调和点列一解析

1、调和点列 ( 一)一、线段调和分割的基本概念如果线段 AB被两点 C,D内分与外分成同一比例，则称线段 AB被点 C和 D 调和分割.亦称点列 A,B;C,D 为调和点列.显然，当 C,D 调和分割 AB时，也可称 A、B两点调和分割 CD.有时也称点 C 和 D 是线段 AB的调和共轭点 .若从共点直线外任一点 P 作射线 PA,PC,PB,PD，则可称射线束为 调和线束 ， 且 PA与 PB共轭， PC与 PD共轭 .二、调和点列的性质调和点列联系了众多的图形，因而它有一系列有趣的性质 .性质 1 设 A,C,B,D 是共线四点，点 M为 AB中点，则 C,D 调和分割线段 AB的充 要条

2、件是满足下述六个条件之一 .(1) 点 AB 调和分割 CD.112(2)AC ADAB .(3)AB CD2AD BC2AC DB .(4)CA CBCM CD .(5)DA DBDM DC .(6)2MA2 MB22 MC MDAMCBD性质 2 设 A,C,B,D 是共线四点，过共点直线外一点 P 引射线 PA,PC,PB,PD，则 C,D 调和分割线段 AB的充要条件是满足下述两个条件之一 .(1) 线束 PA,PC,PB,PD，其中一射线的任意平行线被其他三条射线截出相等 的两线段 .(2) 另一直线 l 分别交射线 PA,PC,PB,PD 于点 A,C,B,D时，点 C,D 调和分

3、割线段 AB.P性质 3 对线段 AB的内分点 C 和外分点 D，以及直线 AB 外一点 P，给出如下四 个论断：PC是APB的平分线.PD是APB的外角平分线 .C,D调和分割线段 AB. PCPD.以上四个论断中， 任选两个作题设， 另两个作结论组成的六个命题均为真命 题.性质 4 三角形的一边被其边上的内 （ 旁 ） 切圆的切点和另一点调和分割的充要 条件是，另一点与其余两边上的两个切点三点共线 .性质5 从圆O外一点 A引圆的割线交圆 O于C,D，若割线 ACD与点 A的切点弦 交于点 B，则弦 CD被 A,B调和分割 .三、几个推论1、性质 2 的推论：推论 1 梯形的两腰延长线的交

4、点和两对角线的交点调和分割两底中点的连线 .N推论 2 完全四边形的一条对角线被其他两条对角线调和分割推论 3 过完全四边形对角线所在直线的交点作另一条对角线的平行线， 所作直 线与平行的对角线的同一端点所在的边或其延长线相交， 所得线段被此对角线所 在直线上的交点平分 .C N E2、性质 3 的推论： 推论 4 三角形的角平分线被其内心和相应的旁心调和分割 .推论 5 两外离不等圆圆心连线被两圆的外公切线交点和内公切线交点调和分 割.推论 6 若 C,D两点调和分割圆的直径 AB，则圆周上任一点到 C,D 两点的距离之 比是不等于 1 的常数.反之，若一动点到两定点的距离之比为不等于 1

5、的常数，则该动点的轨迹是 一个圆 .(Apollonius 圆 )推论 7 从圆周上一点作两割线，它们与圆相交的非公共的两点连线，垂直于这 条连线的直径所在的直线与两割线相交，则这条直径被这两割线调和分割 .推论 8 一已知圆的直径被另一圆周调和分割的充要条件是， 已知直径的圆周与 过两分割点的圆周正交 （ 即交点处切线相互垂直 ）.D推论 9 设点 C是 AEF的内心，角平分线 AC交边 EF于点 B，射线 AB交 AEF的外接圆圆 O2于点 O，则射线 AB上的点 D为 AEF的旁心的充要条件是ACDOCB OB推论 10 设 AEF的角平分线 AB交 EF 于点 B，交 AEF的外接圆于

6、点 O，则22OE2 OF2 OA OB .3、性质 4 的推论： 推论 11 若凸四边形有内切圆，则相对边上的两切点所在直线与凸四边形一边 延长线的交点和这一边上的内切圆切点调和分割这一边 .4、性质 5 的推论：推论 12 从圆 O外一点 A 引圆的两条割线交圆于四点，以这四点为顶点的四边 形的对角线相交于点 B，设直线 AB交圆 O于 C,D，则 A,B 调和分割 CD弦.AD四、调和点列的性质应用例 1 如图，过圆外一点 P作圆的两条切线 PA,PB，A,B 为切点，再过点 P作圆 的一条割线分别交圆于 C,D 两点，过切点 B作 PA的平行线分别交直线 AC,AD于 E,F，求证：B

7、E = BF.（2005 年第 5届中国西部数学奥林匹克题 ）例 2 如图，在 ABC中，ADBC，H为AD上任意一点， CH,BH分别与 AB,AC交于点 E,F，求证： EDA =FDA.(第 18 届普特南 B.1）（1987 年友谊杯国际竞赛 ）（第 14届爱尔兰奥林匹克 ）(第 26 届加拿大奥林匹克 ）A例 3 如图，在 PBC中， PBC =60，过点 P作 PBC的外接圆圆 O的切线， 与CB的延长线交于点 A.点D,E分别在线段 PA和圆 O上，使得 DBE= 90，PD=PE， 连接 BE与 PC相交于点 F.已知 AF,BP,CD三线共点 .(1) 求证： BF是 PBC

8、的平分线 .年西部数学奥林匹克题 ）(2) 求 tan PCB的值 .(2006PEDFOAB例 4 如图，已知 A 为圆 O外一点，过 A引圆 O的割线交圆 O于点 B,C，且点 B 在线段 AC内部.过点 A引圆 O的两条切线，切点分别为 S,T. 设 AC与 ST交于点AP ABP，证明： AP 2 AB.（第 21届北欧数学竞赛题 ）PC BCC例 5 如图，已知 ABC的外心为 O，P为 OA延长线上一点，直线 l 与 PB关于 BA对称，直线 h与PC关于 AC对称，l 与h交于点 Q.若 P在OA的延长线上运动， 求 Q的轨迹.（ 第 38 届奥地利奥林匹克题 ）例 6 如图，过

9、锐角 ABC的顶点 A,B,C 的三条高分别交对边于点 D,E,F ，过点 D平行于 EF的直线分别交 AC,AB于点 Q,R，EF交 BC于点 P. 证明：PQR的外接 圆过BC的中点.（第38届 IMO预选题）例 7 如图，设 O和 I 分别为 ABC的外心和内心，ABC的内切圆与边 BC,CA,AB 分别相切于点 D,E,F ，直线 FD与 CA相交于点 P，直线 DE与 AB相交于点 Q，点 M,N分别为线段 PE,QF的中点，求证： OIMN.（2007年 CMO试题 ）QMBDOC例8 如图，已知 AB是圆 O的弦， M是AB的中点， C是圆 O外任一点，过点 C作圆 O的切线 CS,CT，连