现代控制理论直流电机模型综述

1、1. 直流电机32. 状态空间表达式63. 对角标准型及相关分析74. 系统状态空间表达式求解85. 系统能控性和能观性86. 系统输入输出传递函数97. 两种方法判断开环稳定性98. 闭环极点配置109. 全维状态观测器设计1310. 带状态观测器的状态反馈控制系统的相关跟踪图 17 10.带状态观测器的闭环状态反馈系统相关分析2111. 结束语22现代控制理论基础结课作业选题：直流电机模型 姓名：班级：测控 1003 学号： 201002030313第 I 条 1 直流电动机的介绍节 1.01 1.1 研究的意义 直流电机是现今工业上应用最广的电机之一，直流电机具有良好的调速特 性、较大的

2、启动转矩、 功率大及响应快等优点。 在伺服系统中应用的直流电机称 为直流伺服电机，小功率的直流伺服电机往往应用在磁盘驱动器的驱动及打印机 等计算机相关的设备中，大功率的伺服电机则往往应用在工业机器人系统和 CNC 铣床等大型工具上。 1节 1.02 1.2 直流电动机的基本结构 直流电动机具有良好的启动、 制动和调速特性， 可以方便地在宽范围内实现 无级调速，故多采用在对电动机的调速性能要求较高的生产设备中。直流伺服电机的电枢控制：直流伺服电机一般包含 3 个组成部分： 磁极：电机的定子部分，由磁极 NS 级组成，可以是永久磁铁（此类称为永磁式直流 伺服电机），也可以是绕在磁极上的激励线圈构成

3、。 电枢： 电机的转子部分，为表面上绕有线圈的圆形铁芯，线圈与换向片焊接在一起。 电刷： 电机定子的一部分，当电枢转动时，电刷交替地与换向片接触在一起。 直流电动机的启动电动机从静止状态过渡到稳速的过程叫启动过程。 电机的启动性能有以下几点要 求：1）启动时电磁转矩要大，以利于克服启动时的阻转矩。2）启动时电枢电流要尽可能的小。3）电动机有较小的转动惯量和在加速过程中保持足够大的电磁转矩，以利于缩 短启动时间。直流电动机调速可以有： （1）改变电枢电源电压；（2）在电枢回路中串调节电阻；（ 3）改变磁通，即改变励磁回路的调节电阻 Rf 以改变励磁电流。 本文章所介绍的直流伺服电机， 其中励磁电

4、流保持常数， 而有电枢电流进行 控制。这种利用电枢电流对直流伺服电机的输出速度的控制称为直流伺服电机的 电枢控制。如图 1.2电枢线路图 1.2定义为电枢电压（伏特） 。定义为电枢电流（安培） 。定义为电枢电阻（欧姆） 。定义为电枢电感（亨利） 。定义为反电动势（伏特） 。（牛顿?米度）。定义为励磁电流（安培） 。 定义为电机产生的转矩（牛顿 ?米） 定义为电机和反射到电机轴上的负载的等效粘带摩擦系数 ?）定义为电机和反射到电机轴上的负载的等效转动惯量（千克?节 1.03 1.3 建立数学模型电机所产生的转矩 ，正比于电枢电流 I 与气隙磁通 的乘积，即：(1-1)而气隙磁通 又正比于激励电流

5、 ，故式（ 1-1 ）改写为（1-2）对于激磁电流 为常数，合并为一个常数 K, 称为电机力矩常数。电枢电流 I 的正负即代表电机的正反转。当电枢转动时， 在电枢中感应出与电机转轴角速度成正比的电压， 称为反电 动势，即（1-3）其中 称为反电动势常数。电机的速度是由电枢电压 E 控制，应用基尔霍夫电压定律导出电枢电流 I的微分方程式为：(1-4)(1-5)电枢电流 I 产生力矩，用来克服系统含负载的惯性和摩擦，可得(1-6)由式（ 1-3 ）与式（ 1-4 ）合并移项后可得：式（ 1-5 ）移项后可得：(1-7)将式（ 1-6 ）与式（ 1-7 ）以状态方程式来表示如下：(1-8)令 R=1

