概率论与数理统计课后答案北邮版2

1、习题三1. 将一硬币抛掷三次， 以 X 表示在三次中出现正面的次数， 以 Y 表示三次中出现正面次数与 出现反面次数之差的绝对值 .试写出 X 和 Y 的联合分布律 .解】 X 和 Y 的联合分布律如表：Y X0123101111321110C13C323/ 8222822231001111822282. 盒子里装有 3 只黑球、 2 只红球、 2 只白球，在其中任取 4 只球，以 X 表示取到黑球的只 数，以 Y表示取到红球的只数 .求X和 Y的联合分布律 .解】 X 和 Y 的联合分布律如表：Y X0123000C23 C22 3C33 C12 2C4735C473510C13 C12 C

2、22 6C32 C12 C12 12C33 C12 2C7435C4735C47352P(0 黑,2 红,2白)=C13 C22 C12 6C23 C2230C2 C2 /C7 1C7435C47352 2 7 353. 设二维随机变量（ X， Y）的联合分布函数为F（x，y）=sinxsiny,0,求二维随机变量X， Y）在长方形域0 x ,0 y22 其他. 0 x , y 内的概率 .4 63解】 如图 P0 X , Y 公式 (3.2)4 6 3 F( , ) F( , ) F(0, ) F(0, )4 34 636sin sin sin sinsin 0 sinsin0 sin434

3、6362 ( 3 1).4题 3 图 说明：也可先求出密度函数，再求概率。X，Y）的分布密度4. 设随机变量f（x，y）=Ae (3x 4y), x 0,y 0, 其他.0,求：（1）（2）（3）解】（1）常数 A；随机变量（ X，Y）的分布函数； P0X1，0Y2.由f( x, y)dxdy 0 0A=12由定义，有Ae-(3x 4y)dxdy 1A2 1得（2）yxF(x,y) f (u, v)dudvy y12e (3u 4v)dudv0,(1 e 3x)(1 e 4y)0,y 0,x 0, 其他(3) P0 X 1,0 Y 2P0 X 1,0 Y 21212e (3x 4y)dxdy

4、(1 e3)(1 e 8) 0.9499.5. 设随机变量( X，Y)的概率密度为f（x，y）k(6 x y),0,0 x 2, 2 y 4, 其他.（ 1） 确定常数 k ；（2） 求 P X1，Y3 ； （ 3） 求 P X1.5 ； （ 4） 求 P X+Y 4.解】（ 1） 由性质有f(x,y)dxdy240 2 k(6 x y)dydx 8k 1,1故 R 18132) PX 1,Y 3 f (x,y)dydx1 3 13k(6 x y)d ydx0 2 88(3) PX 1.5 f (x,y)dxdy如图a f (x, y)dxdyx 1.5D11.5 4 127dx (6 x y

5、)dy .02 832(4) PX Y 4f ( x, y)dxdy如图b f (x, y)dxdyX Y 4 D 2题 5 图2 4 x 102dx 24 x 18(6Y的密度函数为fY（ y）5e5y,0,y 0,其他.6. 设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量， X 在（ 0，0.2）上服从均匀分布，求：（1） X与 Y的联合分布密度； （2） PYX.题6图解】（1） 因 X 在（ 0，0.2）上服从均匀分布，所以 X 的密度函数为11 fX (x) 0.20,0 x 0.2, 其他.所以fY(y) 50,eY 0,y 0,其他.f (x,y )X Y,独立 fX x( f)Y y

6、 ( )1 5e 5y0.20,25e5y,0,0 x 0.2且 y 0, 其他.(2) P(Y X)f (x,y)dxdy如图 25e 5 ydxdyy x D7.设二维随机变量0.2 x -5y 0.2 5x0 dx 0 25e-5ydy 0 ( 5e 5x 5)dx -1=e-1 0.3679.X， Y)的联合分布函数为F（x，y）(10, e 4x)(1 e 2y),x 0, y 0, 其他.求（ X，Y）的联合分布密度解】f (x,y) 2F(x, y)xy8e(4x 2y)0,x 0,y 0, 其他.f（x，y）4.8y(2 x), 0 x 1,0 y x, = 0,其他 .8.设

7、二维随机变量（ X， Y）的概率密度为求边缘概率密度解】 fX(x) f (x,y)dyx20 4.8y(2 x)dy 2.4x2(2 x), =00, 0,fY( y)f ( x, y)dx0 x 1, 其他.4.8 y(2 x)dx2.4y(3 4y y2), 0 y 1,0, 其他 .题8图题9图9.设二维随机变量（ X， Y）的概率密度为f（x，y）ey0,0 x y, 其他.求边缘概率密度 .解】 fX（x）f （x,y）dyx e ydye x,0, 0,x 0,其他.fY(y)f (x,y)dxy0ye ydxye x0, 0,y 0,其他.10.设二维随机变量（ X，题 10

