二次根式复习讲义7328

1、二次根式知识点一：二次根式的概念【知识要点】二次根式的定义：形如 的式子叫二次根式，其中 叫被开方数，只有当 是一个非负数时， 才有意义【典型例题】【例 1】下列各式 1） 1,2） 5,3） x2 2, 4） 4,5） （ 1）2,6） 1 a,7） a2 2a 1，其中是二次根式的是 （填序号）举一反三：1、下列各式中，一定是二次根式的是（） A 、 a B 、 10 C 、a 1 D 、 a 12、在 a 、 a2b、 x 1、 1 x2 、 3 中是二次根式的个数有 个【例 2】若式子 1 有意义，则 x 的取值范围是 x3举一反三：1、使代数式 x 3 有意义的 x 的取值范围是（

2、） x4A 、x3B、x3C、 x4D 、x3 且 x42、使代数式 x2 2x 1有意义的 x 的取值范围是3、如果代数式m 1 有意义，那么，直角坐标系中点P（m， n）的位mn置在（ ）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限【例 3】若 y= x 5+ 5 x +2009，则 x+y=x50解题思路：式 子 a (a0)，, x 5 ，y=2009，则 x+y=20145x0举一反三：1、若 x 1 1 x (x y)2 ，则 xy 的值为()A 1 B 1 C 2 D 32、若 x、y 都是实数，且 y= 2x 3 3 2x 4 ，求 xy 的值3、当 a 取什么值时，代数式

3、 2a 1 1取值最小，并求出这个最小值。已知 a 是 5整数部分， b 是 5的小数部分，求 a 1 的值。b2若 3 的整数部分是 a ，小数部分是 b，则 3a b 。21若 17 的整数部分为 x，小数部分为 y，求 x y 的值 .知识点二：二次根式的性质【知识要点】1. 非负性： a(a 0) 是一个非负数 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到2. ( a)2 a(a 0) 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式： a ( a) 2(a 0)3. a2 |a| a(a 0)注意：(1)字母不一定是正数a(a 0

4、)(2)能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替(3)可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外4. 公式 a2 |a| a(a 0) 与 ( a)2 a(a 0) 的区别与联系a(a 0)(1) a2 表示求一个数的平方的算术根， a 的范围是一切实数(2) ( a) 2表示一个数的算术平方根的平方， a的范围是非负数(3) a2 和 ( a)2的运算结果都是非负的典型例题】【例 4】若 a 2 b 3 c 4 0，则 a b c 举一反三：1、若 m 3 (n 1)2 0 ，则 m n的值为。2、已知 x,y为实数，且 x 1 3 y 2 2

5、0 ，则 x y的值为( )A3B 3C 1D 13、已知直角三角形两边 x、y 的长满足 x 4 y2 5y 6 0，则第三 边长为 .20054、若 a b 1与 a 2b 4 互为相反数，则 a b 。(公式 ( a)2 a(a 0)的运用)【例 5】 化简： a 1 ( a 3)2 的结果为()A、42a B 、0 C 、2a4 D 、 4举一反三：42； m 4m 4 =1 在实数范围内分解因式 : x2 3=2 化简： 3 3 1 33 已知直角三角形的两直角边分别为 2 和 5 ，则斜边长为(公式 a2 a a(aa(a0)0)的应用)例 6】已知 x 2, 则化简 x2 4x

6、4 的结果是A、 x 2 B 、 x 2C、 x 2D、 2 x举一反三：1、根式 ( 3)2 的值是( )A-3B3 或-3C 3 D92、已知 a0，那么 a 2a可化简为( )A aB aC 3a D 3a3、若2 a 3，则 2 a 2 a 32等于( )A. 5 2a B. 1 2a C. 2a 5 D. 2a 14、若 a30，则化简 a 6a 9 4 a 的结果是( )(A) 1(B) 1 (C) 2a 7(D) 72a25、化简 4x2 4x 1 2x 3 得( )A） 2 （B） 4x 4 （C）2（D） 4x 4a2 2a 16、当 a0 时， b x ；（a 1） 1x

7、1 a知识点三：最简二次根式和同类二次根式【知识要点】1、最简二次根式：（ 1）最简二次根式的定义：被开方数是整数，因式是整式；被开方 数中不含能开得尽方的数或因式2、同类二次根式（可合并根式） ： 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就 叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。【典型例题】例 11】在根式 1）最简二次根式是（A 1) 2) B3) 4) C 1) 3)D1) 4)解题思路：掌握最简二次根式的条件。举一反三：简二次根式45a, 30, 21, 40b2 , 54, 17(a2 b2) 中 的22、下列根式中，不是最简二次根式的是(B 3CD3、下列

