极值点偏移问题

1、极值点偏移问题总结判定方法1、极值点偏移的定义对于函数 y f (x) 在区间 (a,b) 内只有一个极值点 x0，方程 f (x) 0的解分别为x1、x2 ，且 ax1x2 b ，(1) 若x1 x2 x0 ，则称函数 y f(x)在区间(x1,x2)上极值点 x0偏移；2(2) 若x1 x2 x0 ，则函数 y f (x)在区间(x1, x2)上极值点 x0左偏，简称极值 2点 x0 左偏；(3)若x1 x2 x0 ，则函数y f(x)在区间(x1,x2)上极值点 x0右偏，简称极值点 2x0 右偏。2、极值点偏移的判定定理判定定理 1 对于可导函数 y f (x) ，在区间 (a,b)

2、上只有一个极大(小)值点 x0 ，方 程 f (x) 0的解分别为 x1、x2 ，且 a x1 x2 b，(1)若 f(x1 x2) 0，则 x1 x2 ( )x0 ，即函数 y f(x)在区间 (x1, x2 )上极大 22(小)值点 x0 右(左)偏；(2)0若f(x1 x2) 0，则x1 x2 ( )x0，即函数 y f(x)在区间(x1,x2)上极大22(小)值点 x0 左(右)偏。证明：(1)因为可导函数 y f (x) ，在区间 (a,b)上只有一个极大(小)值点 x0 ，则函数 y f (x) 的单调递增(减)区间为 (a,x0)，单调递减(增)区间为 (x0,b)， 又ax1x

3、2b，有x1x2(a,b) 由于 f (x1x2)0，故x1x2(a,x0) ，所以2 2 2x1 x2 ( ) x0 ，即函数极大(小)值点 x0右(左)偏。2判定定理 2 对于可导函数 y f (x) ，在区间 (a,b) 上只有一个极大(小)值点 x0 ，方 程 f (x) 0的解分别为 x1、x2 ，且 a x1 x2 b，(1)若 f(x1) f(2x0 x2)，则 x1 x2 ( )x0 即函数 y f(x)在区间 (x1,x2)上极 2，大(小)值点 x0 右(左)偏；(2)若 f(x1) f (2x0 x2)，则 x1 x2 ( )x0 即函数 y f(x)在区间 (x1,x2

4、)上极2，大(小)值点 x0 左(右)偏。证明：( 1 )因为对于可导函数 y f (x) ，在区间 ( a, b)上只有一个极大(小)值点x0 ，则函数 y f (x) 的单调递增(减)区间为 (a,x0)，单调递减(增)区间为 (x0,b)， 又 ax1x2b ，有x1x0 ，且 2x0x2x0 ，又 f (x1)f (2x0x2) ，故x1 ( )2x0 x2，所以 x1 x2 ( )x0 ，即函数极大(小)值点 x0右(左)偏 .2结论( 2)证明略。二、 运用判定定理判定极值点偏移的方法1.方法概述：(1)求出函数 f(x) 的极值点；( 2 )构造一元差函数 F(x) f (x0

5、x) f (x0 x)(3) 确定函数 F ( x)的单调性；(4)结合 F(0) 0，判断 F ( x)的符号，从而确定 f (x0 x),f(x0 x)的大小关系。2.抽化模型答题模板：若已知函数 f (x) 满足 f (x1) f(x2) ， x0 为 f (x) 的极值点，求证： x1 x2 2x01)讨论函数 f (x) 的单调性并求出 f (x) 的极值点 x0 ；假设此处 f (x) 在,x0 上单调递减，在 x0 ,上单调递增。2)构造 F(x) f (x0 x) f (x0 x) ；注：此处根据题意需要还可以构造成 F(x) f(x) f (2x0 x)3)通过求导 F (

