等边三角形1讲解

1、等边三角形一、知识梳理 / 提炼1. 等边三角形的定义： 有一个角是 60 的等腰三角形是等边三角形 .2. 等边三角形的性质：（ 1）等边三角形的内角都相等，且均为60。（ 2）等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一 ）（ 3）等边三角形是 轴对称图形 ，它有三条对称轴， 对称轴 是每条边上的中线、高线或对角的平分 线所在的直线。（ 4 ）等边三角形 重心 、 内心 、 外心 、 垂心 重合于一点，称为等边三角形的中心。 （四心合一）3. 等边三角形的判定（1）三边相等的三角形是等边三角形（定义）（2）三个内角都相等的三角形是等边三角形（ 3）有一个角是 60 度的

2、等腰三角形是等边三角形二、课堂精讲例题例题 1题目： 有两个角等于 60；有一个角等于 60的等腰三角形； ? 三个外角（每个顶点处各取 一个外角）都相等的三角形； ? 一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形其中是等边三 角形的有（ ）A B C D - 解题思路： 等边三角形是特殊的等腰三角形，故它具备了等腰三角形的一切性质。但又因 为等边三角形是特殊的等腰三角形，故等边三角形所拥有的一些性质是等腰三角形所不具有的。 解法与答案： D题目： 若一个三角形有两条边相等，且有一内角为A 等边三角形 B 等腰三角形 C 直角三角形- 解析： 这道题考查了等边三角形的判定。60o ，那么这个三角形

3、一定为（ ）D 钝角三角形答案： A例题 2题目：如图， D、 E、 F分别是等边 ABC各边上的点，且 AD=BE=CF，则 DEF?的形状是（ ）A 等边三角形 B 腰和底边不相等的等腰三角形 C 直角三角形 D 不等边三角形课程开发模板文理科选题意图（对应知识点） ： 等边三角形的性质和判定、全等三角形的判定。解题思路：根据题意证得以 ADF BED CFE 即可求证解法与答案：解：ABC 为等边三角形，且 AD=BE=CFAF=BD=CE又A= B= C=60ADF BED CFEDF=ED=EFDEF 是一个等边三角形故选 A 题目： 如图所示，在等边 ABC中， AD=BE=CF,

4、D,E,F不是中点，连结 AE,BF,CD.构成一些全等三角 形，如果将三个全等三角形组成一组，那么图中全等三角形的组数是（ ）A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个解析： 这题是例 2 的变形，考查的知识点仍然是等边三角形的性质和判定、全等三角形的 判定。 答案： C例题 3题目：如图，BD 为等边ABC 的边 AC 上的中线， E 为 BC 延长线上一点， 且 DB=DE ，若 AB=6cm则 CE= cm 课程开发模板文理科选题意图（对应知识点） ： 等边三角形的性质；直角三角形的性质解题思路：求 CE 的长，题中给出 DB=DE ，由角相等可求出 CD=CE ，所以 CE 为边

5、长 AC-的一半解法与答案： BD 为等边ABC 的边 AC 上的中线，BD AC，DB=DE ， DBC= E=30 ACB= E+ CDE=60 CDE=30 CDE= E，即 CE=CD= 1/2AC=3cm 故填 3 点评：本题考查了等边三角形的性质；要熟练掌握等边三角形的性质，得到 CDE=30 是 正确解答本题的关键题目：如图：已知等边 ABC中，D是AC的中点， E是 BC延长线上的一点，且 CE=CD，DMBC，垂足为 M，求证： M是 BE 的中点解析： 要证 M 是 BE 的中点，根据题意可知，证明 BDE为等腰三角形，利用等腰三角形 的高和中线向重合即可得证答案： 解：在