6、、L=0.2、1、 =0.1 、 =5、, 代入式 (1-8)K=0.5,可得：A=B=、设，则1-91、系统状态空间表达式0.510.02B=MATLAB相关源程序 G=ss(A,B,C,D) a =x1 x2 x1 -5 -5 x2 0.1 -0.02 b =u1x1 5x2 0c =x1 x2 y1 0 1 d =u1 y1 02、化为对角标准型并分析系统特征方程：-=-0.15=00.02特征向量：P P1 P20.9998 0.71581 20.02050.6983系统特征根： 1=-4.8975 2=-0.1225其逆矩阵为：A=P 1AP4.89754.809750.01225P

7、 1 -1.0217 -1.0473P - 0.0300 -1.4628求 A 的特征值和特征向量化 A 为对角线标准型P 1B5.10840.1500C CP 0.0205 0.6983变换后状态空间表达式： 4.8975 0 5.1084x x u0 0.1225 0.1500y 0.0205 0.6983 x由于线性变换矩阵 P 是非奇异的，因此，状态空间表达式中的系统矩阵 A 与 A 是相似矩阵，具有相同的基本特征，行列式相同、秩相同、迹相同、特征多 项式相同、特征值相同。MATLAB相关源程序 P,d=eig(A) P =-0.9998 0.71580.0205 -0.6983 d

8、=-4.8975 00 -0.1225 inv(P)*A*P ans =-4.8975 -0.0000 0.0000 -0.1225 P*d*inv(P)ans =-5.0000 -5.0000 0.1000 -0.02003、系统状态空间表达式的求解在第 2个处理中已将系统矩阵 A转换为对角线标准型， 且矩阵 A的特征值互 异，则状态转移矩阵 t 为：t =eAt =P e0t P 10 e 2t= 1.02e 4.8975t -0.02e 0.1225t 1.05e 4.8975t 1.05e 0.1225t= -0.02e 4.8975t 0.02e 0.1225t - 0.02e 4.

9、8975t 1.02e 0.1225t 设初始时间 t0 0 ，则t线性定常非齐次状态方程的解为： x(t)= t x(0)+ t u d04、系统的能控性和能观性A 矩阵是 2*2 矩阵，即 n=2(1)能控性：若系统能控性矩阵 Uc= B ABAn 1B 的秩为 n,则系统状态完全能控。50BArank Uc 2 满秩，故系统可控。CCA(2)能观性：若系统能观测性矩阵 V0CA 的秩为 n，则系统状态能观CAn 1V0 CCA00.1 01.020 CA 0.1 0.02rank V0 2 满秩，故系统可观。5、系统的输入输出传递函数G s C sIA 1B0.52 s2 5.02s 0

10、.6MATLAB相关源程序 num,den=ss2tf(A,B,C,D)求系统传递函数num =0 0 0.5000den =1.0000 5.0200 0.60006、系统开环稳定性分析（1）特征根方法 在经典控制理论中，对系统稳定性的分析基于特征方程的所有根是否分布在 根平面的左半部分。 所有特征根都分布在左半平面则系统稳定； 如果至少有一个 特征根分布在右半平面则系统不稳定； 如果没有右半平面的根， 但在虚轴上有根 （即有纯虚根），则系统是临界稳定的。在以上处理过程中已求出系统特征根为1 =-4.89752 =-0.1225 这两个特征根均分布在根平面的左半部分，故系统稳定。（2） Ly

11、apunov 第二法 研究系统的稳定性时，可令 u=0。显然|A| 0, 故原点是系统的平衡状态。由 A= 5 -5 得系统的状态方程为0.1 0.02x1 5x1 5x2x2 0.1x1 0.02x2选取李氏函数为 x x12 50x22 0 （ 正定 ）则沿任意轨迹 x 对时间的导数：x 2x1x1 100x2 x2 10x12 2x22 0 (负定)又由于当 x 时， x ，故根据相关定理知，平衡点 x1 0,x2 0 是大范围内渐进稳定的。8、闭环极点配置（1）闭环极点配置的目的 控制系统的性能主要取决于系统极点在根平面上的分布， 所以通过极点配置 改变极点的分布，使得闭环系统阶跃响应

