1202 常数项级数的审敛法

1、一、一、正项级数正项级数及其敛散性的判别法及其敛散性的判别法 二、二、交错级数交错级数及其敛散性的判别法及其敛散性的判别法 三、三、绝对收敛绝对收敛与与条件收敛条件收敛 12.2 常数项级数的敛散性的判别法常数项级数的敛散性的判别法 上页上页下页下页铃铃结束结束返回返回首页首页 第十二章第十二章 上页下页铃结束返回首页 一、正项级数及其一、正项级数及其敛散性的判别法敛散性的判别法 正项级数收敛的充分必要条件它的部分和数列有界正项级数收敛的充分必要条件它的部分和数列有界. v正项级数正项级数 各项都是正数或零的级数称为正项级数各项都是正数或零的级数称为正项级数. 下页下页 v定理定理1(正项级数

2、收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件) 即若即若,0 n u 1n n u则称则称为正项级数为正项级数 . 若若 1n n u收敛收敛 , ,收敛则 n S ,0 n u部分和数列部分和数列 n S n S有界有界, 故故 n S 1n n u从而从而 又已知又已知 故有界故有界. 单调递增单调递增, 收敛收敛 , 也收敛也收敛. 证证: “ ” “ ” 上页下页铃结束返回首页 v定理定理2(比较判别法比较判别法) 设 1n n u和 1n n v都是正项级数 且 unvn (n1 2 ) 下页下页 (1) 若级数若级数 1n n v 则级数则级数 (2) 若级数若级数则级数则级数 1n n

3、v 收敛收敛 ,也收敛也收敛 ; 发散发散 ,也发散也发散 . 1 n n u 的部分和的部分和, 则有则有 n n S设设和和 分别表示级数分别表示级数 1 n n u 和和 1n n v (1) 若若 1n n v 则则 n 则则(2) 若若因此因此,lim n n 故故也发散也发散 . 0 nn S 也收敛也收敛 . 发散发散, , 收敛收敛, 故故 证证: 有界有界, 从而从而 n S有界有界, 1 n n u 1 n n u 1n n v lim, n n S 1 n n u 上页下页铃结束返回首页 v定理定理2(比较判别法比较判别法) 推论推论 设 1n n u和 1n n v都是

4、正项级数 且 unkvn(k0 nN) 下页下页 设 1n n u和 1n n v都是正项级数 且 unvn (n1 2 ) (1) 若级数若级数 1n n v 则级数则级数 1 n n u (2) 若级数若级数则级数则级数 1n n v 收敛收敛 ,也收敛也收敛 ; 发散发散 ,也发散也发散 . 1 n n u (1) 若级数若级数 1n n v 则级数则级数 1 n n u (2) 若级数若级数则级数则级数 1n n v 收敛收敛 ,也收敛也收敛 ; 发散发散 ,也发散也发散 . 1 n n u 上页下页铃结束返回首页 例例1：判断下列级数的敛散性。：判断下列级数的敛散性。 1 2n n=

5、0 sin 11 , 22 n nn u =sin解解:(1) 因为因为 所以所以, 由比较判别法可知，级数由比较判别法可知，级数 0 1 sin 2n n 收敛收敛. 它收敛它收敛, 且级数且级数 1 2 n n=0 1 1 2 q 为为 的几何级数的几何级数, 上页下页铃结束返回首页 解解 下页下页 v定理定理2(比较判别法比较判别法) 例 1 讨论 p级数) 0( 1 1 p n p n 的收敛性 解 当 p1 时 nn p 11 而级数 所以级数 p n n 1 1 也发散 nn p 11 而级数 1 1 n n 发散 设设un和和vn都是正项级数都是正项级数 且且un kvn(k0

6、n N) 若级数若级数 vn收敛收敛 则级数则级数un收敛收敛; ; 若级数若级数un发散发散 则级数则级数vn发散发散 11pnxn 时,因为当时,有当当 11 , pp nx pp nx 从而从而,有有 上页下页铃结束返回首页 11pnxn 时,因为当时,有 11 , pp nx 所以 11 111 nn ppp nn dxdx nnx 11 111 . 1 (1) pp p nn 2,3,n 当当 当 p1 时 1 ) 1( 1 1 11 11 ppp nnpn (n2, 3, ) 即即 考虑级数考虑级数 11 2 1 ) 1( 1 pp n nn 的部分和的部分和: n 11 1 2