6、等边 ABC ，且 D 是 AC 的中点，- 连接 BD，且 CE=CD ， DM BC；所以DBC= E=30 ，- 则 BD=ED ，又 DM BC，M 是 BE 的中点例题 4题目：在等边ABC 中，D是AC 的中点， E是BC 延长线上一点，且 CE=CD ，（ 1）请说明 DB=DE 的理由（ 2）若等边ABC 的边长为 6cm ，求BDE 的面积课程开发模板文理科选题意图（对应知识点） ：等边三角形的性质；三角形的面积；三角形的外角性质；直角三 角形的性质解题思路：（ 1）根据等边三角形三线合一的性质可得BD 是ABC 的角平分线，即可得 CBD=30 根据三角形外角性质即可得 D

7、CE=120 ，根据 CD=CE ，可得CDE= CED=30 ，即可得 CED= CBD=30 ，即DB=DE 1（2）过 A 作 AG BC，过 D 作 DFBC，则 DF= 2 AG ，根据直角三角形的性质可以求 得 BE 的长，根据 BE、 DF 的长即可计算 BDE 的面积解法与答案：解：（1）D 是等边 ABC 的边 AC 的中点，BD 是ABC 的角平分线， CBD=30 ，DCE=120 ，且CD=CE ，CDE= CED=30 ， CBD= CED ，DB=DE 2）过 A 作 AG BC，过 D 作 DFBCD 为 AC 中点，CE=CD=3cm ，BE=3cm+6cm=6

8、cmAG=AB= 3 3 cm ，DFBC，AG BC，SBDE = 12BE?DF=课程开发模板文理科点评：本题考查了等边三角形边长与高线长的关系，考查了三角形面积的计算，考查了等 边三角形三线合一的性质，本题中正确计算 DF 的值是解题的关键题目： 如图，等边 ABC的边长为 8，点 P是边 AB的中点， F为 BC延长线上一点， CF= 1/2BC，过 P 作 PE AC于 E，连 PF交 AC边于 D，求 DE的长知识点，灵活运用等边三角形的性质和判定进行证明是解此题的关键，题型较好，有一点难度答案： 解：过 P 点作 PGBC，交 AC 于 G 点等边ABC 的边长为 8 ，点P是边

9、 AB 的中点， CF= 1/2BC ，AP=CF ，PGCF， APG 是等边三角形PE AC ， EG= 1/2AG ， APG 是等边三角形， AP=CF ，PG=CF PGCF， PFD=DCQ ，FPD= Q ，PG=CF ，PDG FDC ， DG=CD ， DG= 1/2CQ ，ED=5 DE=EG+DG= 1/2AG+ 1/2CQ= 1/2AC 答： DE 的长是 5 例题 5课程开发模板文理科题目： 如图，已知 C 是线段 AB上的任意一点（端点除外） ，分别以 AC、BC为边并且在 AB的同一侧 作等边 ACD和等边 BCE，连接 AE交 CD于 M，连接 BD交 CE于

10、N给出以下三个结论： AE=BD CN=CMMN AB其中正确结论的个数是（ ）选题意图（对应知识点） ： 平行线分线段成比例；全等三 角形的判定与性质；等边三角形的性质解题思路：由ACD 和BCE 是等边三角形，根据 SAS 易证得ACE DCB ，即可得正确； 由ACEDCB ，可得EAC= NDC ，又由ACD= MCN=60 利用 ASA ，可证得ACM DCN ，即可得正确；又可证得 CMN 是等边三角形，即可 证得正确解法与答案：ACD 和BCE 是等边三角形，ACD= BCE=60 ，AC=BC ， EC=BC ，ACD+ DCE= DCE+ ECB即ACE= DCB，ACEDC

11、B （ SAS）， AE=BD ，故正确；EAC= NDC ，ACD= BCE=60 ， DCE=60 ， ACD= MCN=60AC=DC ，ACM DCN （ASA ），CM=CN ，故正确；CMN 是等边三角形，NMC= ACD=60 ， MN AB ，故正确故选 D 方法归纳：这个基本图形的特点是两个等边三角形有一个公共点，绕着公共顶点，图形可以进行旋转变换。但无论图形怎样旋转， ACE DCB 的结论都是成立的但其他的不一定 会相等。课程开发模板文理科题目： 如图所示 , 已知线段 BD上一点 C, 分别以 BC和 CD为边作等边 ABC和等边 CDE,连结 AD和 BE，在 AD和

