正弦定理和余弦定理精编版

1、最新资料推荐正弦定理和余弦定理正弦定理、余弦定理在 ABC中，若角 A，B，C所对的边分别是 a，b，c，R为ABC 外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理a2b2 c22bccosA；内容a b c 2Rb2c2a22cacosB； sinA sinB sinCc2a2b22abcosC(1) a 2RsinA， b 2RsinB， c 2RsinC；222 b c aa b ccosA 2bc ；变形(2)sinA2R，sinB2R，sinC2R；c2a2b2 cosB 2ac ；(3)abcsinAsinBsinC；222 a b c(4)asinBbsinA，bsinCcsinB，asin

2、CcsinAcosC 2ab1 1 1 abc 1SABC2absinC2bcsinA2acsinB 4R 2（a bc）r（r 是三角形内切圆半径 ），并可由此计算 R、r选择题在ABC 中，已知 a2，b 6，A45，则满足条件的三角形有 （ ）A1 个B2 个C0个D无法确定2解析 bsinA 6 22 3，bsinAab，满足条件的三角形有 2 个3 在ABC中，A60，AB2，且ABC的面积为 2 ，则 BC的长为（3A. 2C2 3解析 因为 S21ABACsinA212 23AC 23，所以 AC 1，B. 3D2所以 BC2AB2AC22ABACcos60 3，所以 BC 3.

3、已知在 ABC中，ax，b2，B45，若三角形有两解，则 x 的取值范围是 （ ）最新资料推荐D 2 x 2Bx2C 2xb，x2， 又由 sinAbasinB2x 221，可得 x2 2，x 的取值范围是 2x1，所以只需使边长为 3及 x的对角都为锐角即可，2 2 21 x 3 ，2 2 21 3 x ，即 8x20，所以 2 2x 10.在 ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为A钝角三角形ca，b，c，若bcosA，C锐角三角形则 ABC 为（）D等边三角形B直角三角形c sinC解析 已知bcosA，由正弦定理，得sinBcosA，即sinCsinBcosA，所以 sin(AB)s

4、inBcosA，即sinBcosAcosBsinAsinBcosA0，所以 cosBsinA0，于是有 cosB1. 角 B 不存在，即满足条件的三角形不存在若ABC 的三个内角满足 sinAsinBsinC51113，则ABC()A 一定是锐角三角形B一定是直角三角形2最新资料推荐C一定是钝角三角形D可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形解析 由正弦定理 sianAsinbB sicnC 2R（R 为ABC 外接圆半径 ）及已知条件 sinAsinBsinC5 11 13，可设 a 5x，b11x，c13x（x0）则 cosC2225x 2 11x 2 13x 225x11x23x2110x2

5、 b”是“cos2Ab? sinAsinB? sin2Asin2B? 2sin2A2sin2B? 12sin2A12sin2B? cos2Ab”是 “cos2Acos2B”的充分必要条件在 ABC中，角 A，B，C的对边分别是 a，b，c，已知 bc，a22b2（1sinA），则 A（）3A.34B.3C.4b2c2 a2 2b2a2解析 在ABC中，由 bc，得cosA 2bc 2b2 ，又 a22b2（1sinA），所以 cosAsinA，即 tanA 1，又知 A（0，）所以 A4，故选 C.在ABC 中，AB 3，AC1，B30，3 ABC的面积为 23，则 C（A30B45C60D7

6、5解析1SABC2ABACsinA3，2，1即2 3 1 sinAsinA1，由 A（0 ，180），A90，C60，故选 C3D.34解析根据正弦定理abcsinA sinB sinCcbsinA a得ca sinCsinB c b，a2c2 b2ac，得 cosBa2c2b22ac故 B 3，故选 C.c bsinA已知 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且casinCsinAsinB，则 B 等于（）B.4C.3最新资料推荐在ABC 中，角A，B，2C 对应的边分别为 a，b，c，若 A 3，a2， b233，则 B 等于()A.35B.56 5 C.6或6D.62解

