离心率的求法总结精

1、圆锥曲线中的离心率问题离心率 两大考点： 求值、求范围求值:1. 利用 a 与c 的关系式（或齐次式）2. 几何 法3. 与其它知识点结合求范围 : 1. 利用圆锥 曲线相关性质 建立a、 c不等关系求解 .2. 运用数形结合建立 a、 c不等关系求解3. 利用曲线的范围 ，建立不等关系4. 运用函数思想 求解离心率5. 运用判别式 建立不等关系求解离心率一、求离心率的值1. 利用 a 与 c 的关系式（或齐次式）题 1 ：（成都市 2010 第二次诊断性检测 ）已知椭圆的一个焦点为 F ，若椭圆上存在点 P，满 足以椭圆短轴为直径的圆与线段 PF 相切于线段 PF 的中点，则该椭圆的离心率题

2、 2 ：已知以双曲线 C 的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60，则双曲线 C 的离心率为62题 3 ：设双曲线x2 ay b21的离心率等于（）( A ) 3B）2解：由题双曲线2 x2 a2 y b21整 理 得 ax 2bxa0，225 ，故选择c2 5a2a0， b0 的渐近线与抛物线 y x21相切，则该双曲线C ) 5D ) 6a0， b0 的一条渐近线方程为ybx ，代入抛物线方程 a因渐近线与抛物线相切，所以 b24a2 0 ， 即题 4 ： (2009eC。浙江理 ） 过双曲线2x2a2yb21（a 0,b 0）的右顶点 A 作斜率为 -1 的直线，该直

3、线与双曲线的两条渐近线的交点分别为（）（ A） 2 （B） 3uuur 1uuurB ，C.若 ABBC ，则双曲线的离心率是2C) 5 (D ) 102. 几何法M ，若直线题1 ： 以椭圆的右焦点 F，为圆心作圆，使这圆过椭圆的中心，且交椭圆于点MF l（Fl为左焦点 ）是圆 F2的切线， M是切点，则椭圆的离心率是MF1 = 1,F1F2 = 2,MF1 = 3,e= 3- 1题2： Fl，F2为椭圆的左、右两个焦点，过 F2的直线交椭圆于 P、Q两点， PF1 PQ，且题 3 ：PF1 = PQ ，求椭圆的离心率（05全国） 设椭圆的两个焦点分别为 F1、F2 ,过F2作椭圆长轴的垂线

4、交椭圆于点 P,若 F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）A. 2 B. 21C. 2 2 D. 2122采用离心率的 定义 以及椭圆的 定义 求解）离心率的定义 c ea2c椭圆的定义2c2a|PF1| |PF2 |2c12112 2c2c2解：如右图所示，有故选 D3. 与其它知识点结合题1 ：已知M为椭圆上一点， Fl，F2是其两个焦点， 且 MFlF2= 2a ，MF2Fl=a (a 0) ， 则椭圆的离心率为 ( )(A)1 2sin a(B)l sin 2 a(D)2cosa -1(C)1-cos2 a题2：已知 P为双曲线右支上右两焦点，且 PF2Fl=75 ，则双 为

5、一点，Fl 、F2 是其左、 PFlF2= 15 ， 曲线的离心率练习：.22xy1. 设双曲线 2 - 2 = 1(0 a 0,b 0 ）的两个焦点为 F1、F2,若 P 为其上 ab一点，且 |PF 1|=2|PF 2|, 则双曲线离心率的取值范围为 （ ）A.(1,3)B. 1,3C.(3,+ )D. 3,分析 求双曲线离心率的取值范围需建立不等关系，题设是双曲线一点与两焦点之间关系应 想到用双曲线第一定义 .如何找不等关系呢？解 析 ： |PF1|=2|PF 2|, |PF1| |PF 2|=|PF 2|= 2a ， |PF 2|c a 即2a c a 3a c所以双曲线离心率的取值范

6、围为 1 e 3 ，故选 B.点评： 本题建立不等关系是难点， 如果记住一些双曲线重要结论 （双曲线上任一点到其对应 焦点的距离不小于 c a ）则可建立不等关系使问题迎刃而解 .22题 2：（ 04 重庆）已知双曲线 x2 y2 a2 b21,（a 0,b 0） 的左，右焦点分别为F1,F2 ,点 P 在双曲线的右支上，且|PF1| 4 | PF2 |,则此双曲线的离心率 e 的最大值为：D73A43B53|PF 1|=4PF 2|,|PF1| |PF 2|=3|PF2|= 2a ， |PF 2| c a即 2 a3所以双曲线离心率的取值范围为 1，故选 B.练习：1. 已知 F1 ，2xF

7、2 分别为 2a2 y b2(a0,b 0） 的左、右焦点， P 为双曲线右支上任点，若A (1,2PF1PF2 的最小值为8a ，则该双曲线的离心率的取值范围是（B (1,3 C 2,3D 3, )解析PF12PF2(2a PF2 )2PF24a2PF2PF2 4a 2 4a2 4a 8a ，欲使最小值为8a，需右支上存在一点 P，使 PF22a，而 PF2 c a即 2a c a所以1 e 3.2. 利用曲线的范围，建立不等关系22P，题 1 设椭圆 x2 + y2 = 1(a b 0) 的左右焦点分别为 F1、F2，如果椭圆上存在点 ab使?F1PF2 90o，求离心率 e 的取值范围。