12、 BE上截取 AG=BF.连结 CF，FC， CG。证明 CFG是正三角形解析： 本题主要考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，灵 活运用等边三角形的性质和判定进行证明是解此题的关键，题型很典型，是在基本图形上 变化出来的图形，我们可以通过基本图形的结论来得出新的结论答案：ABC 和CDE 是等边三角形，ACB= DCE=60 ，AC=BC ， CD=CE ，ACB+ ACE= DCE+ ACE ，即BCE= ACD ，BCEACD ，DAC= EBC ，又AC=BC ， AG=BFBFCAGC ，CG=FC, FCB= GCA ，FCB+ ACF= GCA+ ACF,

13、即ACB= GCF=60 CFG 是等边三角形，题目： 如图，点 O是等边 ABC内一点， AOB=100， BOC=将 BOC绕点 C按顺时针方向旋 转 60得 ADC，连接 OD当 =时， AOD是等腰三角形- 选题意图（对应知识点） ： 三角形的性质；等边三角形的性质；等腰三角形的判定解题思路：要使AOD 为等腰三角形，应有 OA=OD ，或 OD=DA 或 OA=AD ，只要相关角相等由已知条件利用等边三角形的性质即可结论 解法与答案：BOC 绕点 C 按逆时针方向旋转 60 得ADC ，假设 OD=OA ，则+100 +60 + AOD=360，AOD=180 -2(-60 )，解得

14、 =100当 OD=AD 时，+100 +60 + AOD=360，AOD= 180 -( -60 )2 ，解得 =160当 OA=AD 时，+100 +60 + AOD=360题目： 如图，设 E 是正 ABC内的一点，EB=3，EC=4，AOD= -60 ，解得，=130COD 为一等边三角形， COD=60解析： 本题三个 ABE、AEC、BEC 都可以旋转，通过旋转可以构造等边三角形，在利 用等边三角形的性质解决问题。答案： 150例题 7：课程开发模板文理科题目： 如图所示，等边 ABC 的边长为 2，BDC 是顶角 BDC=120 的等腰三角形，以 D 为顶点作 一个 60 的角，

15、角的两边分别交 AB 于 M，交 AC 于 N，连接 MN ，形成一个 AMN ，则AMN 的周长为难度分级： B 类试题来源： 课时训练选题意图（对应知识点） ： 等边三角形的性质 ;全等三角形；截长补短法；数形结合思想解题思路：这道题目设计到了线段的和， AMN 的周长 =AM+AN+MN, 故我们也可以考虑截长补短 法。由于 BDM+ CDN=60 ，MDN=60 ，BD=CD ，在NDN 内是可以作出 DE=BD=CD ，且ECN= CDN ，且EDM= BDM 的，解题的关键是证明点 E 在线段 MN 上，根据 DEN= DCN=90 ，DEM= DBM=90 ，DEM+ DEN=1

16、80 ，从而 证明点 E 在线段 MN 上，于是再利用 EN=NC ，EM=MB 证得AMN 的周长 =AB+AC=4 解法与答案：截长补短法解：MDN=60 ，BDC=120BDM+ CDN=60 ，BD=CD ，DCB= DBC= ( 180 -120 )/2=30课程开发模板文理科- ABC= ACB=60 ，ABD= ACD=90 ，- 又BD=CD ， DM=DN ，- RtMBD NCD ( HL)，- BDM= CDN= BDC- MDN2= (120 -60 )/2=30- 过D作DEMN ，又三角形 MDN 为等边三角形，- DE 为MDN 的平分线，即 MDN=30 ，MD

