复数与平面向量三角函数的联系

1、44研究性学习课题：研究性学习课题： 复数与平面向量、三角函数的联系复数与平面向量、三角函数的联系 第一课时第一课时 教学目标教学目标 1知识目标：理解复数的向量表示和三角知识目标：理解复数的向量表示和三角 表示，了解复数的开平方表示，了解复数的开平方 2能力目标：培养学生勇于质疑和善于能力目标：培养学生勇于质疑和善于 反思的习惯；培养学生发现、提出、解决数反思的习惯；培养学生发现、提出、解决数 学问题的能力；培养学生的创新意识和实践学问题的能力；培养学生的创新意识和实践 能力能力 3情感、价值观目标：了解数学概念和情感、价值观目标：了解数学概念和 结论的产生过程，体验数学研究的过程和创结论的

2、产生过程，体验数学研究的过程和创 造的激情，学会与他人交流合作，建立严谨造的激情，学会与他人交流合作，建立严谨 的科学态度和不怕困难的科学精神的科学态度和不怕困难的科学精神 以上三个目标是从以下三个方面确定的：以上三个目标是从以下三个方面确定的： 根据教材内容及新大纲的教学要求，确根据教材内容及新大纲的教学要求，确 定第一个教学目标定第一个教学目标 由于本节是研究性学习课题，有助于学由于本节是研究性学习课题，有助于学 生提高发现、提出、解决数学问题的能生提高发现、提出、解决数学问题的能 力，发挥自己的想象力和创新精神，故此确力，发挥自己的想象力和创新精神，故此确 定第二教学目标定第二教学目标

3、在研究性学习活动中，有助于学生初步在研究性学习活动中，有助于学生初步 了解数学概念和结论产生的过程，初步理了解数学概念和结论产生的过程，初步理 解直观和严谨的关系，初步尝试数学研究过解直观和严谨的关系，初步尝试数学研究过 程，体验创造的激情，由此确定第三个教学程，体验创造的激情，由此确定第三个教学 目标目标 重点难点分析重点难点分析 教学重点：复数的向量表示和三角表示、教学重点：复数的向量表示和三角表示、 复数的开平方运算复数的开平方运算 教学难点：复数与二维向量一一对应的实教学难点：复数与二维向量一一对应的实 质和向量质和向量 与与 的长度的长度r以及以及 与与x 轴的夹角轴的夹角组成的有序

4、实数对组成的有序实数对(r， )一一对一一对 应的实质应的实质 ozozozozozoz 第一课时第一课时 一、导入新课一、导入新课 (教师活动教师活动)复习提问，并讲述复习提问，并讲述 (学生活动学生活动)思考、回答问题思考、回答问题 问题问题1什么叫复数的代数表示形式什么叫复数的代数表示形式? 问题问题2复数集复数集c和复平面内所有的点所组成的和复平面内所有的点所组成的 集合有何对应关系集合有何对应关系? 问题问题3在直角坐标系中，平面向量以在直角坐标系中，平面向量以 如何用坐标表示如何用坐标表示?通过向量的坐标表示，你通过向量的坐标表示，你 对复数的表示有何想法对复数的表示有何想法? j

5、 jb bi ia a 讲述讲述我们学习了复数可用代数表示，我们学习了复数可用代数表示， 刚才同学们也想到了复数有可能用向量刚才同学们也想到了复数有可能用向量 表示，本节课我们研究复数的向量表表示，本节课我们研究复数的向量表 示示 设计意图：复习已学知识，为本节课设计意图：复习已学知识，为本节课 学习做知识铺垫，引导学生提出研究课学习做知识铺垫，引导学生提出研究课 题题 二、新课讲授二、新课讲授 【确定研究方案确定研究方案】 (教师活动教师活动)以向量的坐标表示为例，分析以向量的坐标表示为例，分析 数学中不同事物之间的相互表示一般应遵循数学中不同事物之间的相互表示一般应遵循 哪些原则哪些原则?

6、引导学生确定研究方案引导学生确定研究方案 (学生活动学生活动)确定研究复数向量表示的内容确定研究复数向量表示的内容 及方案及方案 字幕字幕向量的坐标表示遵循了下列原则：向量的坐标表示遵循了下列原则： (1)向量向量 与有序实数对与有序实数对(x，y) 存在一一对应关系；存在一一对应关系； (2)平面向量坐标运算的合理性平面向量坐标运算的合理性 提问提问我们研究复数的向量表示，要从哪我们研究复数的向量表示，要从哪 几个方面去思考、分析几个方面去思考、分析? (学生回答学生回答) 设计意图：引导学生确定研究复数向量表设计意图：引导学生确定研究复数向量表 示的方案示的方案 j jy yi ix xa

