12-3幂级数

1、第三节第三节 一、函数项级数的概念一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算三、幂级数的运算 幂级数 第12章 教学目的与要求： 了解函数项级数的收敛域及和函数的概念；了解函数项级数的收敛域及和函数的概念； 掌握幂级数的收敛半径、收敛域的求法；掌握幂级数的收敛半径、收敛域的求法； 了解幂级数在收敛区间内的基本性质，会求了解幂级数在收敛区间内的基本性质，会求 幂级数的和函数。幂级数的和函数。 重点与难点：重点与难点： 幂级数的收敛半径、收敛域的求法幂级数的收敛半径、收敛域的求法 一、函数项级数的一般概念一、函数项级数的一般概念 1.1.定义定义: : ,1

2、2 0 xxx n n 例例如如级级数数 2.2.收敛点与收敛域收敛点与收敛域: : 如如果果Ix 0 , ,数数项项级级数数 1 0 )( n n xu收收敛敛, , 则则称称 0 x为为级级数数)( 1 xu n n 的的收收敛敛点点, , 否否则则称称为为发发散散点点. . 所所有有发发散散点点的的全全体体称称为为发发散散域域. . 函函数数项项级级数数)( 1 xu n n 的的所所有有收收敛敛点点的的全全体体称称为为收收敛敛域域, , 3.3.和函数和函数: : )()()()( 21 xuxuxuxs n (定义域是定义域是?) 收敛域收敛域 )()(limxsxsn n 函数项级

3、数的部分和函数项级数的部分和 余项余项)()()(xsxsxr nn (x在收敛域上在收敛域上) 0)(lim xrn n 注意注意函数项级数在某点函数项级数在某点x的收敛问题的收敛问题,实质上实质上 是数项级数的收敛问题是数项级数的收敛问题. ),(xsn 例如, 等比级数等比级数 它的收敛域是 , )1,1( ,11,(），及 n n n xxxx 2 0 1 x x n n 1 1 0 它的发散域是或写作 .1x 又如又如, 级数 , )0( 0 2 x n xx n nn ,)(lim xun n 级数发散 ; 所以级数的收敛域仅为. 1x ,)1,1(时当x 有和函数 ,1时收敛当x

4、 ,10时但当 x 例例 1 1 求级数求级数 n n n xn ) 1 1 ( )1( 1 的收敛域的收敛域. 解解由达朗贝尔判别法由达朗贝尔判别法 )( )( 1 xu xu n n xn n 1 1 1 )( 1 1 n x , 1 1 1 )1( x 当当 ,20时时或或即即 xx原级数绝对收敛原级数绝对收敛. , 11 x , 1 1 1 )2( x 当当, 11 x ,02时时即即 x原级数发散原级数发散. ,0时时当当 x 1 )1( n n n 级数级数收敛收敛; ,2时时当当 x 1 1 n n 级数级数发散发散; )., 0)2,( 故级数的收敛域为故级数的收敛域为 , 1

5、|1|)3( x当当, 20 xx或或 二、幂级数及其收敛性二、幂级数及其收敛性 1.1.定义定义: :形如 形如 n n n xxa)( 0 0 的级数称为的级数称为幂级数幂级数. . ,0 0 0 n n n xax 时时当当 其中其中 n a为为幂级数系数幂级数系数. 2.2.收敛性收敛性: : ,1 2 0 xxx n n 例例如如级级数数 ;,1收收敛敛时时当当 x;,1发发散散时时当当 x );1 , 1( 收敛域收敛域);, 11,( 发发散散域域 阿贝尔(1802 1829) 挪威数学家, 近代数学发展的先驱者. 他在22岁时就解决了用根式解5 次方程 的不可能性问题 , 他还

6、研究了更广的一 并称之为阿贝尔群. 在级数研究中, 他得 到了一些判敛准则及幂级数求和定理. 论的奠基人之一, 他的一系列工作为椭圆函数研究开 拓了道路. 数学家们工作150年. 类代数方程, 他是椭圆函数 C. 埃尔米特曾说: 阿贝尔留下的思想可供 后人发现这是一类交换群, 定理定理 1 (1 (AbelAbel 定理定理) ) 如如果果级级数数 0n n n xa在在 0 xx 处处发发散散, ,则则它它在在满满足足 不不等等式式 0 xx 的的一一切切x处处发发散散. . 证明证明 , 0lim 0 n n n xa,)1( 0 0 收敛收敛 n n n xa ), 2 , 1 , 0(