17、B= EDM=30 ，MBD= DEM=90 ，且MD=MD DEM DBM ，ME=BM ， 同理EDN CDN ，EN=CN ， AMN 的周长 =AN+AM+MN=AM+MB+AN+NC=AB+AC=2+2=4 故填 4 题目：（ 1）用旋转变换处理例题 7（ 2）在等边 ABC 的两边 AB，AC所在直线上分别有两点 M，N，D为 ABC外一点， 且 MDN 60 ，AC上移动时， BM，NC， MN之间的数量BDC 120 ， BD CD ，探究：当点 M，N 分别爱直线 AB， 关系及 AMN的周长与等边 ABC 的周长 L的关系图如图， 当点 M，N在边 AB，AC上，且 DM=

18、DN时，BM，NC，MN之间的数量关系式 此时 Q =L如图， 当点 M，N在边 AB，AC上，且 DM DN 时，猜想 （1） 问的两个结论还成立吗？ 写出你的猜想并加以证明；10课程开发模板文理科如图，当点 M，N分别在边 AB，CA的延长线上时，若 AN=x，则 Q=（ 用 x，L 表示 ）解析：（1）由 DM=D，N MDN=60 ，可证得 MDN是等边三角形， 又由 ABC是等边三角形，CD=BD，易证得 RtBDMRt CDN，然后由直角三角形的性质，即可求得BM、NC、MN之间的数量关系 BM+NC=M，N 此时 Q/L=2/3 ；2）在 CN的延长线上截取 CM1=B，M连接

19、DM1可证 DBM DCM1，即可得 DM=DM，1易证得 CDN=MDN=60 ，则可证得 MDN M1DN，然后由全等三角形的性质，即可得结论 仍然成立；例题 8（3）首先在 CN上截取 CM1=BM，连接 DM1，可证 DBM DCM，1 即 可得 DM=DM，1然后证得 CDN=MDN=60，易证得 MDN M1DN， 则可得 NC-BM=MN题目： 如图，已知 ABC中， AB=AC， D是 ABC外一点且 ABD=60， ADB=90- 1/2 BDC 求证： AC=BD+CD.选题意图（对应知识点） ： 轴对称的性质；等边三角形的判定与性质解题思路： 以 AD为轴作 ABD的对称

20、 AB D，后证明 C、D、 B在一条直线上， 及 ACB是等边三角形， 继而得出答案 解法与答案：证明：以 AD为轴作 ABD的对称 AB D（如图），则有 B D=BD，AB=AB=AC， B=ABD=60， ADB=ADB=90- 12 BDC， 所以 ADB+ADB+BDC=180- BDC+ BDC=180， 所以 C、 D、B在一条直线上， 所以 ACB是等边三角形，所以 CA=CB=CD+DB =CD+BD题目：如图，已知 ABC为等边三角形， 延长 BC到 D，延长 BA到 E，并且使 AE=BD，连接 CE，DE求 证： EC=ED11课程开发模板文理科解析： 首先延长 BD

21、至 F，使 DF=BC，得出 BEF为等边三角形，进而求出 EBC EDF，从而得出 EC=DE答案： 证明：延长 BD至 F，使 DF=BC，AE=BD， ABC为等边三角形，BE=BF， B=60， BEF为等边三角形， F=60度，BE=EF， B= F=60， BC=DF， EBC EDF，EC=ED例题 9题目： 已知， ABC是边长 3cm的等边三角形动点 P 以1cm/s 的速度从点 A出发，沿线段 AB向点 B 运动1）如图 1，设点 P 的运动时间为 t （ s ），那么 t=（ s）时， PBC是直角三角形；2）如图 2，若另一动点 Q从点 B出发，沿线段 BC向点 C运动

22、，如果动点 P、 Q都以 1cm/s 的12课程开发模板文理科速度同时出发设运动时间为 t （s），那么 t 为何值时， PBQ是直角三角形？（3）如图 3，若另一动点 Q从点 C出发，沿射线 BC方向运动 连接 PQ交 AC于 D如果动点 P、 Q都以 1cm/s 的速度同时出发设运动时间为t （s ），那么 t 为何值时， DCQ是等腰三角形 ?（ 4）如图 4，若另一动点 Q从点 C出发，沿射线 BC方向运动连接 PQ交 AC于 D，连接 PC如 果动点 P、Q都以 1cm/s 的速度同时出发请你猜想：在点P、Q的运动过程中， PCD和 QCD的面积有什么关系？并说明理由难度分级： C

