等差数列前n项和教学设计

1、等差数列前n 项和【教学目标】一、知识与技能1、借助几何图形，通过直观感知，能自觉获得等差数列的前 n 项和公式的推导思路； 理解公式的推导过程，再次感受数形结合的思想。2 、理解公式，能用公式解决简单的问题；通过公式运用进一步体会方程的思想；让 学生进一步体会从特殊到一般， 再从一般到特殊的思想方法； 进一步加深对等差数列的认识。二、过程与方法1 、启发式教学。从三角形图案入手，以高斯算法引入，设计了很多“想一想” 、“试一 试”、“探究”，就是为了启发、诱导学生，让学生主动发现问题，得到公式推导的思路，并能 自觉地得到解决办法；指导学生合情推理，加深认识，正确运用。2 、探究式学习。从高斯

2、算法到倒序相加法，从特殊数列到一般数列求和，从公式的认 识到运用，都是以学生探究为主，老师适当指导，总结。三、情感态度与价值观1、让学生亲身经历数学研究的过程， 体验创造的激情， 享受成功的喜悦， 感受数学的魅力。2 、培养学生良好的思维习惯，以及为科学勇于创新、不懈努力的探索精神。 【教学重点、难点】重点：探索等差数列的前 n 项和公式的推导并获得思路；掌握公式，学会用公式解决 简单的问题；体会等差数列的性质、公式与方程的联系。难点： 等差数列前 n项和公式推导思路的获得。解决办法 : 以三角图案入手，得自高斯算法的启发，设计一个“ 试一试 ”，借助几何图 形的变化得到“倒”的思路。【教学用

3、具】实物投影仪，多媒体软件，电脑【教学过程】一、情景引入 :1、（播放媒体资料 ）印度泰姬陵坐落于印度古都阿格，是 七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。传说陵寝中有一个 三角形图案 ，以相同大小的圆宝石镶饰而成， 奢靡之程度，可见一斑。 你知道这个图案一共花了多少宝石吗？ 即: 1+2+3+ +100=？ 少年高斯是如何快速地得出了结论的呢？ 高斯用的是首尾配对的方法。 特点： 首项与末项的和： 第 2 项与倒数第 2 项的和： 第 3 项与倒数第 3 项的和：七世纪莫卧儿成为世界共有 100 层（见图），1100101，2 99 101，3 98 101，5051101，101

4、505050。第 50 项与倒数第 50 项的和： 于是所求的和是：S100 = 1+2+3+ +100= 101 50 = 50502、试一试：假如再给你同样多的珠宝， 在原图的基础上你能设计出一个什么样的图案呢？把 “全等三角形 ”倒置，与原图构成平行四边形。平行四边 形中的每行宝石的个数均为 101个，共 100行。有什么启发 ？1 + 2 + 3 + +98 +99 +100100+ 99 + 98 + 3 +2 +11+2+3+100=(100+1) 100 2=5050想一想： 1、你能用一个字说出高斯算法的巧妙之处吗？(配)2、你能用一个字说出第二种算法的巧妙之处吗？ (倒) 点

5、出方法：倒序相加二、推进新课1、探究 1：求1到n的正整数之和即：sn =123nsn 1 2 3 (n 1) n sn n (n 1) (n 2) 2 1 2sn (1 n) (1 n) (1 n)ns n(n 1)snn22、看谁算得快 ：如图一堆钢管有多少根？56789=(5 9) 5=3523、探究 2：那么，对于一般的等差数列，又该如何去求它的前n 项和？即： sn =a1+a2+a3+ +an证法 1： 利用定义可得：Sna1(a1d)a1(n 1)dSnan(and)an(n 1)d2Sn n(a1 an )即Snn(a1 an )2两式相加可得：Sna1 a2an(1)证法 2

6、： Snanan 1a1(2)a1 an a2 an 1 a3an 2ana11)+(2)可得： 2Sn n(a1 an )Snn(a1 a n )2公式变形： 将 an a1 (n 1)d 代入可得： S n na 1 n (n 1) d 2 综上所述： 等差数列求和公式 为：n(a1 an )na1n(n 1)d4、认识公式：（ 1）、用梯形面积公式记忆 等差数列前 n 项和公式，这里对图形进行了割、 补两种处理， 对应着等差数列前 n 项和的两个公式 .（2）、公式特点： （1）相同点：都需知道 a1 与 n（2）不同点： 第一个还需知道 an ，第二个还需知道 d5、公式应用：例 1：

7、求等差数列 -10，-6，-2，2，前 10 项的和。变式题 ：等差数列 -10， -6，-2，2，前多少项和是 54？解：设题中的等差数列为 an ，前 n项为 Sn则 a1 10,d （ 6） （ 10） 4,Sn 54由公式可得 10n n（n01） 4 542解之得： n1 9,n2 3 （舍去）等差数列 -10，-6，-2，2前 9项的和是 54思考：其实，在求和公式、通项公式中共有首项 a1、公差 d、项数 n、末项 an、前 n项和sn 五个元素，如果已知其中（ 三个 ） ，联列方程（组），就可求其余（ 两个）。（知三求二） 练习一：1、 根据下列条件，求相应的等差数列前 n 项

8、的和 （1）a1=100，d=2，n=50（2）a1=4，a8=18，n=8;（3）a1=14.5，d=0.7，an=322、已知一个等差数列的前 10项的和是 310，前 20项的和是 1220，求其前 n项和的公式 .例 2、已知一等差数列有 12 项， a3+a10=4，求 s12 （能力提高 ）练习二： 1、已知一等差数列中a5=10，则 s9=( C )A 、45B、60C、 90D、1202、已知一等差数列中a3+a6+a9= 6，则 s11=( BA、 11 B22C、D、22、想一想：1、等差数列第 k 项与倒数第 k 项的和等于2、等差数列有奇数项，那么前 n 项和等于首末两

9、项的和 中间项乘以项数公式的变式： sn(a1 an)n (a2 an 1)n(ak an k 1)n三、课堂小结：1、回顾公式的推导，从特殊到一般是我们研究问题的一般方法；2、倒序相加的方法，数形结合的思想；3、掌握等差数列的两个求和公式并能灵活运用。四、作业布置： 1、 预习新课2、书面作业：课本 46页，习题 2.3 A 组 第 2、3题 板书设计】课题：等差数列前 n 项的和公式：an=a1+( n-1) dSn(a1 an )例1n2推导过程例2n(n 1)na1d12【教学设计说明 】一、情景引入 1、以三角形图案开始，高斯算法引入，激发学生的兴趣。2、因为高斯算法与倒序相加法有一

10、段距离，我设计了一个“ 试一试 ”：假如 再给你同样多的珠宝，在原图的基础上你能设计出一个什么样的图案呢？ 目的是想让同 学们从图形变化入手，从感性上体会“倒”的巧妙，启发同学的思维，为自然过渡到“倒 序相加法”作准备。我认为这个设计有“ 四两拨千斤 ”之效。二、两个探究1、探究 1，从特殊数列入手，让学生更好地体会 “倒序相加法”的优点。2、“看谁算得快” 是为了联系 “梯形”图形，启发同学的思维， 也是加深倒序法的感性认识。3、探究 2：公式的推导，要求学生自觉地应用“倒序相加法” 。 从情景引入到探究 1、 2，到公式的认识，无不体现了“数形结合”的思想。三、例题及习题的选择例 1 及变式题到例 2 有一定梯度，例 2 有点活，都反映了公式的特点，达到