7、析 A 23，a2，b233，由正弦定理bsin A sin B可得， sinBabsinA2323 2321，2A 3 ，B6设 ABC的内角 A，B，C所对边的长分别为 a，b，c，若 bc2a,3sinA5sinB，则角 C等于()235A. 3 B.3 C.4 D.637解析 因为 3sinA 5sinB，所以由正弦定理可得 3a5b.因为 bc2a，所以 c2a 5a5a.令 a 5， b3，c7，则由余弦定理 c2 a2b22abcosC，得 49259235cosC，12 解得 cosC 21，所以 C 23.在 ABC中，内角 A，B，C所对的边分别是 a，b，c，若 c2(a

8、b)26，C3，ABC的面积是()A3B.923C.323D3 3解析 c2(ab)26，c2a2b2 2ab6. C3，c2a2b22abcos3a2b2ab.由得 ab60，即 ab6，SABC12absinC216 23 3 23. 填空题ABC中，若 bcosCccosBasinA，则ABC 的形状为 解析 由已知得 sinBcosCcosBsinC sin2A， sin(BC) sin2A， sinA sin2A， 又 sinA0，sinA1，A2，ABC 为直角三角形在 ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，若角 A，B，C依次成等差数列， 且a1，b 3， 则 SA

9、BC .最新资料推荐解析 因为角 A，B，C 依次成等差数列， 所以 B60.由正弦定理，得sin1 Asin 630 ，解得 sinA12，因为 0A0， 3sinBcosB1 0， 2sin B61，即 sin B6 12.B （0，）B3在 ABC中，已知 sinAsinB 21，c2b2 2bc，则三内角 A，B，C 的度数依次是 解析 由题意知 a 2b，a2b2c2 2bccosA，即 2b2b2c2 2bccosA， 又 c2b2 2bc，cosA 22，A45，sinB21，B30，C 105.1设 ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且 a2，cosC4，3si

10、nA2sinB，则 c解析 由 3sinA2sinB 及正弦定理，得 3a 2b，又 a 2，所以 b3，故 c2a2 b22abcosC49 2 2 3 1 16，所以 c4.最新资料推荐1设 ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c.若 a 3，sinB 2， C6，则 b解析 因为 sinB21且 B(0， ，)所以 B6或 B56 . 2 又 C 6， B C，所以 B 6， A B C 3 .由正弦定理得asinAb sinBsin 3bsin6在ABC 中，A60，AC2，BC 3，则 AB解析 A 60，AC2，BC 3，设 ABx，由余弦定理，得 BC2 AC2AB2

11、2ACABcosA， 化简得 x22x10，x 1，即 AB1.2在ABC 中，A 3 ，a 3c，则cb3c解析在ABC 中，a2b2c22bccosA，将 A23，a 3c 代入，可得( 3c)2b2c22bc 12 ，整理得 2c2b2bc，c0，等式两边同时除以 c2，得 2 bc 2cb，可解得 bc1在 ABC中，内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，已知 ABC 的面积为 3 15，bc2，cosA11，则 a 的值为41解析 cosA 4，0A，15 1 1 15sinA 415，SABC 12bcsinA21bc 4153 15，bc24，2 2 2 2又 bc2，b2

12、 2bc c24，b2c2 52，2 2 2由余弦定理得， a2b2c2 2bccosA5222441 64， a8.解答题在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，已知 A4，b2a221c2(1)求 tanC 的值；(2)若 ABC的面积为 3，求 b的值最新资料推荐解 (1)由 b2a221c2 及正弦定理得2 1 1 2 2 3sin2B 22sin2C.所以 cos2B sin2C.又由 A4，即 BC4，得33 cos2B cos2 4C cos 22C sin2C 2sinCcosC， ，由解得 tanC2.(2)由 tanC2，C(0，得) sinC 2 5

13、5，cosC 55，因为 sinBsin(AC) sin 4 C ，所以 sinB31010，由正弦定理得 c232b，又因为 A4，21bcsinA 3，所以 bc6 2，故 b3.已知 a，b，c分别为 ABC 三个内角 A，B，C 的对边， a 3bsinAacosB.(1)求角 B；(2)若 b2， ABC的面积为 3，求 a，c.解 (1)由 a 3bsinAacosB 及正弦定理，得 sinA 3sinBsinAsinAcosB， 0A0， 1 5 3sinBcosB1，即 sin B6 2，又 0B， 6B 6 6 ， B3.1 2 2 2 2 2(2)S2acsinB 3，ac

