几何体的外接球(附练习题)-精选

1、几何体的外接球一、球的性质回顾如右图所示： O为球心，O为球O的一个小圆的圆心，则此时OO 垂直于圆 O所在平面。二、常见平面几何图形的外接圆外接圆半径（r）的求法OO1三角形：（1）等边三角形:等边三角形也即正三角形，其满足正多边形的基本特征:即内心、外心、重心、垂心、中心重合于一点。内心：内切圆圆心，各角角平分线的交点； 外心：外接圆圆心，各边中垂线的交点； 重心：各边中线的交点； 垂心：各边垂线的交点； 中心：正多边形特有。从而等边三角形的外接圆半径通常结合重心的性质进行求解：五心合一，r 23 a 3 a （其中a为等边三角形的边长）323（2）直角三角形：结合直角三角形的性质：直角三

2、角形斜边上的中线等于斜边的一半；接圆圆心位于斜边的中点处，求解过程比较简单，该处不做重点说明。（3）等腰三角形：结合等腰三角形中三线合一的性质可知：等腰三角形的外接圆圆心位于底边的高线即中线 上。可知：直角三角形的外由图可得:r (h r)a 22 )(2思考：钝角三角形和锐角三角形外接圆圆心位置的区别。（4）非特殊三角形：考察较少，若出现除以上三种情况以外的三角形在求解外接圆半径时可以参考使用正弦定 理。2、四边形常见具有外接圆的四边形有：正方形、矩形、等腰梯形，其中正方形与长方形半径求解方法类似，等腰梯形的外接圆圆心不在中学考察范围内，不用掌握外接圆圆心是在几何图形所在平面的一个到各个顶点

3、距离相同的点；外接球球心则是空间中到几何体各个顶点距离相同的点。结合上述所讲内容，外接圆圆心与外接球球心有许多相似之处以三角形为例， 过三角形的外接圆圆心作三角形所在平面的一条垂线，不难得到： 该垂线上的任意一点到该三角形三个顶点的距离恒定相等。转化到几何体中，如正方体， 其外接球球心位于体心位置，其与正方体任一表面正方形的中心连线均垂直于该正方形。从而我们得出如下结论：几何体的外接球球心与底面外心的连线垂直于底面，也即球心落在过底面外心的垂线上，简单称之为：球心落在底面外心的正上方。三、常见几何体的外接球半径的求法1、直（正）棱柱以三棱柱为例AA 3，求该例：在正三棱柱ABC A B C中，

4、三角形 ABC是边长为 2的正三角形,i i三棱柱的外接球半径.分析：如右图，由正三角形的边长可知底面的外接圆半径 需确定 8的长度，结合正棱柱也是直棱柱的特征可知, 形的外心连线与侧棱平行与底面垂直，从而球心1AA，从而R可求.1r，要求 R,只 上下两底面三角0必位于上下两底面外CiBi心连线的中点处，即由题可得：一2r003,00r O在直角三角形 A00中，00 22从而R1292、棱锥常见有三棱锥和四棱锥两类，棱锥的外接球。（1）含有线面垂直关系（侧棱垂直与底面）的三棱锥其中四棱锥的外接球半径求法相对比较简单,此处重点分析三该种三棱锥的外接球半径求法有两种，举例说明如下。例：在三棱锥

5、 P-ABC中，三角形 ABC是边长为 2的正三角形，PU平面 ABC, PA=3求该三棱锥的外接球半径分析：如右图法一：该几何体可由正三棱柱沿平民啊三棱柱的外接球；法二：先确定底面三角形PBC切割而产生，故该三棱锥的外接球可转化为原ABC的外心 O,从而球心位于 0的正上方，即8丄平面ABC同时: 时 M必00 AM为 PA1 PA 20P=0A 故，中点，从而四边=3，在直角三角形 8A20作0M丄PA于M ,为矩形，OMAO中有:00计算过程略(2)正棱锥以正三棱锥为例在正三棱柱中顶点与底面中心的连线垂直于底面，即P0 面 ABC,故球心 0落在直线PA=3球该三棱锥的外RP0上例：在正

6、三棱锥P-ABC中，三角形 ABC是边长为 2的正三角形，接球半径.分析：如图由底面正三角形边长可得r，在直角三角形00 A中，2 r 002 2R，故只需确定 00的长度即可，结合图形， 8 =P0-0P=H-R带入上式中即可求解O精品由题可知:,H3PAOA69所以 r 2 r2 (H R) 2解得:46(3)含有侧面垂直于底面(不含侧棱垂直于底面)的三棱锥该类问题的求解难点在于球心位置的寻找，确定球心时需要分别取两相互垂直的面的过外心的垂线，球心位于两垂线的交点处。例：在三棱锥 P-ABC中,面 PAB丄面ABC,三角形 ABC和三角形 PAB均为等边三角形， 且AB=3,求该几何体外接

