圆锥曲线轨迹及方程求法大全

1、圆锥曲线轨迹及方程求法大全轨迹方程的若干求法求轨迹方程是高考中常见的一类问题本文对曲线方程轨迹的求法做一归纳，供同学们参考.直接法6直接根据等量关系式建立方程.例1已知点 A(20), B0O) f 动点 P(X, y) 满足 PAPB = x2 9则点P的轨迹是()A.圆B.椭圆 C.双曲线物线解析：由题知 PA = (-2-x,-y) ,/疳=(3 用一刃 f由 PA-PB = x2(-2 x)(3 - x) + y2 = x2 ,艮卩 y = x + 6 ,点轨迹为抛物线.故选D.二、定义法 运用有关曲线的定义求轨迹方程.例2 在AABC中， BC = 24 AC, AB 上的两条中线长

2、度之和为39,求wc的重心的轨迹方程.解：以线段眈所在直线为，轴，线段菟的中垂线为y轴建立直角坐标系，如图1，M点的轨迹是以B, C为焦点的图1贝!|有|W| + |CA/| = -x39 = 26 其中。 =12 = 13 :b = W= 5 所求 zMBC 的重心的轨迹方程为書唱 =Ky * 0) 16925注意:求轨迹方程时要注意轨迹的纯粹性与 完备性.三、转代法此方法适用于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题.例3已知AABC的顶点 3(70), C(l,0) 9 顶点A在抛物线上运动，求的重心G的轨迹方程.解：设 G3 V)9A(心 yQ) 9 由重心公式，得_ _3 _ 1 +

3、 AoA ,3)-3，又: A(x0, y0)在抛物线y =疋上f :. y0 = a；将,代入,得3 + 2畑0),即所求曲线方程是*4y = 3x2 +4x + -(y *0)四、参数法 如果不易直接找出动点的坐标之间的关系,可考虑借助中间变量(参数)，把X, y联系起来.例4已知线段 AAf = 2ci 9直线/垂直平分航于在/上取两点P，P 9使有向线段OP，O0满足OPOP*4 , 求直线AP与AP的交点M的轨迹方程.解：如图2,以线段牍所在直 线为兀轴，以线段从的中垂线为轴建立直角坐标系.设点 P(0, /)(心0),则由题意,由点斜式得直线杠，AP的方程分别为这就是两式相乘，消去

4、 f 9 得 4a-2 +a2y2 = 4/()，H 0).所求点M的轨迹方程.评析：参数法求轨迹方程，关键有两点：一 是选参，容易表示出动点；二是消参，消参的途 径灵活多变.五、待定系数法当曲线的形状已知时，一般可用待定系数法 解决.例5已知4, JB,刀三点不在一条直线上，且A(20) ,5(2,0) 9 AD =2 9AE = (AB + AD)(1)求E点轨迹方程;(2)过A作直线交以A B为焦点的椭圆于两点，线段磁的中点到y轴的距 离为”且直线曲与点的轨迹相切，求椭圆方程.解：(1)设 (x, y) 9 由AE = ( AB + AD)知E为BD中点,(2x-2+ 2)2+(2)，)

5、2= 4.即E点轨迹方程为/+),2=工0)；(2)设M(勺 y) N(x2, y2)中点（和儿）12由题意设椭圆方程为芝+壬 直线蹄方程X “_4为，= R（x + 2）直线MV与E点的轨迹相切,= H解得土半.JL+13将代入椭圆方程并整理，得4(a2 一3)x2 + 4a2x + 6a2 一 3a4 = 0 , Ao |=:xx + x2 _ _ a2 2 一 2(/ - 3)又由题意知L加即亠斗解得心52（“一3）5故所求的椭圆方程为+召亠歼灭难点训练一、选择题1已知椭圆的焦点是Fi、F2, P是椭圆上的一个动点，如果延长FiP到0使得PQ=PF29 那么动点Q的轨迹是（）A.圆B.椭