6、x)谈论 F ( x)的单调性，判断处 F ( x)在某段区间上的正负，并得出 f(x0 x)与 f (x0 x)的大小关系；假设此处 F( x) 在 0, 上单调递增，那么我们便可以得出F(x) F(0) f (x0)f ( x0 )0 ，从而得到： xx0 时，f (x0 x) f (x0 x)( 4)不妨设 x1 x0x2，通过 f ( x) 的单调性，f (x1)f ( x2 ) ， f (x0 x)与f (x0x)的大小关系得出结论；接上述情况：由于x x0 时， f ( x0 x)f ( x0x) 且 x1 x0 x2 ， f ( x1)f (x2) 故f (x1) f (x2 )

7、 f x0x2x0f x0 (x2 x0 )f (2x0x2) ，又因为 x1 x0 ，2x0 x2 x0且 f (x) 在, x0 上单调递减，从而得到 x1 2x0 x2 ，从而 x1 x2 2x0 得证；(5)若要证明 f (x1 x2) 0还需进一步讨论 x1 x2 与x0的大小，得出 x1 x2 所在的单2 2 2 调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证；此处只需继续证明：因为 x1 x2 2x0 故x12x2 x0 ，由于 f(x)在 ,x0 上单调递 减，故 f (x1 x2 ) 02说明：(1)此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；(2)此

8、类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求f (x) 的单调性、极值点，证明 f (x0 x)与f(x0 x) 或 f (x)与f (2x0 x) 的大小关系；若试题难度较大，则直接 给出形如 x1 x2 2x0 或者 x1 x2 x0 的结论，让你给出证明，此时自己应主动把该小2问分解为三问逐步解题三、 例题(一) 不含参数的的极值点偏移问题例1 ：(2010 天津理 21 )已知函数 f(x) xe x(x R)1)求函数 f (x) 的单调区间和极值；2)若 x1 x2，且 f (x1) f (x2) ，求证：x1x2解答：法一】1) f (x)x e x ， f (x)0,x1；

9、,11,极大值 f (1) 1e2) g(x)f (1x) f (1 x)1x1x xeg(x) x ee (1 x)g(x)0,x0；,0 减；0, 增f (1x)Qx1 x2 ，不妨设 x1x2 ，由( 1 )知 x1f(x1)f (x2) f 1x2 1f 1 (x2 1)Qx2 1,2 x2 1 ，f (x) 在,1 上增，x1 2x2 ，即 x1x2 2g(x) g(0) 0 即 f (1x)1,x2 1，f (2 x2)x 0 时，法二】欲证 x1 x2 2 ，即证 x2 2 x1由法一知 0 x1 1,x2 1，故 2 x1 1又因为 f (x) 在 1, 上是单调递减的，只需证

10、 f(x2) f(2 x1),又因为 f(x1) f ( x2 ) ，故也即证 f(x1) f (2 x1)，构造函数 h(x) f(x) f(2 x) ，x 0,11x由 h(x) f (x) f (2 x) x 1 e2x 2exh(x) 在 0,1 上单调递增， h(x) h(1) 0故原不等式 x1 x2 2 成立 【法三】由f(x1) f(x2)得，x1ex1 x2ex2，化简得 ex2 x1 x2 x1不妨设 x2 x1 ，由法一知 0 x1 1 x2 ，令 t x2 x1，则 t 0， x2 t x1， 代入得： et t x1 ，反解出： x1 t t ，则 x1 x2 2x1

11、 t t2t t ，x1e 1 e 1故要证 x1 x2 2即证 t2t t 2，又因为 et 1 0，e1等价于证明： 2t t 2 et 1 0 构造函数 g(t) 2t t 2 et 1 t 0 ，则 g(t) t 1 et 1， g(t) tet 0，故 g (t )在 0，+ 上单调递增， g(t) g(0) 0从而 g(t)在 0，+ 上单调递增， g(t) g(0) 0【法四】由f(x1) f(x2)得，x1ex1 x2ex2，化简得 ex2 x1 x2 ，x1两边同时取以 e 为底的对数：得 x2 x1 ln x2 ln x2 ln x1，即 lnx2 ln x1 1，x1x2