7、球半径分析：设厶ABC和 PAB的球心分别为 O ,O ,取AB中P点M,球心设为 O,贝U OO 丄平面 ABC, OO 丄平面PAB从而四边形 OOMO是矩形，可得： OO=O M ,在三角形OOC中结合沟通定理即可求解1331 由题可得：00 O MPM,rVAB3O A / I3234-VrMCO所以Rr 2 OO152练习题组一1某几何体的三视图如图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（ ）32兀3.体积为的球有一个内接正三棱锥*锥P- ABC的体积为（noa aA. 4n B.nC.nD. 20冗cc2.三棱锥P- ABC的四个顶点都在球O的球面上，已知 PA、

8、PBPC两两垂直，PA=1PBfPC=4当三棱锥的体积最大时，球心O到平面ABC的距离是（)A.12c A f Xa J XtrQc o rJB.C. D.632Tyr4|V6JP- ABC, PQ是球的直径，/ APQ=60，则三棱j Q4. 四面体 ABCD的四个顶点都在某个球O的表面上， BCD是边长为 3 的等边三角形，81V3当A在球O表面上运动时，四面体ABCD所能达到的最大体积为，贝V四面体 OBCD的体积为（81近A.C. 9D.5.点A, B, C, D均在同一球面上，且 AB, AC, AD 两两垂直， 且 AB=1, AC=2 AD=3,则该球的表面积为（）714A. 7

9、n B.伽 C.D.6.已知点 A、B、C、D均在球 O上，AB=BC=,AC=3,若三棱锥 D - ABC体积的最大值为，则球 0的表面积为（A. 36冗 B. 16冗C. 12n D.7.已知直三棱柱ABC- A1B1C1的各顶点都在球O的球面上，且AB=AC=1, BC= ，若v J球0的体积为则这个直三棱柱的体积等于（A.B.C. 2D.8.已知正三棱锥P- ABC,点P, A, B, C都在半径为的球面上，若PA, PB, PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为（A.B.C.9.已知三棱锥 P- ABC的所有顶点都在球O的球面上, ABC是边长为1的正三角形,PC为球0的直径，

10、该三棱锥的体积为，则球0的表面积为（A. 4 n B. 8 nC. 12冗 D. 16%10四棱锥 P- ABCD的底面 ABCD为正方形， PA!底面 ABCD, AB=2,若该四棱锥的所 有顶点都在体积为実32L同一球面上，则pa=（）16fMA . 3 B .C. 2 D .练习题组二将四个1九章算术 中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥P- ABC为鳖臑，P从平面 ABC,PA=AB=2AC=4三棱锥P- ABC的四个顶点都在球0的球面上，则球 0的表面积为（）A. 8 n B. 12% C. 20冗 D. 24%2.

11、 已知三棱锥 P- ABC的四个顶点均在同一球面上，其中 ABC是正三角形，PA丄平面ABC, PA=2AB=2，则该球的表面积为（）A. 8 nB. 16冗 C. 32n D. 36冗3. 已知三棱锥 A - BCD的四个顶点 A、B、C、D都在球 O的表面上， AC丄平面 BCD,BC丄CD,且 AC= , BC=2, CD= ，则球 O的表面积为（）AJr 亠 聲A. 12% B. 7 n C. 9 n D. 8 n4. 已知 A, B, C三点都在以 O为球心的球面上，OA, OB OC两两垂直， 三棱锥 O-ABCJll的体积为，则球 O的表面积为（）16兀32兀A.B. 16% C

12、.D. 32n0J5. 已知四棱锥 P- ABCD的顶点都在球 O的球面上， 底面 ABCD是矩形， 平面PADL底面ABCD, PAD为正三角形，AB=2AD=4，则球 O的表面积为（）56 口64 兀80 兀A.B.C. 24冗 D.JJV6. 已知三棱锥 P- ABC中，PA!底面 ABC, AB丄BC PA=AC=2且该三棱锥所有顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）AB=BC= , / ABC=90，若四面体 ABCD 体)A. 4 n B. 8 n C. 16% D. 20%7. 点 A, B, C, D在同一个球的球面上,积的最大值为3,则这个球的表面积为（A. 2 n B.

13、 4 n C. 8 n D. 16%8. 三棱柱 ABC- A1B1G的侧棱垂直于底面，且AB丄BC, AB=BC=AAi=2,若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A. 48冗 B. 32n C. 12% D. 8n9. 三棱锥 P- ABC中，侧棱 PA=2 PB=PC=，则当三棱锥P- ABC的三个侧面的面积和最大时，经过点 P, A, B, C的球的表面积是（）A. 4 n B. 8 n C. 12% D. 16冗10如图1, ABCD是边长为 2的正方形，点 E, F分别为 BC CD的中点，将 ABE, ECF FDA分别沿 AE, EF, FA折起，使 B, C, D三点重合于点 P,若四面体 PAEF的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积是（）01图22的正方形和正三角形，则该空间几A.B. 6n C.鮎3 冗 D. 12%11如图某空间几何体的正视图和俯视图分别为边长为何体的外接球的表面积为（）16HA