8、解：设 因为 ，所以将这个方程与椭圆方程联立，消去y ，可解得2 x 题 2：椭圆 G： 2 a2by2 1(a b0)的两焦点为 F1(c,0), F2(c,0) ，椭圆上存在点 M 使uuuuv uuuuvF1M gF2M 0.求椭圆离心率e的取值范围；uuuuv uuuuv解析设 M (x, y), F1M F2M 022y c 将 y2b2b22 x2代入得a22abQ02x2a2求得2 e 122点评： x2a22 y b21(a b 0) 中 xa，是椭圆中建立不等关系的重要依据，在求解参数范围问题中经常使用，应给予重视3. 运用数形结合建立 a、 c不等关系求解22题 1：(06

9、 福建)已知双曲线 x2 y2 1(a 0,b 0) 的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角 ab为 60 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是(A)(1,2(B ) (1,2)(C)2, )(D) (2, )解析 欲使过点 F 且倾斜角为 60 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的 斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率 b ， b 3 ，即 b 3a 即 aa2 2 2 2 2c2 a2 3a2 c2 4a2即e 2故选 C.x2 y2题 2：直线 L 过双曲线 2 2 1(a 0,b 0) 的右焦点，斜率 k=2 ，若 L 与双曲线的两 ab个交点分别在

10、左、右两支上，求双曲线离心率的取值范围。如图 1，若 ，则 L与双曲线只有一个交点；若 ，则 L与双曲线的两交点均在右支上，题 3：已知 F1、F2 分别是双曲线2x2a2y2 1(a 0,b 0)的左、右焦点，过 F1 且垂直于 x b轴的直线与双曲线交于 A、B 两点。若 ABF 2 是锐角三角形，求双曲线的离心率的取 值范围。解：如图 2，因为 ABF 2 是等腰三角形，所以只要 角即可，即A2F145 。则2B A是F锐4. 运用函数思想求解离心率题 1：( 08 全国卷)设 a2 x1 ，则双曲线 2a(a 1)21 的离心率 e 的取值范围是A ( 2,2)B. ( 2, 5)C.

11、 (2,5) D. (2, 5)解析：由题意可知 e2 2 e 5 ，故选 B.5. 运用判别式建立不等关系求解离心率2题 1：(全国)设双曲线 C： x2 y2 1(a 0)与直线 l : x y 1相交于两个不同的点 a2A、 B.求双曲线 C 的离心率 e的取值范围解析 由 C 与 l 相交于两个不同的点，故知方程组2x2a1,有两个不同的实数解.消去 y 并整理得双曲线的离心率所以双曲线的离心率取值范围是, 2) U( 2,x y 1.1a2)x2+2a2x2a2=0.1 a 0.所以 4 2 2 解得 0 a2且a 1.4a4 8a2 (1 a2) 0.12 1Q 0 a 2且a 1

12、, e6且e2a22练习：221。设 x2 y2 1(a 0,b 0) 两条渐近线含实轴的所成角为 q，离心率 e? 犏轾臌2，,2 ，则 q的范围1组1 。分析 求双曲线离心率的取值范围需建立不等关系，题设是双曲线一点与两焦点之间关 系应想到用双曲线第一定义 .如何找不等关系呢？解 析 ： |PF1|=2|PF 2|, |PF1| |PF 2|=|PF 2|= 2a ， |PF 2|c a 即2a c a 3a c所以双曲线离心率的取值范围为 1 e 3 ，故选 B.点评： 本题建立不等关系是难点， 如果记住一些双曲线重要结论 （双曲线上任一点到其对应 焦点的距离不小于 c a ）则可建立不

13、等关系使问题迎刃而解 .2 ， |PF1|=4PF 2|, |PF 1| |PF 2 |=3|PF 2|=2a ， |PF 2|c a 即25a c a a c33所以双曲线离心率的取值范围为 1 e 5 ，故选 B.3练习：解析解析 PF222PF1 2 (2a PF2)2PF2需右支上存在一点 P，使 PF24a2PF2PF2 4a 2 4a2 4a 8a ，欲使最小值为 8a，2a，而 PF2 c a即 2a c a所以1 e 3.2组1。解：设因为 ，所以将这个方程与椭圆方程联立，消去y，可解得2c2 uuuuv uuuuv2，解析 设M (x,y),F1M F2M将 y2b2b22

14、x2代入得 x aa2b22Q 0 x2a2求得 22 e 12 点评： x2 a2 y b21(a b 0) 中 xa，是椭圆中建立不等关系的重要依据，在求解参数范围问题中经常使用，应给予重视3组1，解析欲使过点 F 且倾斜角为 60的斜率的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的绝对值小于等于渐近线的斜率 b ，ab 3 ，即 b 3a 即 a2 2 23a2 c2 4a2即e 2故选 C.2，解：如图 1，若，则 L 与双曲线只有一个交点；若，则 L 与双曲线的两交点均在右支上，2ABF 是锐角即可，即3 ，解：如图 2，因为 ABF2 是等腰三角形，所以只要 AF2 F 1 45 4 组