23、类试题来源：课时训练选题意图（对应知识点） ： 勾股定理的应用；三角形的面积；等腰三角形的判定解题思路：（ 1）当 PBC是直角三角形时， B=60，所以 BP=1.5cm，即可算出 t 的值；（ 2）因为 B=60，可选取 BPQ=90或 BQP=90，然后根据勾股定理计算出 BP长， 即可算出 t 的大小；（ 3）因为 DCQ=120，当 DCQ是等腰三角形时， CD=CQ，然后可证明 APD是直角三角 形，即可根据题意求出 t 的值；（ 4）面积相等可通过同底等高验证解法与答案：解：（ 1）当 PBC是直角三角形时， B=60， BPC=90，所以 BP=1.5cm，所以 t= 3/2（

24、 2）当 BPQ=90时， BP=0.5BQ，3-t=0.5t ，所以 t=2 ；当 BQP=90时， BP=2BQ，3-t=2t ，所以 t=1 ；所以 t=1 或 2（ s）（ 3）因为 DCQ=120，当 DCQ是等腰三角形时， CD=CQ，所以 PDA= CDQ= CQD=30，又因为 A=60，13课程开发模板文理科所以 AD=2AP， 2t+t=3 ，解得 t=1 （ s）；（ 4）相等，如图所示：作 PE垂直 AD， QF垂直 AD延长线，因为 AP=QF，F=AEP， QCF=A，所以 EAP FCQ，所以 PE=QF，所以， PCD和 QCD同底等高，所以面积相等搭配课堂训练

25、题（和例题相一致，起到巩固的作用，数量可根据课程容量设计）题目： 如图，在等边 ABC中， AB=9cm，点 P从点 C出发沿 CB边向点 B 点以 2cm/s 的速度移动，点 Q点从 B 点出发沿 BA边向 A点以 5cm/s 速度移动 P、Q两点同时出发，它们移动的时间为t 秒钟 .（ 1）你能用 t 表示 BP和 BQ的长度吗？请你表示出来（ 2）请问几秒钟后， PBQ为等边三角形？（3）若 P、Q两点分别从 C、B 两点同时出发，并且都按逆时针方向沿ABC三边运动，请问经过几秒钟后点 P 与点 Q第一次在 ABC的哪条边上相遇？解析：（ 1）由三角形 ABC为等边三角形，根据等边三角形

26、的三边相等得到AB=BC=9cm，由 P 的速度和时间 t 表示出 P 走过的路程 CP的长，然后用边长 BC减去 CP即可表示出 BP；由 Q的14课程开发模板文理科速度及时间 t ，即可表示出 Q走过的路程 BQ；（2）若 PBQ为等边三角形，根据等边三角形的边长相等则有PB=BQ，由（ 1）表示出的代数式代入即可列出关于 t 的方程，求出方程的解即可得到满足题意的 t 的值； （3）同时出发，要相遇其实是一个追击问题，由于Q的速度大于 P 的速度，即 Q要追击上P，题意可知两点相距 AB+AC即两个边长长，第一次相遇即为Q比 P 多走两个三角形边长，设出第一次相遇所需的时间，根据Q运动的

27、路程 -P 运动的路程 =18 列出关于 t 的方程，求出方程的解即可求出满足题意的 t 的值，然后由求出 t 的值计算出 P 运动的路程，确定出 路程的范围，进而判断出 P 的位置即为第一次相遇的位置- 答案：- 解：（ 1）等边 ABC， BC=AB=9cm，点 P的速度为 2cm/s ，时间为 ts ，CP=2t，则 PB=BC-CP=（9-2t ） cm；点 Q的速度为 5cm/s ，时间为 ts ，BQ=5t；（ 2）若 PBQ为等边三角形，则有 BQ=BP，即 9-2t=5t ，解得 t= 9/7 ，所以当 t= 9/7s 时， PBQ为等边三角形；（3）设 ts 时， Q与 P