12、的上升时间比开环系统阶跃响应的上升 时间缩短，从而获得所希望的动态性能。2）闭环极点配置的方法通过选择状态反馈矩阵 K，通过状态反馈 u rKx 使闭环系统的极点恰好配置在根平面上所期望的位置。3）充要条件： 系统完全能控。4）分析过程原控制系统x Ax Bu 状态反馈控制律 u r Kxy Cxx A BK x Br y Cx5）配置过程反馈控制期望闭环极点：1 -15 2 -0.4原始极点： 1 -4.89752 -0.1225 )加状态反馈后特征方程：fo s sI A BK期望的闭环特征方程：fo* s s 1 s 2使以上 两式 s 多项式对应项的系数相等，得到2 个代数方程，即可求

13、出状态反馈阵 K k1k2 = 2.076 10.38486）闭环极点配置后系统的传递函数G s C sI A BK 1B0.5s2 15.4s 6原系统开环阶跃响应 step(G)- 10 -极点配置后阶跃响应由图可看出， 极点配置后阶跃响应上升时间比原系统上升时间缩短了三倍左右， 故极点配置达到预期效果。- 11 -MATLAB相关源程序 T=-15 -0.4T =-15.0000 -0.4000 K=acker(A,B,T)K =2.0760 10.3848 eig(A-B*K)ans =-15.0000-0.4000num,den=ss2tf(A-B*K,B,C,D)num =0 -0

14、.0000 0.5000den =1.0000 15.4000 6.0000期望闭环极点求状态反馈阵极点配置验证求闭环传递函数8、全维状态观测器设计(1) 目的在现代控制理论中， 按各种最优原则建立起来的最优控制系统、 解耦系统都 离不开状态反馈， 然而系统的状态变量不是都能用物理方法量测得到的， 有些根 本无法量测， 因而给状态反馈的物理实现造成了困难， 故通过设计一个全维状态 观测器实现状态重构，从而获知系统的状态变量。(2) 原则 a、观测器以被观测系统的输入和输出为其输入量，其输出量即为原系统的 一个状态渐进估计。b、被观测系统应是完全能控的。( 3)分析过程- 12 -原系统状态方程

15、 x Ax Bu观测器状态方程 x? A LC x? Bu Ly4) 设计过程观测器期望极点： 1 -20 2 -10 求反馈阵 L：观测器特征多项式： fo s sI A LC期望的特征多项式： fo* s s 1 s 2使以上 两式 s 多项式对应项的系数相等，得到 2 个代数方程，即可求5) 验证配置结果观测器特征多项式： f s sI A LC求得特征根 1 -20 2 -10 故， L 阵求取正确MATLAB相关源程序：Po=-20,-10Po =-20 -10 L=acker(A,C,Po)L =745.000024.9800 eig(A-L*C) 验证观测器极点是否配置在期望极点

16、ans =-10-20- 13 -(6)形成系统状态估计器 est=estim(G,L)a =x1 x2x1 -5 -750x2 0.1 -25b =u1x1 745x2 24.98c =x1 x2y1 0 1y2 1 0y3 0 1d =u1y1 0y2 0y3 0Input groups:Name ChannelsMeasurement 1Output groups:Name ChannelsOutputEstimate 1StateEstimate 2,3Continuous-time model.- 14 -7)阶跃响应step(est)(8) 分别得到输出和观测状态的传递函数 tf(

17、est)Transfer function from input to output.24.98 s + 199.4#1: s2 + 30 s + 200745 s - 110 #2: s2 + 30 s + 20024.98 s + 199.4#3: s2 + 30 s + 200- 15 -Input groups:Name ChannelsMeasurement 1Output groups:Name ChannelsOutputEstimate 1StateEstimate 2,39、带状态观测器的状态反馈控制系统的状态变量图跟踪正弦波 T=1:300;plot(T/50,y(1:30

