直线的截距问题探讨

1、直线的截距问题探讨内容摘要 每年全国各地高考试卷中 ,都有不少习题与直线的截距有关， 学生在解决这些问题时错误率较高，失误多.笔者就高中新教材必修2平面解析几何知识中的相关知识进行阐述，对有关直线截距的相 关知识复习 ,仅以一个课时 （45 分钟 ）为实例进行研究、探讨 . 直线的截距问题探讨一、基础知识复习1. 定义：我们将直线在 y 轴上的交点的纵坐标称为直线在 y 轴上的截距 . 特别地,若直线经过坐标原点 ,则该直线在 x、y 轴上的截距均为零 .2. 应用 :运用直线的截距求直线方程时 ,会简化运算 ;可以解决直线与圆 的位置关系等问题 .3. 注意点:截距并不表示距离 ,它可以为正

2、 ,可以为零 ,也可以为负 .二、典型例题分析例 1求经过点 A（ 3，2），且在两坐标轴上截距相等的直线方程 . 学生练习 学生甲：设直线方程为 因此，所求直线方程为 学生乙：设直线方程为将点 A（ 3，2）代入，得 a=5,即所求直线方程为 x+y-5=0.学生丙：若截距均为 0，则设直线方程为 y=kx,将点 A（3，2）代入， 得直线方程为 2x-3y=0;若截距不为 0，则可设直线方程为将点 A（3，2）代入，得直线方程为 x+y-5=0.教师点评对于学生甲，应对直线的斜率 k 进行讨论，解题不严密。学生乙出现 了漏解，原因在于：直线的截距并不表示距离，截距可以为零，也可 以为负值，

3、应对截距的不同情形进行讨论，因此学生丙的解法是正确 的。变型题 1求过点 A（2，-3），且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线 方程。仿上解法可求得直线方程为 x-y-5=0,或 3x+2y=0.变型题 2求过点 A（3， 2），且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直 线方程。仿上解法可求得直线方程为 x+y-5=0,或 x-y-1=0.或 2x-3y=0. 例 2 求与圆相切，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程 .分析 这个问题不能直接设截距式方程求解 ,也要对截距为零的情形加 以讨论.解 若截距为 0,直线通过原点 ,此时直线与圆相交 ,故截距不为 0.设直线 方程为由圆心到直线的距离公式

4、, 得.故所求直线方程为变型题 1求与圆相切，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程 .分析 由于坐标原点在圆上 ,所以当直线的截距为零时 ,满足题意的直线 有一条 .另一方面 ,当直线的截距不为零时 ,应有两条 .故此问题的解答估 计有三条直线符合题意 .略解 若截距为 0,利用圆心到直线的距离等于半径可以求出直线方程为 若截距不为 0.设直线方程为由圆心到直线的距离公式 ,得 .故所求直线方程为答 所求直线方程为 .说明 此道题很特别，截距不为零时，刚好有一解为零 .所以此道题最后 仅有两解 .变型题 2求与圆相切 ,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程 .分析 由于坐标原点在圆外 ,所以当直线

5、的截距为零时 ,满足题意的直线 有两条.另一方面 ,当直线的截距不为零时 ,有两条.故此问题的解答有四 条直线符合题意 .答所求直线方程为变型题 3求与圆相切 ,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程 .分析 由于坐标原点在圆上 ,所以当直线的截距为零时 ,满足题意的直线 有一条 .另一方面 ,当直线的截距不为零时 ,应有两条 .故此问题的解答估 计有三条直线符合题意 .答所求直线方程为 说明注意此题与变型题 1的比较 .变型题 4求与圆相切 ,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程 .分析 由于坐标原点在圆外 ,所以当直线的截距为零时 ,满足题意的直线 有两条 .另一方面 ,当直线的截距不为零时 ,有两条 .故此问题的解答有四 条直线符合题意 .答所求直线方程为三、课堂小结 本节课我们主要对直线的