28、第一次相遇， 根据题意得： 5t-2t=18 ，解得 t=6 ，则 6s 时，两点第一次相遇当 t=6s 时， P 走过得路程为 26=12cm， 而 912 18，即此时 P在 AB边上， 则两点在 AB上第一次相遇例题 1015课程开发模板文理科题目： 附加题，学完“几何的回顾”一章后，老师布置了一道思考题： 如图，点 M，N分别在正三角形 ABC的 BC， CA边上，且 BM=C，N AM， BN交于点 Q求证： BQM=60 度（1）请你完成这道思考题；（ 2）做完（ 1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如： 若将题中“ BM=CN”与“ BQM=60 ”的位置交换

29、，得到的是否仍是真命题？ 若将题中的点 M， N 分别移动到 BC，CA的延长线上，是否仍能得到 BQM=60 ？ 若将题中的条件“点 M，N分别在正三角形 ABC的 BC，CA边上”改为“点 M，N分别在正方形 ABCD 的 BC， CD边上”，是否仍能得到 BQM=60？ 请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否” ： ； ； 并对，的判断，选择一个给出证明难度分级： C 类 试题来源：中考试题汇编 选题意图（对应知识点） ： 等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质 解题思路：（ 1）在 ABM和 BCN中，根据 BM=NCABM=BCNAB=BC判定 ABM BCN，所以 BAM=

30、CBN，则 BQM= BAQ+ ABQ=MBQ+ ABQ=60度（2）同样还是根据条件判定 ACM BAN，得到 AMC=BNA，所以 NQA=NBC+ BMQ= NBC+BNA=180-60 =120， 即 BQM=60 ；同上，证明 Rt ABMRt BCN，16课程开发模板文理科得到 AMB= BNC，所以， QBM+QMB=90 ， BQM=90 ， 即 BQM 60解法与答案：证明：（1）在 ABM和 BCN中，BM NCABM BCNAB BC ABM BCN， BAM= CBN， BQM= BAQ+ ABQ=MBQ+ ABQ=60（2）是；是；否的证明：如图，在 ACM和 BAN

31、中，CM ANACM BANAC AB ACM BAN， AMC= BNA， NQA= NBC+ BMQ= NBC+ BNA=180-60 =120， BQM=60 的证明：如图，在 Rt ABM和 RtBCN中，BM CNAB BCRtABMRtBCN， AMB= BNC又 NBM+ BNC=90，17课程开发模板文理科 QBM+ QMB=90 ， BQM=90 ，即 BQM 60搭配课堂训练题（和例题相一致，起到巩固的作用，数量可根据课程容量设计） 题目：例题 10 第（ 3）问四、巩固练习基础训练题（ A 类），EF AB， AE=1，则 EFC的周2 长=1、如图，等边 ABC的三条角

32、平分线相交于点O，OD AB交 BC于 D，OEAC交 BC于点 E，那么这个图形中的等腰三角形共有（ ）A、5个B 、6 个C、7 个D 、 8个3 、如图， ABC是等边三角形，点 D、E分别在 AB、AC边上，且 AD=CE，BE与 CD交于点 F，则 EFC 的度数等于 。4、如图所示， ABC是等边三角形，点 D是 AC的中点， DEAB，AE BC，DE与 AE交于点 E，点 G 是 AE的中点， GFDE，EFAC，EF 交 GF于点 F，若 AB=4cm，则图形 ABCDEFG的外围的周长是多少？5、已知：如图， E是四边形 ABCD的边 AD上一点，且 ABC和 CDE都是等