7、1 )1( 1 pp n k kk 11111 11111 1 223(1) ppppp nn 上页下页铃结束返回首页 而级数 1 ) 1( 1 11 2 pp n nn 收敛 所以级数收敛 所以级数 p n n 1 1 也收敛 结论结论: 当当 p 1 时收敛时收敛; ; 当当 p 1 时发散时发散. . n 1 ) 1( 1 1 p n 1 故该级数收敛故该级数收敛. 3 11 2 11 nn nn n 例如例如:级数级数 3 1 2 p p 是是的的级数，级数， p 级数级数 )0( 1 1 p n p n 的收敛性的收敛性: : 上页下页铃结束返回首页 证 因为 1 1 ) 1( 1

8、) 1( 1 2 n n nn 证证 下页 例 2 证明级数 1) 1( 1 nnn 是发散的 而级数 1 1 1 n n 发散 故级数发散 故级数 1) 1( 1 nnn 也发散 注注:应用比较判别法判定一个级数的敛散性时应用比较判别法判定一个级数的敛散性时,通常通常 将这个级数与将这个级数与等比级数等比级数或或调和级数调和级数或或P级数级数相比较相比较. 上页下页铃结束返回首页 v定理定理3(比较判别法比较判别法的极限形式的极限形式) 设 1n n u和 1n n v都是正项级数 下页下页 ,liml v u n n n 则有则有 两个级数同时收敛或发散两个级数同时收敛或发散 ; (2)

9、当当 l = 0 , 1 收敛时且 n n v (3) 当当 l = + , 1 发散时且 n n v 若若 (1) 当当 0 l + 时时, 级数级数 1 n n u 也收敛也收敛 ; 级数级数 1 n n u 也发散也发散 . 上页下页铃结束返回首页下页下页 例 3 判别级数 1 1 sin n n 的收敛性 解 因为1 1 1 sin lim n n n 而级数 解解 所以级数 1 1 sin n n 也发散 1 1 1 sin lim n n n 而级数 1 1 n n 发散 例 4 判别级数 1 2 ) 1 1ln( n n 的收敛性 解解 1 1 ) 1 1ln( lim 2 2

10、n n n 而级数 2 1 1 n n 收敛 所以级数 1 2 ) 1 1ln( n n 也收敛 )1ln( 2 1 n 2 1 n 注注: 2 2 1 1 ln(1) lim n n n 因为因为 2 2 1 1 lim1, n n n 上页下页铃结束返回首页 v定理定理4(极限极限判别判别法法) 设 1n n u为正项级数 (1)如果)lim( 0lim n n n n nulnu或 则级数 1n n u发散; (2)如果 p1 而)0( lim llun n p n 则级数 1n n u收敛 因为因为 解解 1) 1 1ln(lim) 1 1ln(limlim 2 22 22 n nn

11、n n nn nun 根据极限根据极限判别判别法法 知所给级数收敛知所给级数收敛 1) 1 1ln(lim) 1 1ln(limlim 2 22 22 n nn n n nn nun1) 1 1ln(lim) 1 1ln(limlim 2 22 22 n nn n n nn nun 下页下页 2 1 1 ln(1) n n 例例5 判断级数判断级数的敛散性的敛散性. 上页下页铃结束返回首页 v定理定理4(极限极限判别判别法法) 设 1n n u为正项级数 (1)如果)lim( 0lim n n n n nulnu或 则级数 1n n u发散; (2)如果 p1 而)0( lim llun n

12、p n 则级数 1n n u收敛 222 2 3 2 3 2 1 )( 2 11 lim)cos1 ( 1limlim nn n n n nnun nn n n 222 2 3 2 3 2 1 )( 2 11 lim)cos1 ( 1limlim nn n n n nnun nn n n 因为因为 解解 根据极限根据极限判别判别法法 知所给级数收敛知所给级数收敛 首页首页 1cosx 2 1 2 x注注: 1 1(1 cos) n n n 例例6 判断级数判断级数的敛散性的敛散性. 上页下页铃结束返回首页 解 因为10 1 lim 321 ) 1( 321 lim lim 1 nn n u u