12、 x1从而x1 x2ln x2x1 x2ln x1x1 x2 x2 lnxx1lnx2x2x1x2 x1 x1x2 1x1x1令tx2 t 1，则欲证 x1x22等价于证明t1lnt2，x1t1构造 g(t)t 1 lntt1t 1 lnt,t 1 ，则 g(t)t2 1 2t lnttt又令h(t) t2 1 2tlnt t 1 则h(t) 2t 2lnt 1 2 t 1 lnt ，由于 t 1 lnt 对 t 1, 恒成立，故 h(t) 0，h(t)在 1, 上单调递增， h(t) h(1) 0 ，g(t) 0对 t 1, 恒成立， g(t) 在 1, 上单调递增， g(t) g(1)由洛

13、必达法则知：t 1 lntltim1 g(t) ltim1t 1t 1 ln t lim t 1 t 1即 g(t) 2 ，即证式成立，也即原不等式成立例 2 ：(2013 湖南 文 21 ) f (x) 1 x2 ex ， 1 x2(1)求函数的单调区间；2 )证明：当 f(x1) f ( x2 )( x1 x2)时， x1 x2 0(二) 含参数的极值点偏移问题含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元 x1,x2 基础上，有多了一个参数，故思路很自然的就会想到：想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解 决，或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数。例 1 已知函数 f (x)

14、x aex 有两个不同的零点 x1,x2 ，求证： x1 x2 2例 2. 已知函数 f (x) lnx ax， a 为常数，若函数 f (x)有两个不同的零点 x1,x2，求证： x1 x2 e2例 3：已知 x1,x2 是函数 f (x) ex ax 的两个零点，且 x1 x2(1 )求证： x1 x2 2(2 ) x1 x2 1例 4 ：已知函数 f (x) x eax(a 0) ，若存在 x1,x2( x1 x2)，使 f(x1) f(x2) 0, 求 证： x1 aex2变式训练：1.设函数 f (x) ex ax a(a R)的图像与 x轴交于 A x1,0 ,B x2,0 x1

15、x2 两点，( 1 )证明： f ( x1x2 ) 0(2 )求证： x1x2 x1 x22.设函数 f(x) alnx bx 2 ，其图像在点 P 2, f(2) 处切线的斜率为 3，当a 2时，令g(x) f (x) kx，设 x1,x2( x1 x2 )是方程 g(x) 0的两个根， x0是 x1,x2 的等差中项，求证： g(x0 ) 013.已知函数 f(x) a ln x(a R)x(1 )若 a 2，求函数 f (x) 在 1,e2 上的零点个数；(2)若 f (x)有两零点 x1,x2 ( x1 x2 )，求证： 2 x1 x2 3ea 1 14.已知函数 f(x) 1x2 1

16、 a x aln x2(1 )讨论 f (x) 的单调性；(2)设 a 0，证明： 0 x a 时， f (a x) f (a x)(三) 含对数式的极值点偏移问题根据 f(x1) f (x2) 建立等式，通过消参、恒等变形转化为对数平均，捆绑构造函 数，利用对数平均不等式链求解。ablnaln b ，aab对数平均不等式的介绍与证明两个整数 a 和 b 的对数平均定义： L a, b对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：ab L a, bab2例 1 ：已知函数 f (x) ln x ax 2 2 a x1 )讨论 f (x) 的单调性；2)设 a 0，证明：当 0 x 1 时， f ( 1 x) aa3)若函数 y f (x)的图像与 x轴交于 A,B 两点，线段 AB 中点的横坐标为 x0，证明： f (x0 ) 0(四) 含指数式的极值点偏移问题指数不等式：在对数平均的定义中， 设a em,bnen，则E(a,b)mn ee(m mn em(m n)n),根据对数平均mn不等式有如下关系： e 2 E(a,b)例 1(全国 1 卷 2016 理 21 )已知函数 f(x)(xx2)e a(x1)2 有两个零点x1,x2 ，证明