6、圆C 双曲线的一支D抛物线2设Ai、A2是椭=1的长轴两个端点,Pi、戶2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1)填空题与A2P2交点的轨迹方程为（3.AABC中，A为动点，B、C为定点，B（- 如0），C（#，0）,且满足条件 sinCsinB=1 sinA!|动 点A的轨迹方程为.4高为5 m和3 m的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m,如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A（-5, 0） B（5, 0）,则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是三、解答题5已知A、B、C是直线I上的三点，且IABI=IBCI=6, QOf切直线/于点A,又过8、C作OO异于/的两切线，设这两切线交

7、于点P,求点P的轨迹方程.6双曲线4-f；=l的实轴为A1A2,a lr曲线上的一个动点，引A10丄AiP, A20丄AzP, 与如0的交点为0求0点的轨迹方程.7已知双曲线4-4=1(0,/0)的顶点为nr /rAi、A2,与y轴平行的直线Z交双曲线于点P、(1)求直线AiP与A20交点M的轨迹方程;当mn时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率.&已知椭44=1(0),点 p 为其上一cr Zr点,Fi、F2为椭圆的焦点，ZF1PF2的外角平分线为人点卩2关于/的对称点为0 F2Q交I于 点R(1)当P点在椭圆上运动时，求人形成的轨迹方程；(2)设点R形成的曲线为C,直线hy=k(x

8、+j2a) 与曲线C相交于A、两点，当AOB的面积取得最大值时，求比的值.参考答案 歼灭难点训练 一、1解析：PFi+PF2=2a,PQ=PF2,:.PFi+PF2=PFi+PQ=2a,定长加，故动点Q的轨迹是111即FiQ=2a,：.动点Q到定点Fi的距离等于答案：A2解析：设交点P(x ) 41(-3,0）孙 2（3,0）f 1（兀 ojo）f2（兀0，一旳）如、Pi、p共线，m宀x 心 兀+ 342、戶2、P 共线，亠二土X x() x 3解得斫吟代入得-齐吨-汀答案：C二、3解析:sinC-sinB=lsinA16，3应为双曲线一支，且实轴长为知故方程为答案:晋）4解析：设P(x ),

9、依题意有5=37（x + 5）2 + y2 J（x - 5）2 + y，化简得P点轨迹方程为4x2+4y285兀+100=0答案：4x2+4j2-85x+100=0三、5.解：设过B、C异于2的两切线分别 切OCT于、E两点,两切线交于点P.由切线 的性质知：BA=BD9 PD=PEf CA=CE9 故 IPBI+IPCI=IBDI+IPPI+IPCI=IBAI+IPEI+IPCI=IBAI+ICEI=IABI+IC4I=6+12=186=IBCI,故由III椭圆定义知，点P的轨迹是以.C为两焦点的17椭圆，以/所在的直线为兀轴，以的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P的轨迹方程为6解：设 P

10、（兀ojo）（兀工 a），0（xj）VAi（ a，0）虫 2（偽0）由条件戶yx- a儿-ax0 = -x（x0 * a）得o =y而点p（兀0 Jo）在双曲线上，.- b2XQ2 a2y（=a2b2.即 b x2)a2()2=a2b2化简得Q点的轨迹方程为:a2x2-b2y2=aXxHa）7.解：设P点的坐标为gyi）,则。点坐 标为（xbJ1）,又有A1（加，0）孙2（加，0），则A送的方程为： y=（A-+?） X| + mAiQ 的方程为：y= -2(x-in)x _ mX得:（3）又因点P在双曲线上故归黒收一轧叶）.nr trm代入并整理得4+4=i.此即为m的轨迹方nr tr程.（2）当mn时，M的轨迹方程是椭圆.（i）当mn时，焦点坐标为（7匸7,0）, 准线方程为“土亠，离心率e=UI ；yjm -irm（ii）当m?0 =A +C2A2兀 i