13、 nn n n n 下页下页 v定理定理5(比值比值判别法判别法 达朗贝尔判别法达朗贝尔判别法) 解解 所以所以 根据根据比值判别比值判别法可知所给级数收敛法可知所给级数收敛 例例7 证明级数证明级数 ) 1( 321 1 321 1 21 1 1 1 1 n 是收敛的是收敛的 10 1 lim 321 ) 1( 321 lim lim 1 nn n u u nn n n n 10 1 lim 321 ) 1( 321 lim lim 1 nn n u u nn n n n (2)当当 1(或或 )时，级数发散时，级数发散; ; 设级数设级数为正项级数为正项级数, 1 n n u 则则如果如果

14、 1 lim, n n n u u 01(1)当当时时, 级数收敛级数收敛; (3)当当 1时，时，级数可能收敛也可能发散级数可能收敛也可能发散 比值判别法不能用比值判别法不能用. 用法：常用于判别含有因子用法：常用于判别含有因子! n n a n n或或 、 的级数敛散性。的级数敛散性。 上页下页铃结束返回首页 所以所以 根据根据比值判别比值判别法可知所给级数发散法可知所给级数发散 下页下页 解解:因为因为 解 因为 10 1 lim ! 10 10 )!1( lim lim 1 1 n n n u u n n n n n n n 10 1 lim ! 10 10 )!1( lim lim

15、1 1 n n n u u n n n n n n n 10 1 lim ! 10 10 )!1( lim lim 1 1 n n n u u n n n n n n n v定理定理5(比值判别法比值判别法 达朗贝尔判别法达朗贝尔判别法) (2)当当 1(或或 )时，级数发散时，级数发散; ; 设级数设级数为正项级数为正项级数, 1 n n u 则则如果如果 1 lim, n n n u u 01(1)当当时时, 级数收敛级数收敛; (3)当当 1时，时，级数可能收敛也可能发散级数可能收敛也可能发散 比值判别法不能用比值判别法不能用. 23 11 21 2 3! 10101010n n 例例8

16、 判断级数判断级数的敛散性的敛散性. ! , 10 n n n u 1 1 (1)! 10 n n n u 用法：常用于判别含有因子用法：常用于判别含有因子! n n a n n 或或、 的级数敛散性。的级数敛散性。 上页下页铃结束返回首页下页下页 v定理定理5(比值判别法比值判别法 达朗贝尔判别法达朗贝尔判别法) (2)当当 1(或或 )时，级数发散时，级数发散; ; 设级数设级数为正项级数为正项级数, 1 n n u 则则如果如果 1 lim, n n n u u 01(1)当当时时, 级数收敛级数收敛; (3)当当 1时，时，级数可能收敛也可能发散级数可能收敛也可能发散 比值判别法不能用

17、比值判别法不能用. 1 lim1 n n n u u 说明说明: 当当时时, ,级数可能收敛也可能发散级数可能收敛也可能发散. . 例如例如, , p 级数级数: 1 1 n p n n n nu u 1 lim p p n n n 1 ) 1( 1 lim 1 但但 , 1p级数收敛级数收敛 ; , 1p级数发散级数发散 . 上页下页铃结束返回首页下页下页 所以所以 根据比值判别法可知所给级数收敛根据比值判别法可知所给级数收敛 解解 1 1 limlim 1 n n n nn n uxn unx 所以当所以当10 x时，级数收敛；时，级数收敛； 当当1x时，级数发散时，级数发散. 2 1 1

18、1 2(1)! limlim (1)2! nn n nn nn n unn unn 解解 例例 判断级数判断级数 (0) n x x n n=1 的敛散性的敛散性. 1 , n n=1 当当1x 时，级数成为时，级数成为它发散它发散. 1 1 2! n n n n n 例例 判断级数判断级数的敛散性的敛散性. lim= 1 n n xx n 2 lim (1) n n n n n n 2lim() 1 n n n 2 = 1 e 上页下页铃结束返回首页下页下页 v定理定理6(根值根值判别法判别法 柯西判别法柯西判别法) 0 1 lim 1 lim lim n n u n n n n n n n