8、根式不是最简二次根式的是( )A. a2 1B. 2x 1C. 2b4D. 0.1y4、下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？3ab(1)3a2b(2) 2 (3)x2 y2(4)a b(a b) (5) 5(6) 8xy5、把下列各式化为最简二次根式：(1) 12(2)45a2b(3)例 12】下列根式中能与 3 是合并的是 ( )A. 8 B. 27 C.2 5D.12举一反三：1、下列各组根式中，是可以合并的根式是(A 、 3和 18 B 、 3和 1 C 、 a2b和 ab2 D 、 a 1和 a 12、在二次根式： 12； 23 ； 32 ； 27 中，能与 3 合并的二次

9、3根式是3、如果最简二次根式3a 8 与 17 2a 能够合并为一个二次根式 , 则a=.知识点四：二次根式计算分母有理化【知识要点】1分母有理化定义： 把分母中的根号化去，叫做分母有理化2有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：单项二次根式： 利用 a a a来确定，如： a与 a， a b与 a b ， a b 与 a b等分别互为有理化因式。两项二次根式： 利用平方差公式来确定。 如 a b 与 a b ， a b与 a b ， a x b y与a x b y分别互为有理化因式。3分母有理化的方法与步骤

10、：先将分子、分母化成最简二次根式；将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；最后结果必须化成最简二次根式或有理式典型例题】例 13 】 把下列各式分母有理化1)1484337例 14】把下列各式分母有理化1)2)ab2) 55 334)例 15】把下列各式分母有理化：1)2213)4)152 ab2333 2 2 3举一反三：1、已知 x23 ， y23 ，求下列各式的值：(1) x y(2) x23xy y22 323 x y2、把下列各式分母有理化：1）ababab3) bb aa22 bb22小结：一般常见的互为有理化因式有如下几类： 与 ； ? 与 ； 与； ? 与 知识点

11、五：二次根式计算二次根式的乘除知识要点】1积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的 积。ab = a b （ a 0，b0） 2二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算 术平方根。a b ab （a0， b0） 3商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式 的算术平方根a = a （a 0，b0） bb4二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术 平方根。ab= ba （a0，b0） 注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变 形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，

12、最后把运算结果化成最简二次根式【典型例题】例 16】化简(1) 9 16 (2) 16 81 (3)5 2 15 (4)9x2y2 ( x 0, y 0)(5)例 17】计算( 1)? ( 2)? ( 3)? (4)5)?7)? (8)例 18】化简：(1)(2)(a 0,b 0)64b29a2(3)(x 0,y 0)9x64y2(4) 1659xy2 (x 0, y 0)例 19】计算： (1) 123(2)(3)832144) 684xxx 的取值范围是0 x 2 D 、无解例 20】能使等式 x 2 x 2 成立的的A、 x 2 B 、 x 0 C 、知识点六：二次根式计算二次根式的加减

13、知识要点】需要先把二次根式化简， 然后把被开方数相同的二次根式 (即同类二次根式)的系数相加减，被开方数不变。注意： 对于二次根式的加减， 关键是合并同类二次根式， 通常是先化成最简 二次根式，再把同类二次根式合并但在化简二次根式时，二次根式的被开方 数应不含分母，不含能开得尽的因数 典型例题】例10 151)32 21 75 2 0.5 3 217 ； （ 2 ）81 15 75 3134)1 63 1 27 3 28 3 48 2 1472 3 2 4 7例 21】 （ 1） 3 x y4x y 4x 4 y22 xy2)3） 31 27a3 a2 3a 3a a3 a4 108a4)a

14、b a ba b a ba 1a4b2a5） 81a 3 5a a 3 4a56） xy xy x yx xy 2 y x x y知识点七：二次根式计算二次根式的混合计算与求值 知识要点】1、确定运算顺序；2、灵活运用运算定律；3、正确使用乘法公式；4、大多数分母有理化要及时；5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化；典型习题】2、+43 48 )1、b ab ( 2 a b) 3 a5、(2 3 3 2 6)(2 3 3 2 6 )、 ( 72 2 ) 3 7 623、 (3 2 5)2 (4 5)(4 5)8、10 117 、 (2 6 5)10 (2 6 5)11 1m 9m (10m m 2m2 1 ) (m 0)3 25 m例 21 】 1已知：，求 的值2已知，求 的值3已知：，求 的值的值5已知 、 是实数，且 ，求 的值知识点八：根式比较大小【知识要点】1、根式变形法 当a 0,b 0时，如果 a b，则 a b ；如果 a b， 则 a b 。2、平方法当a 0,b 0时，如果 a2 b2，则 a b；如果 a2 b2，则 a b。3、分母有理化法 通过分母有理化，利用分子的大小来比较。4、分子有理化法 通过分子有理化，利用分母的大