H )I22）、如图中的尺寸的单位为厘米时第 27 页电磁场习题解答m 25 0 5 6M m 0 ln（ ） 9.163 10 6 （H） I23 8 1、求无限长同轴电缆单位长度内导体和外导体之间区域内所储存的磁 场能量。设内导体半径为 R1 ，外导体很薄，半径为

34、 R2 ，内导体和外导体之间 媒质的磁导率为 0 ，电缆中的电流为 I 。解：设同轴电缆的横截面及内导体中电流的方向如图所示，则内外导体 之间的磁场强度为（取圆柱坐标，使 z 轴和同轴电缆的轴线一致，其方向和 I 的方向相同）wm0IlnRR21I2re，I B 0H 20Ir ewm0IR1 wmrdr d dz00Wm1 2 R20028r21R2 0I 2R1 8 2rdr d dz0I1 2R2 10 0R1 r dr d dz0I28201 02 ln RR21d dz3 82、在题 3 72的镯环线圈中，通以电流 I 1A 。求磁场能量：11（ 1）、用Wm 1LI2求解； （2）

35、、用Wm 1 B HdV 求解。解： 利用题 3 72 的一些结果，有第 28 页电磁场习题解答nI2re，nIB2re，n2 h R2ln2R11）、Wm1 n2 hln22R2R1I2n2 hI2ln R24R12 7 25002 800 4 10 7 0.01 124ln 7 3.08 10 2(J)62）、Wm1 1 h R212 VH BdV21 0 R12 nI0 2 rnIe2re rd dr dz1 0h RR22 0 R12 n2I 2 0 4 2 rdr dzn2I222 1 d dr dz0rhn2I24ln RR21 3.08 10 2(J)4 1、长直导线中通过电流

36、i ，一矩形导线框置于其近旁，两边与直 导线平行，且与直导线共面，如图所示。（1）、设i Im cos（ t） ，求回路中的感应电动势 （设框的尺寸远小于正弦 电流的波长）。（2）、设 i I 0 ，线框环路以速度 v 向右平行移动，求感应电动势。（3）、设i Im cos（ t ） ，且线框又向右平行移动，再求感应电动势。第 29 页电磁场习题解答解：取电动势和磁通的方向如图所示，选柱坐标且使 z 轴与线电流重合， 方向与电流的方向一致。(1)、线圈不动，电流随时间变化：2ri 0 e e dr dz i 0bln a c2 r 2 c由于 e和 符合右手螺旋关系，所以d d i 0b a

37、c0b Im c ae ( 0 ln ) 0 m ln()sin( t)dt dt 2 c 2 c2)、电流不变，线圈运动： 取积分路径的方向和电动势的方向一致，则e v B dlb I 0 0 0(v 2 I(c0 0vt)e) ezdzc vt aI 0 0cvt (v I0 0e ) erdr2rb I 0 00(v 2 (c0vt0 a)e) ( ez)dzc vt a I 0 0c vt (v 0 0 e ) ( er )dr2r电磁场习题解答第 30 页(vI 0 02 (c vt)e)bezdz 0(vI 0 02 (c vt a)e ) ( ez)dz0b vI 0 0 ez0

38、 2 (c vt) zezdzbvI 0 00 2 (c vt a)ez( ez)dz0b vI 0 0 dz 0bvI 0 0 dz0 2 (c vt) 0 2 (c vt a)vI 0 0b21c vt1c vt a3）、电流和线圈的位置都随时间变化：i02 r eb c vt a i 0 i 0b a c vte e dr dz ln0 c vt 2 r 2 c vtd d i 0b a c vt0b d a c vte ( ln ) (iln )dt dt 2 c vt 2 dt c vt0b2d a c vtddtIm cos( t)ln a c cvtvt0bIm d cos( t

39、)ln(a c vt) cos( t)ln(c vt)2 dt0bIm2 sin( t)ln(a c vt) cos( t)va c vtsin( t)ln(c vt) cos( t)vc vt0bIm2 lna c vtc vtsin( t) v(1c vt1a c vt)cos( t)第 31 页电磁场习题解答42、已知一种有损耗媒质中的电流密度Jc 0.02 sin(10 9 t ) A/m 2，若媒质的 103S/m ， r 6.5 ，求位移电流密度。解：用相量表示电流密度，则Jcm 0.02/00电场强度为 Em Jcm 0.02/30 2 10 5/00 V/ m103电位移相量为

40、 Dm Em r 0Em6.5 10 2 10 5/00 13 10 14/00 C/m 236 369 13 14 0 6 0 2而 Dm j Dm j10910 14/00 j1.149 10 6/00 A/m 236所以 D 1.149 10 6 sin(109 t 900) A / m245、由圆形极板构成的平板电容器如图所示，两极板之间充满电导率 为 、介电常数为 、磁导率为 0 的非理想介质。把电容接到直流电源上，求 该系统中的电流及电容器极板之间任意一点的坡印亭向量，并证明其中消耗 的功率等于电源供给的功率。第 32 页电磁场习题解答解：忽略边缘效应后有( ez ) ，2rU0r