19、 所以所以 根据根据根值判别根值判别法可知所给级数收敛法可知所给级数收敛 因为因为 解解 0 1 lim 1 lim lim n n u n n n n n n n 0 1 lim 1 lim lim n n u n n n n n n n (2)当当 1(或或 )时，级数发散时，级数发散; ; 设级数设级数为正项级数为正项级数, 1 n n u 则则如果如果lim, n n n u 1 (1)当当时时, 级数收敛级数收敛; (3)当当 1时，时，级数可能收敛也可能发散级数可能收敛也可能发散 根值判别法不能用根值判别法不能用. 用法：常用于判别含有因子用法：常用于判别含有因子 n a n n或

20、或的级数敛散性。的级数敛散性。 23 111 1 23 n n 例例9 判断级数判断级数的敛散性的敛散性. 上页下页铃结束返回首页下页下页 解解:因为因为 所以所以 例例10 判断级数判断级数的敛散性的敛散性.(0) 1 n na a n n=1 limlim 1 n n n n nn na u n 01a(1)当当时时, 级数收敛级数收敛; limlim 1 n n nn n u n 1a (2)当当时时, 级数发散级数发散; 1a (3)当当时时, 有有 1a 因此当因此当时时, 级数发散级数发散. 11 lim= 0 1 (1+) n n ne lim 1 n na n lim, 1 n

21、 n aa n 注注: 如果如果lim0 , n n u 则级数则级数必发散必发散. 1 n n u 上页下页铃结束返回首页下页下页 时时 , 级数可能收敛也可能发散级数可能收敛也可能发散 .1 例如例如 , p 级数级数 : 1 1 p n n p n n n n u 1 )(1n, 1 p n n u 但但 , 1p级数收敛级数收敛 ; , 1p级数发散级数发散 . 说明说明；当；当 上页下页铃结束返回首页 二、交错级数及其二、交错级数及其收敛判别法收敛判别法 v交错级数交错级数 交错级数是这样的级数交错级数是这样的级数 它的各项是正负交错的它的各项是正负交错的 下页下页 交错级数的一般形

22、式为 1 1 ) 1( n n n u 其中0 n u 1 ) 1( 1 1 n n n 是交错级数 例如例如 即即 11 1234 1 ( 1)( 1) nn nn n uuuuuu 即即 11 1 11111 ( 1)1( 1) 234 nn n nn 上页下页铃结束返回首页 v交错级数交错级数 交错级数是这样的级数交错级数是这样的级数 它的各项是正负交错的它的各项是正负交错的 交错级数的一般形式为 1 1 ) 1( n n n u 其中0 n u v定理定理7(莱布尼茨定理莱布尼茨定理) 如果交错级数 1 1 ) 1( n n n u满足条件 (1)un un 1(n 1 2 3 );

23、; (2)0lim n n u 则级数收敛则级数收敛 且其和且其和s u1 其余项其余项rn的绝对值的绝对值|rn| un 1 下页下页 二、交错级数及其二、交错级数及其收敛判别法收敛判别法 即即 11 1234 1 ( 1)( 1) nn nn n uuuuuu 上页下页铃结束返回首页下页下页 证证: :级数的前级数的前2k项的和写成两种形式项的和写成两种形式: : 21234212 ()()()0 kkk suuuuuu 212322212 ()() kkkk suuuuuu 由第一式可知由第一式可知 递增；递增； 2k s 由第二式可知由第二式可知 有界有界,即即 2k s 21.k s

24、u 故有极限故有极限.设设21 lim, k k ssu 21221 limlim() kkk kk ssu 从而从而 因此因此,有有 lim, n n ss 即交错级数收敛即交错级数收敛 且其和且其和s u1 221 limlim kk kk su 0.ss 则级数收敛则级数收敛 且其和且其和s u1 如果交错级数 1 1 ) 1( n n n u满足条件 定理定理1(莱布尼兹定理莱布尼兹定理) (1)unun1(n1 2 3 ); (2)0lim n n u 上页下页铃结束返回首页 (1) 1 1 11 nn u nn u(n1, 2, ) (2) 这是一个交错级数这是一个交错级数 解解