7、 0 nMxa n n 使使得得,M n n n n n n x x xaxa 0 0 n n n x x xa 0 0 n x x M 0 ,1 0 时时当当 x x , 00 收收敛敛等等比比级级数数 n n x x M , 0 收收敛敛 n n n xa; 0 收收敛敛即即级级数数 n n n xa ,)2( 0时 时发发散散假假设设当当xx 而而有有一一点点 1 x适适合合 01 xx 使使级级数数收收敛敛, , 则则级级数数当当 0 xx 时时应应收收敛敛, 这与所设矛盾这与所设矛盾. 由由(1)结论结论 x o R R 几何说明几何说明 收敛区域收敛区域 发散区域发散区域发散区域发

8、散区域 如如果果幂幂级级数数 0n n n xa不不是是仅仅在在0 x一一点点收收敛敛, ,也也 不不是是在在整整个个数数轴轴上上都都收收敛敛, ,则则必必有有一一个个完完全全确确定定 的的正正数数R存存在在, ,它它具具有有下下列列性性质质: : 当当Rx 时时, ,幂幂级级数数绝绝对对收收敛敛; ; 当当Rx 时时,幂幂级级数数发发散散; 当当RxRx 与与时时, ,幂幂级级数数可可能能收收敛敛也也可可能能发发散散. . 推论推论 幂级数在 (, +) 收敛 ; 由Abel 定理可以看出, 0n n nx a 中心的区间. 用R 表示幂级数收敛与发散的分界点, 的收敛域是以原点为 则 R

9、= 0 时, 幂级数仅在 x = 0 收敛 ; R = 时, ,0 R幂级数在 (R , R ) 收敛 ; (R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域收敛域. R 称为收敛半径收敛半径 ， 在R , R 可能收敛也可能发散 .Rx外发散; 在 (R , R ) 称为收敛区间收敛区间. ox 发 散发 散收 敛 收敛 发散 , 0 R ),RR ,(RR .,RR 规定规定 , R 收收敛敛区区间间0 x; 收收敛敛区区间间),(. 问题问题如何求幂级数的收敛半径如何求幂级数的收敛半径? ),(RR (1) 幂级数只在幂级数只在0 x处收敛处收敛, 定定理理 2 2 如如果果幂幂级级数数 0n

10、n n xa的的所所有有系系数数0 n a, 设设 n n n a a 1 lim (或或 n n n alim) (1) 则则当当0 时时, 1 R; (3) 当当 时时,0 R. (2) 当当0 时时, R; 证明证明 应应用用达达朗朗贝贝尔尔判判别别法法对对级级数数 0n n n xa n n n n n xa xa 1 1 lim x a a n n n 1 lim ,x ,)0(lim)1( 1 存在存在如果如果 n n n a a 由比值审敛法由比值审敛法, , 1 |时时当当 x,| 0 收收敛敛级级数数 n n n xa . 0 收收敛敛绝绝对对从从而而级级数数 n n n x

11、a , 1 |时时当当 x,| 0 发发散散级级数数 n n n xa 开始开始并且从某个并且从某个 n |,| 1 1 n n n n xaxa 0| n nx a . 0 n n n xa发发散散从从而而级级数数; 1 R收敛半径收敛半径 , 0)2( 如如果果, 0 x ),(0 1 1 n xa xa n n n n 有有,| 0 收收敛敛级级数数 n n n xa . 0 收收敛敛绝绝对对从从而而级级数数 n n n xa; R收收敛敛半半径径 ,)3( 如如果果 , 0 x. 0 n n n xa必必发发散散级级数数 )|01( 0 收收敛敛使使知知将将有有点点否否则则由由定定理理

12、 n n n xax . 0 R收敛半径收敛半径 定理证毕定理证毕. 0n n nx a 的收敛半径为 说明说明: :据此定理 1 lim n n na a R 例例2 2 求下列幂级数的收敛区间求下列幂级数的收敛区间: 解解 )1( n n n a a 1 lim 1 lim n n n 1 1 R ,1时时当当 x ,1时时当当 x , )1( 1 n n n 级级数数为为 , 1 1 n n 级级数数为为 该级数收敛该级数收敛 该级数发散该级数发散 ;)1()1( 1 n x n n n ;)()2( 1 n n nx ; ! )3( 1 n n n x .) 2 1 ( 2 )1()4