14、4， ，又b2a2c22accosB，即 a2c28.由 联立解得 ac 2.如图，在 ABC中，D 是 BC 上的点， AD 平分 BAC， ABD 面积是 ADC 面积的 2倍sinB(1)求sinC；2(2)若 AD1，DC 2 ，求 BD 和 AC 的长11解 (1)SABD2ABADsinBAD，SADC2ACADsin CAD.因为 SABD 2SADC，BADCAD，所以 AB2AC，由正弦定理可得sinBAC1.sinCAB2.(2)因为 SABDSADC BD DC，所以 BD 2.在ABD 和 ADC中，由余弦定理，知AB2AD2BD22ADBDcosADB，AC2AD2D

15、C22ADDCcosADC. 故 AB22AC23AD2BD22DC26，由 (1)知 AB2AC，所以 AC1.最新资料推荐在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 ac 66b， sinB 6sinC （1）求 cosA 的值；（2）求 cos 2A 6 的值bc解 （1）ABC 中，由 sinBsinC，及 sinB 6sinC，可得 b 6c，又由 a c有 a 2c，所以 cosAb2c2a26c2c24c2 62bc 2 6c2 4(2)在 ABC 中，由 cosA 46，可得 sinA 410于是，cos2A2cos2A141，sin2A2sinAcosA

16、154所以， 6 cos2Acos6 sin2Asin614 23 41512 158 3已知 a，b，c分别为 ABC三个内角 A，B，C的对边，a2，且（2b）（sinAsinB）（cb）sinC，则ABC 面积的最大值为解析 由正弦定理，可得 （2b）（ab）（cb） c a 2， a2b2 c2bc，即 b2c2a2bc 由余弦定理，得 cosA b 2cbc a 21，sinA 23. 由 b2c2 bc4，得 b2c2 4 bc.b2c22bc，即 4bc2bc，bc4，SABC21bcsinA 3，即 (SABC)max 3.在 ABC中，内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，

17、c.已知 ab，c 3，cos2Acos2B 3sinAcosA 3sinBcosB.(1)求角 C 的大小；4(2)若 sinA5，求 ABC 的面积1 cos2A 1cos2B 3 解 (1) 由题意得2 2 2 sin2A 3 1 3 1即 2 sin2A 2cos2A 2 sin2B 2cos2B， sin 2A 623sin2B，sin 2B6.23.由 ab，得 A B，又 AB（0，）所以 2A 2B ，即 AB ，所以 C .最新资料推荐4 a c 8（2）由 c 3，sinA5，sinA sinC，得 a5，343 310由 ac，得 A C，从而 cosA 5，sinBsi

18、n（AC）sinAcosCcosAsinC8 3 18251所以， ABC 的面积为 S2acsinB在 ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c.已知 cosB 33，sin（AB） 96，ac2 3，求sinA 和 c 的值解 在ABC 中，由 cosB 33，得 sinB 36，因为 A B C ，所以 sinC sin（A B） 96. 因为 sinCsinB，所以 CB，可知 C 为锐角所以 cosC 5 9 3.因此 sinAsin（BC） sinBcosCcosBsinC 36593 33 96 232.2 2c由sianAsicnC，可得 acssininCA 6 2

19、 3c，又 ac2 3，所以 c1.9专项能力提升在ABC 中，AC 7，BC2，B60，则 BC 边上的高等于 （ ）3 3 33 63 39A. 2 B. 2 C. 2 D. 4解析 设ABc，则由 AC2AB2BC22ABBCcosB知 7c242c，即c22c30，c3（负 值舍去）BC边上的高为 ABsinB3 23323.在 ABC中，内角 A，B，C所对的边长分别是 a，b，c，若 cacosB（2ab）cosA，则ABC的形 状为 （）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形解析 cacosB（2ab）cosA，C（A B）， 由正弦定理得 sinC sinAcosB 2sinAcosA sinBcosA，sinAcosBcosAsinBsinAcosB2sinAcosAsinBcosA最新资料推荐cosA(sinBsinA)0，cosA0或 sinBsinA，A2或BA或 BA(舍去)， ABC 为等腰或直角三角形在 ABC中，三个内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，若 SABC2 3，ab6，acos B bcos A 2cosC，则 c()A 2 7B4C 2 3D3 3解析 acos Bbcos A2cosC，由正