25、由莱布尼茨定理由莱布尼茨定理 级数是收敛的级数是收敛的 且其和且其和su1 1 余项 1 1 | 1 n ur nn 首页首页 则级数收敛则级数收敛 且其和且其和s u1 其余项其余项rn的绝对值的绝对值|rn| un 1 如果交错级数 1 1 ) 1( n n n u满足条件 v定理定理7(莱布尼茨定理莱布尼茨定理) (1)unun1(n1 2 3 ); (2)0lim n n u 因为此级数满足因为此级数满足 (n1, 2, ) (2)0 1 limlim n u n n n 例 10 证明级数 1 ) 1( 1 1 n n n 收敛 并估计和及余项 例例11 上页下页铃结束返回首页 三、

26、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛 v绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛 下页下页 例如例如 级数 1 2 1 1 ) 1( n n n 是绝对收敛的 级数 1 11 ) 1( n n n 是条件收敛的 若级数若级数 1 | n n u收敛收敛 则称级数则称级数 1 n n u 绝对收敛；绝对收敛； 则称级数则称级数 1 n n u 条件收敛条件收敛. . 收敛收敛, , 而级数而级数 1 | n n u发散发散, ,若级数若级数 1 n n u (1) (2) 定义定义: 对任意项级数对任意项级数 , 1 n n u 上页下页铃结束返回首页 v定理定理8(绝对收敛与收敛的关系绝对收敛

27、与收敛的关系) 应注意的问题应注意的问题 如果级数 1 | n n u发散 我们不能断定级数 1n n u也发散 下页下页 证证: 设 设 1 (), 2 nnn vuu则则0, nn vu由由 1 n n u 收敛收敛, 可知可知 1 n n v 收敛收敛, 从而从而 1 2 n n v 收敛收敛. 又因为又因为2, nnn uvu 1 n n u因此级数因此级数必定收敛必定收敛. . 例如例如 1 1 1 ( 1)n n n 1 11 11 ( 1)n nn nn 发散发散, 收敛收敛.而级数而级数 如果级数 1n n u绝对收敛 则级数 1n n u必定收敛 上页下页铃结束返回首页 解

28、因为| 22 1 | sin nn na 而级数 解解 下页下页 如果级数 1n n u绝对收敛 则级数 1n n u必定收敛 v定理定理8(绝对收敛与收敛的关系绝对收敛与收敛的关系) 1 2 | sin | n n na 也收敛 从而级数 22 1 | sin nn na 而级数 2 1 1 n n 是收敛的 所以级数 是收敛的 所以级数 从而级数 1 2 sin n n na 绝对收敛 例 11 判别级数 1 2 sin n n na 的收敛性 例例12 上页下页铃结束返回首页 如果级数 1n n u绝对收敛 则级数 1n n u必定收敛 v定理定理8(绝对收敛与收敛的关系绝对收敛与收敛的

29、关系) 例例13 2 1 ( 1)n n n n e 判断级数判断级数的敛散性。的敛散性。 解解: 令令 22 ( 1), n n nn nn u ee n n nu u 1 lim lim n 1 2 ) 1( n e n n e n 2 2 11 lim n n e n 1 1 e 因此因此 1 2 ) 1( n n n e n 1 2 ) 1( n n n e n 收敛收敛,绝对收敛绝对收敛. 上页下页铃结束返回首页 如果级数 1n n u绝对收敛 则级数 1n n u必定收敛 v定理定理8(绝对收敛与收敛的关系绝对收敛与收敛的关系) 解 由 2 ) 1 1 ( 2 1 | n n n n u 有 解解 1 2 1 ) 1 1 (lim 2 1 |lim e n u n n n n n 1 2 1 ) 1 1 (lim 2 1 |lim e n u n n n n n 1 2 1 ) 1 1 (lim 2 1 |lim e n u n n n n n 0lim n n u 因此级数 1 2 ) 1 1 ( 2 1 ) 1( n n n n n 发散 例 12 判别级数 1 2 ) 1 1 ( 2 1 ) 1( n n n n n 的收敛性 例例14 lim0 ,