18、0,:);ylabel(y);legend(系统,观测 );- 16 - T=1:300;plot(T/50,x1(1:300,:);ylabel(x1);legend(系统,观测 ); T=1:300;plot(T/50,x2(1:300,:);ylabel(x2);legend(系统,观测 );- 17 -跟踪阶跃信号 T=1:500;plot(T/50,y(1:500,:);ylabel(y);legend(系统,观测 );- 18 - T=1:500;plot(T/50,x1(1:500,:);ylabel(x1);legend( 系统,观测 );系统 T=1:500;plot(T/5

19、0,x2(1:500,:);ylabel(x2);legend( ,观测 );- 19 -10、带状态观测器的闭环状态反馈控制系统的相关分析带状态观测器的状态反馈系统由原系统、观测器和控制器三部分组成。（1）、状态空间表达式x Ax Bu设能控能观测的受控系统为 y Cx状态反馈控制律为 u r Kx? 状态观测器方程为 x? A LC x? Bu Ly 由以上三式得整个闭环系统的状态空间表达式为：x Ax BKx? Brx? LCx A LC BK x? Br 即y Cx- 20 -15.3856.9240.10.0210.38 51.924005 7500.1 25x0x x? 0 0（2

20、）、闭环传递函数 带观测器状态反馈闭环系统的传递函数阵与是否采用观测器反馈无关， 即等 于直接状态反馈闭环系统的传递函数阵，即，观测器渐进给出 x?并不影响组合系 统的特性。0.5故，闭环传递函数 G s C sI A BK 1B 2 0.5 s2 13.4s 5.2（3）、闭环稳定性分析 由观测器构成状态反馈的闭环系统， 其特征多项式等于状态反馈部分的特征 多项式和观测部分的特征多项式的乘积， 两者相互独立。 故可知其特征值即为状 态反馈部分和观测部分的特征根， 即 1 -20 2 -10 3 -15 4 -0.4 均位 于根平面的左半平面，故由观测器构成状态反馈的闭环系统是稳定的， 五、结

21、束语（1）所作工作和内容总结 本次大作业我选择的是直流电机模型， 通过对直流电机的结构与原理分析， 从而构造数学模型， 把实际动态问题抽象出来， 建立线性动态系统在状态空间的 模型，然后运用现代控制理论研究该系统在输入作用下状态运动过程的规律和改 变这些规律的可能性与措施； 建立和揭示系统的结构性质、 动态行为和性能之间 的关系。主要的处理内容有列出状态空间表达式，化为对角标准型状态空间表达 式并进行分析。 对于线性定常系统， 若系统的特征值互异， 则必存在非奇异变换 阵 P，经过 x Px 的变换，可将状态方程化为对角线标准型。系统状态空间表 达式的求解。 求解一个系统的状态空间表达式首先得

22、求状态转移矩阵， 线性定常 系统在状态空间中任意时刻的状态是通过状态转移矩阵由初始状态在某一时刻 内的转移。 系统的能控性和能观性判断。 状态方程描述了输入引起状态的变化- 21 - 过程，输出方程则描述了由状态变化引起的输出变化， 能控性和能观性分别分析 输入对状态的控制能力以及输出对状态的反映能力。系统的输入输出传递函 数；分别用特征根方法和 Lyapunov 第二法分析系统的开环稳定性。特征根法是 基于特征方程的根是否分布在根平面左半部分来判断的； Lyapunov 第二法判稳 时要先解出平衡点然后选取李氏函数进而判稳。 极点配置。 采用状态反馈将系 统的闭环极点配置到合适的值， 使得闭环统阶跃响应的上升时间比开环系统阶跃 响应的上升时间缩短 3倍左右。设计全维状态观测器。 对于一个能观测的系统， 他它的状态变量尽管不能直接量测， 但是通过其输入和输出以及它们的导数， 可 以把它重构出来， 故可设计一个状态观测器。 带状态观测器的状态反馈控制系 统的状态变量图；状态空间表达式和闭环传递函数、闭