41、2d电容中任意一点的坡印亭矢量为：SEHezU0rU02r2d2d电流为： I U 0 R2d电源提供的功率为：Ps U0I U 0 R2d 电容消耗的功率为：PcS ds S ds S ds S dsss1s2s3上式中的 S， S1，S2 和S3分别是电容器的外表面、介质与上极板的分界面、 介质与下极板的分界面和电容器的外侧面。由于在介质与导体的分界面处， 导体一侧的电场强度为 0，所以U 02U 02U 02 2Pcs S ds s 20 R( er) erds s 02 Rds0 R2s3s3 2d2s3 2d2d47、已知空气中的电场强度为E 0.1sin(10 x) cos(6 1

42、09 tz)ey求相应的 H 和 。第 33 页电磁场习题解答解：14 10 710 9363 108 m/s6 108 20 r ad/ mv 3 108 Em 0.1s in1(0 x)e j zeyexeyezexeyez11j0xyzxzExmEymEzm0Eym0E j B j H ，得1H m j 1Em1 Eym Eymj exezx zz x1 jz j zj ex (0.1sin(10 x)e j z ) ez(0.1sin(10 x)e j z)zxj 1 ex0.1sin(10 x)( j )ejz ez0.1 10 cos(10x)ejz0.1 ex sin(10 x)

43、 e j z ez10 cos(10 x)e j z j90 90.17 ex sin(10 x) 20 e j z ez10 cos(10 x)e j z j90 6 10 4 101224 10 2 ex sin(10 x) 2 e j zez cos(10 x)e j z j90 1 j z 1 j z j 900 ex 2 sin(10 x)eez 2 cos(10 x)ex 12 102 z 24 10219H ex2 sin(10 x) cos(6 109t 20 z)12 1021 9 0ez2 cos(10 x ) cos(6 109t 20 z 900) A/ m24 102

44、623、已知自由空间中电磁场的电场分量表达式为E 37.7 cos(6 108t 2 z)ey V/m第 34 页电磁场习题解答这是一种什么性质的场？试求出其频率、波长、速度、相位常数、传播方向 及H 的表达式8f 3 108 Hz ，v 3 1088 1mf 3 108解：此场为一种沿负 z 轴方向传播的均匀平面波18v 3 108 m/s ，006 108rad/mZ00 1 200037.7 8H cos(6 108t 2 z)ex120 x80.1cos(6 108t 2 z)ex A / m624、某电台发射 600kHz 的电磁波， 在离电台足够远处可以认为是平 面波。设在某一点

45、a ，某瞬间的电场强度为 10 10 108V/m ，求该点瞬间的磁场 强度。若沿电磁波的传播方向前行 100m ，到达另一点 b ，问该点要迟多少时 间才具有此 10 10 3 V/m 的电场。解：空气可以视为理想介质，设电磁波沿 x 方向传播，因此E Em cos(2 6 105t x)设电磁波传播到 a 点的时间为 t1， a点的 x坐标为 x1，则Em cos(26 105t1x1) 10 2即于是10 2Em cos(2 6 105 t1 x1)10 2E 5 cos(2 6 105t x) cos(2 6 105t1 x1)第 35 页电磁场习题解答根据理想介质中磁场强度和电场强度

46、的关系，有H E 10 5 cos(2 6 105t x) Z0 120 cos(2 6 105t1 x1)当 t t1 ， x x1 时，有E 10 2H 5 cos(2 6 105t1 x1) Z0 120 cos(2 6 105t1 x1)1 110 52.65 10 5A/m120设电磁波传播到 b点的时间为 t2，b点的 x坐标为 x2 。依据题意可得10 5 cos(2 6 105t2 x2 ) 10 2cos(2 6 105 t1 x1)2 2即 cos(2 6 105t2 x2 ) cos(2 6 105t1 x1) 将 x2 x1 100 带入上式，得cos(2 6 105t

47、2 (x1 100) cos(2 6 105 t1 x1) 根据上式，可得2 6 105(t2 t1)10052 6 1058 100310 6 s3 10852 6 105631、均匀平面波在海水中垂直向下传播，已知 f 0.5MHz ，海水的r 80 ， r 1，4S/m ，在 x 0处H 20.5 10 7 cos（ t 350 ）ey求：（ 1）、海水中的波长及相位速度； （2）、 x 1m处，E 和H 的表达式；（ 3）、第 36 页电磁场习题解答解：由表面到 1m 深处，每立方米海水中损耗的平均功率9 1800 ，所以此时的海水为良导 6 10 92 0.5 106 8036体。1）、22 0.5 106 4 10 7 4 5m ；2 2 257 1055 106m /s4 10 7 4 24 10 7 42）、2 5 105 4 10 7 4 2.81 1/m7 2.81x 020.5 10 7e 2.81x cos( t 350 2.81x) eyZ0/450572 5 105 4 10 7 /450 0.993/450E 20.5 10 7 0.993e 2.81x