第33课圆与三角形的综合题

1、第 33 课 圆与三角形的综合题方法指导关于圆的综合性问题， 往往是中考试题中的中等难度题， 考查容涉及到了方程、 三角形 全等与相似、 特殊四边形性质及其圆的相关知识点， 解决这类问题要求学生必须稳固各方面 的数学知识，熟练把握有关推理证明、计算分析、动态变化、分类讨论等多方面的类型题。 这类问题在考查过程中往往涉及到方程思想、 转化思想、 数形结合思想， 近年来有关圆的综 合题综合的容越来越广泛， 解题技巧要求越来越高， 因此解决此类问题往往采用的主要方法 可以借助题意中的条件联想并运用所体现的知识点，从而探寻解题的突破口。真题回顾【例】（ 2016）如图，在 RtABC 中，ABC=90

2、，AB=CB，以 AB 为直径的 O交 AC 于点 D，点 E是AB 边上一点（点 E不与点 A 、B重合），DE的延长线交 O于点 G，DFDG， 且交 BC 于点 F（1）求证： AE=BF ；（2）连接 GB，EF，求证： GB EF；（3）若 AE=1，EB=2 ，求 DG 的长考点】 圆的综合题分析】（1）连接 BD，由三角形 ABC 为等腰直角三角形，求出 A 与C 的度数，根据AB 为圆的直径，利用圆周角定理得到ADB 为直角，即 BD 垂直于 AC ，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到AD=DC=BD= AC，进而确定出 A= FBD，再利用同角的余角相等得到一对角

3、相等，利用ASA 得到三角形 AED 与三角形 BFD 全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；2）连接 EF，BG，由三角形 AED 与三角形 BFD 全等，得到 ED=FD ，进而得到三角形DEF 为等腰直角三角形，利用圆周角定理及等腰直角三角形性质得到一对同位角相等，利 用同位角相等两直线平行即可得证；3）由全等三角形对应边相等得到 AE=BF=1 ，在直角三角形 BEF 中，利用勾股定理求出EF 的长，利用锐角三角形函数定义求出 DE 的长，利用两对角相等的三角形相似得到三角 形 AED 与三角形 GEB 相似，由相似得比例， 求出 GE 的长，由 GE+ED 求出 GD 的长即可 【

4、解答】（1）证明：连接 BD ，在 RtABC 中， ABC=90 ，AB=BC ， A= C=45，AB 为圆 O 的直径， ADB=90 ，即 BD AC ，AD=DC=BD= AC ， CBD= C=45， A=FBD ， DFDG， FDG=90 ， FDB+ BDG=90 ， EDA+ BDG=90 ， EDA= FDB ， 在 AED 和 BFD 中， AED BFD （ASA ）， AE=BF ；（2）证明：连接 EF， BG， AED BFD ，DE=DF ， EDF=90 ，EDF 是等腰直角三角形， DEF=45 ， G= A=45， G= DEF ， GB EF；3)AE

5、=BF ，AE=1 ， BF=1 ，在 RtEBF 中， EBF=90， 根据勾股定理得： EF2=EB 2+BF 2， EB=2 ，BF=1 ，EF=， DEF 为等腰直角三角形， EDF=90 ， cos DEF= ，EF= ，DE=G=A，GEB=AED ， GEB AED ，GE?ED=AE?EB ，?GE=2，即 GE=， ，即，则 GD=GE+ED= 则变式训练 1（ 2015）如图，在 ABC 中， C=90，以 AB 上一点 O 为圆心， OA 长为半径的圆恰 好与 BC 相切于点 D，分别交 AC 、AB 于点 E、F（1）若 B=30 ，求证：以 A、O、D、E 为顶点的四

6、边形是菱形（2）若 AC=6， AB=10 ，连结 AD ，求 O的半径和 AD 的长适应训练交 AB2（ 2015潍坊）如图，在 ABC 中，AB=AC ，以 AC 为直径的 O交 BC 于点 D， 于点 E，过点 D 作 DFAB ，垂足为 F，连接 DE（1）求证：直线 DF 与 O 相切；2）若 AE=7，BC=6 ，求 AC 的长EB3.（ 2016 省市）如图， AB 是O 的直径， BAC=90，四边形 EBOC 是平行四边形， 交O 于点 D，连接 CD 并延长交 AB 的延长线于点 F（1）求证： CF是O 的切线；2）若 F=30， EB=4 ，求图中阴影部分的面积（结果保