7、 a 【小组研究学习小组研究学习】 (教师活动教师活动)将全班划分为将全班划分为10个小组，在各个小组，在各 小组内进行引导学生自主探究，巡视小组内进行引导学生自主探究，巡视 学生探索过程，了解学生的进展情况学生探索过程，了解学生的进展情况 (学生活动学生活动)学生自主探究，合作学习，交学生自主探究，合作学习，交 流研究方法和研究成果，各组组内展开讨流研究方法和研究成果，各组组内展开讨 论，提出方法并自主探索复数向量表示的运论，提出方法并自主探索复数向量表示的运 算方法算方法(详细过程略详细过程略) 【班级讨论研究班级讨论研究】 (教师活动教师活动)要求各小组简述解决方案以要求各小组简述解决方

8、案以 及解决的思维过程并展示研究结果，总结及解决的思维过程并展示研究结果，总结 学生研究结果学生研究结果 (学生活动学生活动)小组代表简述解决方案以及小组代表简述解决方案以及 解决的思维过程投影研究结果。解决的思维过程投影研究结果。 【学生简述、展示研究结果学生简述、展示研究结果】(略略) 字幕字幕设复平面内的点设复平面内的点z(a，b)表示复数表示复数 z=a+bi，连结，连结oz则：则： 向量向量 由点由点z唯一确定，点唯一确定，点z由向量由向量 唯一确定唯一确定 就是复数就是复数z=a+bi的向的向 量表示复数量表示复数0用用 表示表示 oz ozoz o 用向量用向量 分别表示复数分别

9、表示复数z1=a+bi,z2=c+di 用向量用向量 表示表示 z=z1+z2 用向量表示用向量表示z=z1z2 按向量加法的平行四边形按向量加法的平行四边形 法则进行法则进行 按向量减法的三角形法则按向量减法的三角形法则 进行进行(注意差向量方向注意差向量方向) 21 ozoz , oz 2 21 1 ozozozozozoz 2 21 1 ozozozozozoz 用向量用向量 的长度的长度(模模)r来表示复数来表示复数 z=a+bi的的“绝对值绝对值”的大小，称为复数的大小，称为复数z= a+bi的模，记作的模，记作l z l或或ia+bi i或或r则则 用向量用向量 与与x轴的夹角轴的

10、夹角(以轴的非负半以轴的非负半 轴轴ox为始边为始边)表示复数表示复数z=a+bi的方向，的方向， 则则 ，其中，其中的取值的取值 范围是范围是 oz 22 barlozlbillazl l oz a b tan, r b sin, r a cos ).,( 【例题示范，学会应用例题示范，学会应用】 (教师活动教师活动)打出字幕打出字幕(例题例题)，分析解题思，分析解题思 路，完成解答，并点评路，完成解答，并点评 (学生活动学生活动)思考，与教师一道分析，尝思考，与教师一道分析，尝 试完成例题解答试完成例题解答 字幕字幕例例1求复数求复数z1=3+4i及及 的模，并且比较它们的模的大小的模，并

11、且比较它们的模的大小 i 2 2 1 z 2 解：解： 因为因为53/2，所以，所以l zllz2l 字幕字幕例例2 向量向量 表示的复数为表示的复数为3+2i， 将向量将向量 向上平移向上平移3个单位长度再向左平移个单位长度再向左平移 2个单位长度，得到向量个单位长度，得到向量 ，分别写出：，分别写出： (1)向量向量 对应的复数；对应的复数；(2)点点o对应的复对应的复 数；数；(3)向量向量 对应的复数对应的复数 . 2 3 )2() 2 1 (-llz 5,43llz 22 2 22 1 oa oa oa ao ao 分析分析根据复数向量表示的意义及平移知根据复数向量表示的意义及平移知

12、 识，一个复数对应的向量在复平面内平移，识，一个复数对应的向量在复平面内平移， 只要不改变方向和模的长，它们表示同一只要不改变方向和模的长，它们表示同一 个复数；而模长不变、方向与原来相反，个复数；而模长不变、方向与原来相反， 则对应的复数是原向量对应的复数的相反则对应的复数是原向量对应的复数的相反 数数 解如图所示，解如图所示，o为原点，为原点， 点点a的坐标为的坐标为(3，2)，向，向 上平移上平移3个单位长度再向个单位长度再向 左平移左平移2个单位后，点个单位后，点o 的坐标为的坐标为(一一2，3)点点a 的坐标为的坐标为(1，5)，坐标平，坐标平 移不改变移不改变 的方向和模的方向和模

13、 (1)向量向量 对应的复数为对应的复数为3十十2i； (2)点点o对应的复数为对应的复数为-2+3i； (3)向量向量 对应的复数为对应的复数为-3-2i 点评点评根据复平面内向量平移的不变性，根据复平面内向量平移的不变性， 我们可以把起点不在原点的向量移到原我们可以把起点不在原点的向量移到原 点，使许多问题的求解变得简单点，使许多问题的求解变得简单 oa ao oa 字幕字幕例例3设设z=a+bi(a，br)满足满足i i z l-4 l+l z i-4=0，且，且a1，b-1，画出复数，画出复数2所对应的所对应的 点的集合的图形点的集合的图形 分析分析在复平面内要确立一个复数对应的在复平