8、图Y）的概率密度为f（x，y）2cx y,0,x2 y 1, 其他.1） 试确定常数 c；2） 求边缘概率密度解】(1)f (x,y)dxdy如图 f(x,y)dxdyD1 1 2 4= -1dx x2cxfX(x)f (x,y)dy ydyc 1.21得(2)c.41 21 2212 42 x2 ydyx2(1 x4), 1 x 1,x2 480,0,其他.fY(y)f(x,y)dx0,y 21x2ydxy472y0,0 y 1,其他.11.设随机变量（ X，Y）的概率密度为f（ x， y）1, y x,0 x 1,0, 其他 .求条件概率密度 fYX（y x），fXY（xy）题 11 图【

9、解】 fX(x)f (x,y)dyx1dy 2x, 0 x 1,x0, 其他 .11dx 1 y, 1 y 0,1fY(y)f(x,y)dxy1dx 1 y, 0 y 1,y0, 其他 .所以fY|X(y|x)1 f(x,y) 2x, | y| x 1, fX (x) 0, 其他.fX|Y(x| y)11yf(x,y) 1 fY (y)1 y0,y x 1,y x 1, 其他.12.袋中有五个号码 1， 2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X，最大的号码为 Y.（ 1） 求 X 与 Y 的联合概率分布；（ 2） X 与 Y 是否相互独立？【解】（ 1） X 与 Y 的联合分

10、布律如下表XXY345PX xi11122336C3510C3510C3510102011223C3510C351010300111C251010136PYyi1010106 1 6 1(2) 因PX 1 PY 3 160 110 1060 110 PX 1,Y 3故 X 与 Y 不独立2） X 与 Y 是否相互独立？P X xi0.20.420.38(2) 因 PX 2 PY 0.4 0.2 0.8 0.16 0.15 P(X 2,Y 0.4),故 X 与 Y 不独立14. 设 X和 Y是两个相互独立的随机变量， X在（ 0，1）上服从均匀分布， Y的概率密度为1 y /2fY（y）= 2

11、e , y 0,0,其他.（1）求 X 和 Y 的联合概率密度；（ 2） 设含有 a 的二次方程为 a2+2Xa+Y=0，试求 a 有实根的概率 .解】（1） 因 fX （x）1, 0 x 1,0, 其他 ;1y1e2fY (y)20,y 1, 其他.1e y/2故 f(x,y)X,Y独立 fX (x) fY(y)20,0 x 1,y 0,其他.题 14 图2（2） 方程 a2 2Xa Y 0 有实根的条件是(2X)2 4Y 0从而方程有实根的概率为：P X2 Y f (x, y)d xd yx2 y1x20 dx 0 12e y/2dy1 2 (1) (0) 0.1445.15. 设 X 和

12、 Y 分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计） ，并设 X 和 Y 相互独立，且服 从同一分布，其概率密度为f（x）10000,x 1000, 其他.求 Z=X/Y 的概率密度解】 如图 ,Z 的分布函数XFZ(z) PZ z P YX z(1) 当 z0时， FZ (z) 02) 当 0z0YX；2） 设 M=max X， Y ，求PM0.题 20 图解】 因（ X，Y）的联合概率密度为f(x,y)R2 ,0,x2 y2 R2,其他.1) PY 0|Y XPY 0,Y XPY X12f (x, y)d y0 yxf (x, y)dyx R 1d 2 rdr/40 R20 R12 rdr3/

13、8 35R 4d /41/2 4;(2) PM 0 Pmax( X,Y) 0 1 Pmax( X,Y) 0x0y01 PX 0,Y 0 1 f (x, y)d 1 1 3 4421. 设平面区域 D 由曲线 y=1/x 及直线 y=0， x=1,x=e2 所围成，二维随机变量（ X，Y） 在区域 D 上服从均匀分布，求（ X，Y）关于 X 的边缘概率密度在 x=2 处的值为多少？题 21 图解】区域 D 的面积为e2 1e2S0dx lnx 11x2.（X,Y）的联合密度函数为1 f(x,y) 20,211 x e2,0 y , x 其他.X， Y）关于 X 的边缘密度函数为1 x e2, 其