7、留根号和）课外作业 4（ 2015）已知 ABC 接于 O，过点 A 作直线 EF（1）如图 所示，若 AB 为O的直径，要使 EF 成为O的切线，还需要添加的一个条 件是（至少说出两种） ： 或者 （2）如图 所示，如果 AB 是不过圆心 O的弦，且CAE=B，那么 EF 是O的切线吗？ 试证明你的判断5（ 2015枣庄）如图，在ABC 中， ABC=90 ，以 AB 的中点 O 为圆心、 OA 为半径的 圆交 AC 于点 D ，E 是 BC 的中点，连接 DE， OE1）判断 DE 与O 的位置关系，并说明理由；2）求证： BC2=CD?2OE；3）若 cosBAD=0.6 ， BE=6

8、，求 OE 的长A变式训练 1解答：（1）证明：如图 1，连接 OD、OE、 ED BC与 O相切于一点 D，OD BC， ODB=90 = C，OD AC，B=30，A=60，OA=OE， AOE是等边三角形，AE=AO=0D，四边形 AODE是平行四边形，OA=OD，四边形 AODE是菱形（2）解：设 O的半径为 r OD AC， OBD ABCOD OB，即 8r=6 （ 8 r ）AC AB15解得 r= 15 ，415 O的半径为 15 如图 2，连接 OD、 DFOD AC， DAC=ADO，OA=OD， ADO=DAO， DAC=DAO， AF是 O的直径， ADF=90= C，

9、 ADC AFD，AD AFAC ADAD2=AC?AF，AC=6，AF=152=1515AD2= 6=45，2AD= 45 =3 5适应训练2解答：（1）证明：如图，连接 ODAB=AC，B=C，OD=O，C ODC= C， ODC= B，ODAB，DFAB，ODDF，点 D 在O上，直线 DF与O 相切；（2）解：四边形 ACDE是O的接四边形， AED+ACD=180 ， AED+BED=180 ，BED=ACD，B=B，BEDBCA， BD BE ，AB BC ，ODAB， AO=CO，BD=CD=BC，=3又AE=7， 3 BE ，7 BE 6BE=2，AC=AB=AE+BE=7+2

10、=93. 【解答】（ 1）证明：如图连接 OD四边形 OBEC 是平行四边形，OCBE， AOC= OBE，COD=ODB，OB=OD ， OBD= ODB， DOC= AOC，在 COD和 COA 中， COD COA， CAO= CDO=90 ，CFOD，CF 是 O 的切线（2）解： F=30， ODF=90 ， DOF= AOC= COD=60 ，OD=OB ，OBD 是等边三角形， DBO=60 ， DBO= F+FDB， FDB= EDC=30 ，ECOB， E=180 OBD=120 ， ECD=180 E EDC=30 ，EC=ED=BO=DB ，EB=4 ，OB=OD OA=

11、2 ， AOC=60 ，=2 在 RT AOC 中， OAC=90 ，OA=2 ，AC=OA?tan60 =2，S 阴=2?S AOC S扇形 OAD =2 22 课外作业 4解答：（1） BAE=90， EAC=ABC，理由是： BAE=90，AEAB，AB是直径，EF是O的切线；AB 是直径，ACB=90，ABC+BAC=90，EAC=ABC，BAE=BAC+EAC=BAC+ABC=90，即 AE AB，AB是直径，EF是O的切线；2)EF 是O的切线证明：作直径 AM，连接 CM， 则ACM=90 ， M=B， M+CAM= B+CAM=90 ， CAE=B， CAM+ CAE=90， AEAM，AM为直径， EF是O的切线5解答：（1）证明：连接 OD， BD，AB 为圆 O的直径， ADB=90，在 RtBDC中， E为斜边 BC的中点， CE=DE=BE=B，C C= CDE，OA=OD， A= ADO， ABC=90，即 C+A=90， ADO+CDE=90 ，即 ODE=90 ， DE OD，又 OD为圆的半径，DE 为 O的切线； （2）证明： E