14、面内要确立一个复数对应的 点的集合，必须找到其实部与虚部的关系，点的集合，必须找到其实部与虚部的关系， 即转化为实数方程本例是一个非常规的方即转化为实数方程本例是一个非常规的方 程，如果用模的计算进行转化，将要解一个程，如果用模的计算进行转化，将要解一个 含绝对值的无理方程，运算量大且是二元方含绝对值的无理方程，运算量大且是二元方 程，不易得到结论仔细观察已知条件并注程，不易得到结论仔细观察已知条件并注 意到复数的模是一个非负数这一性质，我们意到复数的模是一个非负数这一性质，我们 可以用整体观点处理求解可以用整体观点处理求解 解因为解因为l l z l-4 l+l z i-4=0，所，所 以以

15、i i z i-4 i=-(l z i-4)又由又由l z-4 lr， 且根据实数绝对值的性质，知且根据实数绝对值的性质，知l zl40 所以所以i z i4，以，以a2+b216，又由，又由a 1，b-1知知z(a，b)构成的集合的图形构成的集合的图形 如图中阴影部分所示如图中阴影部分所示(包括边界包括边界) 点评点评在复数问题中，整体观点是常用的解在复数问题中，整体观点是常用的解 题技巧，要注意学会这种解题技巧题技巧，要注意学会这种解题技巧 设计意图：通过例题的学习，让学生学设计意图：通过例题的学习，让学生学 会复数的向量表示，掌握复数问题的一些基会复数的向量表示，掌握复数问题的一些基 本

16、解题技巧。培养学生转化、数形结合的数本解题技巧。培养学生转化、数形结合的数 学思想及良好的思维品质学思想及良好的思维品质 【课堂练习课堂练习】 (教师活动教师活动)打出字幕打出字幕(练习题练习题)，要求学生，要求学生 完成，并请两位同学板演巡视学生解题情完成，并请两位同学板演巡视学生解题情 况，对正确的给予肯定，对偏差点拔、指正。况，对正确的给予肯定，对偏差点拔、指正。 (学生活动学生活动)完成练习解答，板演完成练习解答，板演 字幕字幕练习题：练习题： 设设zc，满足下列条件的复数，满足下列条件的复数z对应的点对应的点z 的集合是什么图形的集合是什么图形?画出其图画出其图 (1)z=cos+i

17、sin (0 2)； (2)l z l2-4 i z l +30 设计意图：加深复数向量表示的理解，沟设计意图：加深复数向量表示的理解，沟 通复数与解析几何之间的联系反馈教学通复数与解析几何之间的联系反馈教学 信息，调节课堂教学信息，调节课堂教学 【分析归纳，小结解法分析归纳，小结解法】 (教师活动教师活动)教师根据反馈的信息，点评练教师根据反馈的信息，点评练 习题解题思路，小结解题方法习题解题思路，小结解题方法 (学生活动学生活动)学生听教师讲评，领悟解题思想学生听教师讲评，领悟解题思想 方法，并记录笔记方法，并记录笔记 练习题答案练习题答案 (1)解法解法1 因为因为 所以点所以点z的集合

18、是以原点为圆心，以的集合是以原点为圆心，以1 为半经的圆为半经的圆 sincos l z l 22 解法解法2 设设z=x+yi(z，yr)，则，则 x+yi=cos+isin 根据两个复数相等的根据两个复数相等的 充要条件，得充要条件，得 (0 2)消去参消去参 数得：数得：x2+y2=1所以点所以点z的集合是以原点的集合是以原点 为圆心，以为圆心，以1为半径的圆为半径的圆 (2) l z l2-4 i z l+30，(l z i-3)(i z i-1)0， ll z l3所以点所以点z的集合是以的集合是以 原点为圆心，原点为圆心，1为内半径，为内半径，3为外半径的圆为外半径的圆 环，包括圆

19、环的边界，图环，包括圆环的边界，图(略略) siny cosx 字幕字幕小结小结 1在复平面内求的点集合表示的图形，在复平面内求的点集合表示的图形， 一般有两个途径：一般有两个途径： (1)设设z=z+yi(z，yr)，根据已知条，根据已知条 件求出件求出z，y满足的方程，注意运算过程满足的方程，注意运算过程 中化简的等价性；中化简的等价性； (2)充分考虑复数的整体性，直接探求充分考虑复数的整体性，直接探求 动点所对应的复数动点所对应的复数z具有的特征和满足的具有的特征和满足的 方程方程 三、小结三、小结 (教师活动教师活动)教师总结本节课所学的知识要点教师总结本节课所学的知识要点 (学生活动学生活动)学生回忆，与教师一道归纳，并学生回忆，与教师一道归纳，并 记录笔记记录笔记 字蒂字蒂1本节课学习了把复数