14、他.1/x 1 11dy 1 , fX (x)0 2 2x0,1 所以 fX （2） 1.422. 设随机变量 X和Y相互独立，下表列出了二维随机变量（X，Y）联合分布律及关于 X 和Y 的边缘分布律中的部分数值 . 试将其余数值填入表中的空白处 .y1Xy2y3PX=xi= pi13乙l8t7乙xVTrT!d = 0) 的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率 为 p(0p1)，且中途下车与否相互独立，以 Y 表示在中途下车的人数，求： (1)在发 车时有 n 个乘客的条件下，中途有 m 人下车的概率； (2)二维随机变量( X， Y)的概 率分布 .解】 (1) PY m|X n Cnm pm

15、(1 p)n m,0 m n,n 0,1,2, .(2) PX n,Y m PX n PY m|X nm m n m e nCn p (1 p) ,n m n,n 0,1,2, .n!1224. 设随机变量 X 和 Y 独立，其中 X 的概率分布为 X ，而 Y 的概率密度为 f(y)，0.3 0.7求随机变量 U=X+Y 的概率密度 g(u).【解】设 F(y)是 Y的分布函数， 则由全概率公式， 知 U =X+Y的分布函数为G(u) PX Y u 0.3P X Y u|X 1 0.7PX Y u| X 20.3P Y u 1| X 1 0.7 PY u 2|X 2 由于 X 和 Y 独立，

16、可见G(u) 0.3PY u 1 0.7 P Y u 20.3F(u 1) 0.7F(u 2).由此，得 U 的概率密度为g(u) G (u) 0.3F (u 1) 0.7F (u 2)0.3f(u 1) 0.7f (u 2).25. 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且均服从区间 0,3上的均匀分布，求 Pmax X,Y 1.解 ：因为随即变量服从 0，3上的均匀分布，于是有1 f (x) 30,0 x 3,x 0,x 3;1 f(y) 30,0 y 3, y 0,y 3.15因为 X，Y 相互独立，所以推得1 f (x,y) 90,0 x 3,0 y 3, x 0,y 0,x 3,y 3.

17、Pmax X,Y 1 1.926. 设二维随机变量( X， Y)的概率分布为Y X1011a00.200.1b0.2100.1c其中 a,b,c 为常数，且 X 的数学期望 E(X)= 0.2,PY0X| 0=0.5，记 Z=X+Y.求： ( 1) a,b,c 的值；(2) Z 的概率分布；(3) P X=Z.解 (1) 由概率分布的性质知，a+b+c +0.6=1 即 a+b+c = 0.4.由 E(X)0.2 ，可得a c0.1.再由PY 0 X 0 P X 0,Y 0 a b 0.1 0.5 ,PX 0 a b 0.5得 a b 0.3. 解以上关于 a，b，c 的三个方程得a 0.2,

18、b 0.1,c 0.1.(2) Z 的可能取值为 2， 1， 0，1，2，PZ 2 P X 1,Y 1 0.2 ，PZ 1 PX 1,Y 0 PX 0,Y 1 0.1，PZ 0 P X 1,Y 1 PX 0,Y 0 P X 1,Y 1 0.3 ，PZ 1 P X 1,Y 0 P X 0,Y 1 0.3，PZ 2 PX 1,Y 1 0.1，16即 Z 的概率分布为Z21012P0.20.10.30.30.1(3) PX Z PY 0 0.1 b 0.2 0.1 0.1 0.2 0.4 .27. 设随机变量 X,Y 独立同分布 ,且 X 的分布函数为F(x),求 Z=maxX,Y 的分布函数解：因

19、为 X,Y 独立同分布，所以 z PYz= F（z）2.FX(z)=FY(z),则 FZ(z)=PZ z=PX z，Yz=Px28.设随机变量 X 与 Y 相互独立， X 的概率分布为1P X i 3,i 1,0,1,1, 0 y 1, Y的概率密度为 fY（y）记 Z=X+Y.Y 0, 其他 .1（1）求 PZ|X 0;2（2）求 Z的概率密度 fZ （z）分析 题（ 1）可用条件概率的公式求解 .题（ 2）可先求 Z的分布函数，再求导得密度函数解(1)11 P X 0,Z 1 PZ |X 0 22 P X 01P X 0,Y 2PX 011PY 12 122）FZ(z) PZ z P X Y zP X Y ,z X 1 P X Y ,z X 0 P X Y ,z XP Y z 1, X 1 PY z, X 0 PY z 1, XP Y z 1 P X 1 PY z P X 0 PY z 1P X171PY z 1 PY z PY z 1 313FY (z 1) FY (z ) FY (z 1)3fZ(z) FZ ( z) 13 Yf (z 1) Yf (z )Yf (z 1)0,1z2其他.29.设随机变量 (X,Y)服从二维