行列式的性质

1、行列式的性质基本性质性质 1 行列式与它的转置行列式相等。性质 2 互换行列式的两行 （列 ），行列式变号。推论 如果行列式有两行 （列 ）完全相同，则此行列式为零。性质 3 行列式的某一行 （列）中所有的元素都乘以同一数 k，等于用数 k 乘此行列式。 推论 行列式中某一行 （列） 的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。性质 4 行列式中如果有两行 （列 ）元素成比例，则此行列式等于零。性质 5 若行列式的某一行 （列）的元素都是两数之和，例如第 j 列的元素都是两数之和 性质 6 把行列式的某一列 （行 ）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行 ）对应的元素上去，行列式不变。般利用行列

2、式的定义计算高阶行列式比较繁琐，下面我们将推导出行列式的一些性质，为行列式的计算做准备a11a21an1a12a22an2a1na2nannDTa11a12a1na21a22a2nan1an2称行列式 D 为 D 的转置行列式TDT 可以看成是 D 的元素沿着主对角线旋转 180 所得，亦可看成是将 D 的所有行（列）按序写成所有列（行）所得（即所谓行列互换）性质 1. 1行列式的值与其转置行列式的值相等，即a11a21an1a2nan2anna11a12a1na21a2nan1an2ann证明 将等式两端的行列式分别记作D和 DT ，对行列式的阶数用数学归纳法当 n 2 时，可以直接计算出

3、DDT成立，假设结论对小于 n 阶的行列式都成立，下面考虑 n 阶的情况 .根据定义D a11 A11 a12 A12a1nA1n ，D a11 A11 a21A21an1 An1根据归纳假设 A1T1A11，a12a32an2D a11 A1112a21a13a1n13a33a3nan3a12a22a42an2a13a23a43an3a1na2na4nanna12a22an 12na13a23an 13a311an1anna1na2nan 1n由归纳假设，可以把上面1阶行列式都按第1 列展开，并将含a12的项合并在一起，其值恰好等于a12 A12，事实上2a21a12a3nnan1a122a

4、12a210a212a12a23a2na1212112M其中余子式a23an3anna23an 131na23a2na3na31a33T12a12an1an3ann3a31a12a2na4na310a43an3a4nann121 M12 a12 A12 ，M1T2是 M 12的行、列互换后的行列式，他们都是an3anna23a2nan 13an 1nan10n 1 阶行列式，根据归纳假设M12 M12 .类似地， 把含 a13 的项合并后其值等于 a13A13, ，把含 a1n 的项合并后其值等于 a1n A1 n 因此 D DT .由该性质，行列式中关于行所具有的性质，关于列也同样具有因而，

5、下面关于行列 式的性质将仅对行叙述性质1.2对行列式 (1.3) 中的任一行按下式展开，其值相等，即等于行列式的值a11a12a21a22an1an2( 1)ijMij，M其中 Aijija2na1nannai1Ai1 ai2Ai2ain Ain ， ( i 1,2, ,n) (1.4)为 D 中划掉第 i 行和第 j 列的全部元素后，按原顺序排成的 n 1阶行列式a11a1j 1a1j 1a1nMijai 11ai 1j 1ai 1 j 1ai 1nai 11ai 1 j 1ai 1j 1ai 1nan1anj 1anj 1ann并称 M ij 为元素aij 的余子式， Aij 为元素 ai

6、j 的代数余子式 .证明 对行列式的阶数用数学归纳法当 n 2 时，可以直接计算出结论成立假设结论对小于 n 阶的行列式都成立，下面考虑n 阶的情况 .根据定义D a11A11a12 A12a1n A1na11a22a32an2a23a2na3n11a12a21a31a23a33a2na3nan3annan1an3ann111a21a22a24a2na31a32a34a3nan1an2an4anna22a213a13a2n 111na1na31a32a3n 1an1an2ann 1根据归纳假设 A1j 可以按照第 i1行展开，于是由归纳假设，把上面n个 n 1阶行列式都按第i 1 行展开，并将

7、含ai1 的项合并在一起，其值恰好等于ai1 Ai1 ，事实上（不妨取12a33a3n13a32a34a3n1 a12a211 a13a21an3annan2an4anna321na1na21an22a21a120a33a12a13a32a33a21an2an3a3n 1ann 1211 M 21a21 A21 ，类似地，把含 a22的项合并后其值等于a22A22, ，把含a2n A2n ,因此， D a11 A11a12 A12a1n A1n性质 1. 5 行列式两行相同值为零，即a1n0a2n 的项合并后其值等于a21 A21 a22 A22a2nA2n .(1.7)其中 akiali证明假设a11 a12a1nak1ak2aknal1al 2alnan1an2annD0i 1,2, ,n)利用数学归纳法，对于二阶行列式，(1 kl n)1. 7 )式显然成立 .1. 7 )式对于 n1 阶行列式成立，即如果 n1阶行列式两行相同，则值为零在 n 阶的情况下，对行列式D 按第 j 行展开(j k,l )，a11a12a1na21a22a2naj1Aj1aj2Aj2ajn Ajn .an2由于 Aji( 1)ijMji(iann1,2, n)，且 M ji 为n 1阶行列式且两行相同，因此 Aji 0.ji0所以