33、边三角形求证： BE=AD18课程开发模板文理科提高训练（ B 类）6、如图，已知 O 是等边三角形 ABC内一点， AOB、BOC、 AOC的度数之比为 6： 5：4，在以OA、 OB、OC为边的三角形中，此三边所对的角的度数是8、如图，已知边长为 3的等边三角形 ABC纸片，点 E在 AC边上，点 F在 AB边上，沿着 EF折叠，19、P是等边 ABC内部一点， APB、 BPC、 CPA的大小之比是 5：6： 为边的三角形的三个角的大小之比是课程开发模板文理科10、如图，已知 ABC是等边三角形， E是 AC延长线上一点， 选择一点 D，使得 CDE是等边三角形， 如果 M是线段 AD的

34、中点， N 是线段 BE的中点，求证： CMN是等边三角形11、如图 1，等边 ABC中，点 D、E、F 分别为 AB、 BC、 CA上的点，且 AD=BE=CF（1） DEF是三角形；（2）如图 2，M为线段 BC上一点，连接 FM，在 FM的右侧作等边 FMN，连接 DM、EN求证： DM=EN; （ 3）如图 3，将上题中“ M为线段 BC上一点”改为“点 M为 CB延长线上一点” ，其余条件不变，求 证： DM=EN20课程开发模板文理科综合迁移（ C 类）12、如图， ABC是边长为 10cm的等边三角形，动点 P 和动点 Q分别从点 B和点 C同时出发，沿着 ABC逆时针运动，已知

35、动点 P 的速度为 1（ cm/s ），动点 Q的速度为 2（ cm/s ）设动点 P、动点 Q 的运动时间为 t （ s）（ 1）当 t 为何值时，两个动点第一次相遇（ 2）从出发到第一次相遇这一过程中，当t 为何值时，点 P、Q、C 为顶点的三角形的面积为 8 3cm2 （友情提示：直角三角形中 30 度角所对的直角边等于斜边的一半）21课程开发模板文理科13、已知点 C为线段 AB上一点，分别以 AC、BC为边在线段 AB同侧作 ACD和 BCE，且 CA=CD，CB=CE， ACD=BCE，直线 AE与 BD交于点 F，（ 1）如图 1，若 ACD=60，则 AFB=；如图 2，若 A

36、CD=90，则 AFB= ；如图 3，若 ACD=120，则 AFB=；（ 2）如图 4，若 ACD=，则 AFB= （用含的式子表示） ；（3）将图 4中的 ACD绕点 C顺时针旋转任意角度（交点 F至少在 BD、AE中的一条线段上） ，变成 如图 5 所示的情形，若 ACD=，则 AFB与的有何数量关系？并给予证明。22课程开发模板文理科答案：基础训练题（ A 类）1、答案：选 C2、答案： EFC的周长 =3+3+3=93、答案： 60 4、答案：图形 ABCDEFG的外围的周长为： AB+BC+CD+DE+EF+FG+GA=4+4+2+2+1+1+1（=1c5m）5、证明： ABC和

37、CDE都是等边三角形， BC=AC， CE=CD， ACB= ECD=60 ACB+ACE=ECD+ACE即得 BCE= ACDBC ACBCE ACD在 BCE和 ACD中， CE CD BCE ACD（ SAS）， BE=AD提高训练（ B 类）6、答案： 36 或 60或 847、答案：8、答案：2：3：412 6 39、在 AB上取点 E，使 BE=BD，在 AC 上取点 F，使 CF=CD得 BDE与 CDF均为等边三角形， 只需证 ADF AED23课程开发模板文理科10、证明： ABC是等边三角形， CDE是等边三角形， M是线段 AD的中点， N 是线段 BE的中点， 又 ACD= BCE， 在 ACD和 BCE中，BC ACBCD ACDCE CD ， ACD BCE， AD=BE， AM=BN； 又 AMC BNC， CM=C，N ACM= BCN； 又 NCM= BCN- BCM， ACB=ACM-BCM， NCM= ACB=60， CMN是等边三角形11、证明：（1） A