13、( 1 n n n n x n 故收敛区间是故收敛区间是1 , 1( . n n n a limn n lim, , R 级级数数只只在在0 x处处收收敛敛, n n n a a 1 lim 1 1 lim n n , 0 , 0 R 收敛区间收敛区间),(. ;)()2( 1 n n nx ; ! )3( 1 n n n x n n n a a 1 lim 1 2 lim n n n 2 , 2 1 R , 2 1 2 1 收收敛敛即即 x,)1 , 0(收敛收敛 x .) 2 1 ( 2 )1()4( 1 n n n n x n ,0时时当当 x, 1 1 n n 级级数数为为 ,1时时当

14、当 x , )1( 1 n n n 级数为级数为 发散发散 收敛收敛 故收敛区间为故收敛区间为(0,1. 例例 3 3 求求幂幂级级数数 1 12 2 n n n x 的的收收敛敛区区间间. 解解 3 5 2 3 222 xxx 级级数数为为缺少偶次幂的项缺少偶次幂的项 应应用用达达朗朗贝贝尔尔判判别别法法 )( )( lim 1 xu xu n n n n n n n n x x 2 2 lim 12 1 12 , 2 1 2 x 级数收敛级数收敛, , 1 2 1 2 x当当,2时时即即 x , 1 2 1 2 x当当,2时时即即 x级数发散级数发散, ,2时时当当 x, 2 1 1 n

15、级数为级数为 ,2时时当当 x, 2 1 1 n 级级数数为为 级数发散级数发散, 级数发散级数发散, 原级数的收敛区间为原级数的收敛区间为 ).2, 2( 例4. n n x n n 2 0 2 ) !( ! )2( 求幂级数 的收敛半径 . 解解: 级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2, 比值审敛法求收敛半径. lim )( )( lim 1 n n n nxu xu 2 !) 1( ! ) 1(2 n n 2 ! !2 n n 2 2 )1( )22( )12( limx n nn n 2 4x 14 2 x当时级数收敛 时级数发散 故收敛半径为 . 2 1 R 2 1 x即 14 2

16、x当 2 1 x即 ) 1(2n x n x 2 故直接由 例5. 1 2 ) 1( n n n n x 求幂级数 的收敛域. 解解: 令 ,1 xt级数变为 n n n t n 1 2 1 n n n na a Rlimlim 1 n n 2 1 ) 1(2 1 1 n n n n n n n 2 ) 1(2 lim 1 2 当 t = 2 时, 级数为, 1 1 n n 此级数发散; 当 t = 2 时, 级数为, ) 1( 1 n n n 此级数条件收敛; 因此级数的收敛域为 ,22t 故原级数的收敛域为 ,212x 即.31x 三、幂级数的运算三、幂级数的运算 1.1.代数运算性质代数

17、运算性质: : (1) 加减法加减法 00n n n n n n xbxa. 0 n n n xc (其中其中 21, minRRR ) nnn bac RRx, , 21 00 RRxbxa n n n n n n 和和的的收收敛敛半半径径各各为为和和设设 (2) 乘法乘法 )()( 00 n n n n n n xbxa. 0 n n n xc RRx, (其中其中 ) 0110 bababac nnnn 00b a 10b a 20b a 30b a 01b a 11b a 21b a 31b a 02b a 12b a 22b a 32b a 03b a 13b a 23b a 33b

18、 a 柯柯 西西 乘乘 积积 32 1xxx (3) 除法除法 0 0 n n n n n n xb xa . 0 n n n xc )0( 0 n n n xb收敛域内收敛域内 (相除后的收敛区间比原来相除后的收敛区间比原来 两级数的收敛区间小得多两级数的收敛区间小得多) 例如, 设 n n nx a 0 n n nx b 0 ),2, 1,0, 1( 0 naa n ,3,2,0 , 1, 1 10 nb bb n 它们的收敛半径均为 ,R 但是 n n nx a 0 n xxx 2 1 .1R 1 x1 n n nx b 0 x 1 1 2.2.和函数的分析运算性质和函数的分析运算性质:

19、 : (2) 幂级数幂级数 0n n n xa的和函数的和函数)(xs在收敛区间在收敛区间 ),(RR 内可积内可积,且对且对),(RRx 可逐项积分可逐项积分. x n n n x dxxadxxs 0 0 0 )()(即即 0 0 n x n n dxxa. 1 1 0 n n n x n a (收敛半径不变收敛半径不变) 0 )()( n n n xaxs即即 0 )( n n n xa. 1 1 n n nx na (收敛半径不变收敛半径不变) 解解: 可知级数的收敛半径 R+. 例7. 0 ! n n n x 求幂级数 0 ! )( n n n x xS)(x 则 1 1 ! ) 1

20、( )( n n n x xS 0 ! k k k x )(xS )(x 故有 0)( xSe x x eCxS)( ,)(1)0( x exSS 得由故得 . ! 0 x n n e n x 的和函数 . 因此得 设 解解,)1()( 1 1 n n n n x xs, 0)0( s显显然然 两边积分得两边积分得 )1ln()( 0 xdtts x 2 1)(xxxs, 1 1 x )11( x ,1时时又又 x. 1 )1( 1 1 收敛收敛 n n n ).1ln()1( 1 1 x n x n n n )11( x ),1ln()(xxs )1ln()0()(xsxs 即即 解解 0

21、)12()( n n xnxs设设 00 2 n n n n xnx ,22 1 1 0 n n n n nxxnx ,)( 1 1 n n nxxA设设 dxxndxxA n x n x 1 0 1 0 )( 1n n x , 1x x 1| x x x xA 1 )(, )1( 1 2 x , )1( 2 2 2 0 x x nx n n 1|, 1 1 0 x x x n n 0 )12()( n n xnxs 2 )1( 2 x x x 1 1 1|. )1( 1 2 x x x 解解 ,)1( 1 n n xnn 考考虑虑级级数数收敛区间收敛区间(-1,1), 1 )1()( n n

22、 xnnxs则则)( 1 1 n n xx ) 1 ( 2 x x x, )1( 2 3 x x 1 2 )1( n n nn 故故) 2 1 ( s . 8 例11. 2) 1( 1 2 2 的和求数项级数 n n n 解解: 设, 1 )( 2 2 n n n x xS则 , )1, 1(x 2 1 12 n n n xx 2 1 12 1 n n n x x )0( x 1 2 n n n xx 3 2 1 n n n x x n n x nn xS 1 1 1 1 2 1 )( 2 1n n n x 1 0 1 d n x n xx而xx x n n d 0 1 1 x x x 0 1

23、 d )1ln(x 4 2 )1ln( 2 1 )( 2 x x x x xS 故 2 2 2) 1( 1 n n n )0( x 1 2 1 2 )( n n n x x x xS) 2 ( 2 1 2 x x x 2 1 S2ln 4 3 8 5 )0( x 常用已知和函数的幂级数常用已知和函数的幂级数 ; 1 1 )1( 0 x x n n ; 1 1 )1()2( 2 0 2 x x n nn ; 1 )3( 2 0 2 x a ax n n ; ! )4( 0 x n n e n x );1ln( 1 )1()6( 0 1 x n x n n n ;sin )!12( )1()5(

24、1 12 1 x n x n n n 四、内容小结 1. 求幂级数收敛域的方法 1) 对标准型幂级数 先求收敛半径 , 再讨论端点的收敛性 . 2) 对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式) 求收敛半径时直接用比值法或根值法, 2. 幂级数的性质 两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与 )0( 0 n n n n axa 也可通过换元化为标准型再求 . 乘法运算. 2) 在收敛区间内幂级数的和函数连续; 3) 幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分. 思考与练习思考与练习 1. 已知 n n nx a 0 0 xx 在处条件收敛 , 问该级数收敛 半径是多少 ? 答答: 根据Abel 定理可知, 级数在 0 xx 收敛 , 0 xx 时发散 . 故收敛半径为. 0 xR 2. 在幂级数 n n n n x 0 2 ) 1(2 中, n n a a 1 n n ) 1(2 ) 1(2 2 1 1n 为奇数 , 2 3 n 为偶数, 6 1 能否确定它的收敛半径不存在 ? 答: 不能不能. 因为 n n n xu)(lim 2 ) 1(2lim x n n n 2 x 当2x时级数收敛 ,2x时级数发散 , .2R 说明说明: 可以证明 比