理学微积分习题

1、、单项选择题1)函数 f x 在 x x0处连续是 f x 在 x x0 处可微的 A.充分B.必要C.充分必要)条件 .D.无关的2)2当 x 0 时， exA.同阶无穷小3)x 2 是函数 f x1 是关于 x 的(B.低阶无穷小2x 2x的(x2B.可去间断点C.高阶无穷小D.等价无穷小).4)A.连续点2函数 f x 及其图形在区间 1,xA.单调减少上凹2C.跳跃间断点D.无穷间断点上().B.单调增加上凹x ; x 1设函数 f x 在 x 1 处可导，则(ax b;x 1A. a 0,b 1 B. a 2,b 16 )设 f x 为可微函数，则在点 x 处，当A. 同阶无穷小 B

2、. 低阶无穷小x 1;0 x 17)设 f x在 x 1 处为(2 x;1 x 2A. 连续点 B. 可去型间断点、填空题C.单调减少上凸D.单调增加上凸5)C. a 3,b 2 x 0 时， y dy 是关于的( C. 高阶无穷小C. 跳跃型间断点1)2)3)4)1lim 1 sinx 2已知 y xex ， n 为自然数，则 y n曲线 y ln x 上经过点( 1， 0)的切线方程是： yf 2x dx5)已知6)曲线7)已知x2G x et dt，则G 0 2y 2sinx x2 上点（ 0， 0 ）处的法线方程为f 3 x f 32xf 3 2，则 lim3 n2 sin n! li

3、m n n 1 已知 f x 的一个原函数为 cosx ，则 f x1 （10）1 三、计算题11. limx 0 x8)9)x2 sinx 5x2 dxex112. lim x 1 2x 3 x x 2D. a 1,b 2D. 等价无穷小D. 无穷型间断点3. 设 y ln tan x2，求 dy4. 设 sin xy ln y x x 确定 y 是 x 的函数，求yx05.y f sinx ，其中 f具有二阶导数，求 d22ydx3x 22 dxx2 2x 523cosx cos xdx21110. limx 0 ln 1 x x6.8.12.9 x2dx14.1 dx9. 1 x ln

4、x dx11. xarctan xdx13. 0 4 2xdx0 2x 1求 yx3,x 0,y 8所围成的图形分别绕 y 轴及直线 x 4旋转所得的旋转体体积 .x2 y2 a2 绕直线 x a旋转的旋转体的体积 .15.四、应用题（1）已知销售量 Q与价格 P的函数关系 Q = 10000P，求销售量 Q关于价格 P的弹性函数 . 12（ 2）设某工厂生产某产品的产量为Q 件时的总成本 C Q 5000 8Q Q2 元，产品销售后的收益100012R Q 20QQ2 元，国家对每件产品征税 2 元，问该工厂生产该产品的产量为多少件时才能获得最大利润？500最大利润是多少？五、证明题1设 f

5、 x 在区间0，1上可微，且满足条件 f 1 2 2xf x dx，试证：存在 0,1 ，使得f f 01.8.1 向量及其线性运算（ 1）、 2a b c,v a 2b c，试用 a,b,c 表示 2u 二、 a,b,c 为三个模为 1 的单位向量，且有 a b c 0成立， 三、 把 ABC 的 BC 边四等分，设分点依次为 D1、D2、D3 ，2）、（3）、（4）一、 设 u证明： a,b,c 可构成一个等边三角形 再把各分点与点连接，试以 AB c、BC a 表示四、五、向量 D1A、D2 A 和 D3A 已知两点 M1 1,2,3 和M2 1, 2, 1 ，试用坐标表示式表示向量 M

6、1M2及 3M1M2 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？并画出前两个：A 1,1,1 ， B 2, 1,1 ， C 2, 3, 4 ，D 3,4, 5 指出下列各点的位置，观察其所具有的特征， 并总结出一般规律： A（3,4,0），B（4,0,3） ，C（ 1,0,0） ，D（0,8,0） 1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原点的对称点的坐标8.1 向量及其线性运算（ 5） 8.2 数量积 向量积 一、试证明以三点 A 10, 1,6 、B 4,1,9 、 C 2,4,3 为顶点的三角形是等腰直角三角形 二、设已知两点 M1 5, 2,2 和M2 4,0,3 ，计算向量 M1M

7、2 的模、方向余弦和方向角，并求与 M1M 2方向一 致的单位向量三、设 m 2i 3j 4k,n 4i j 分向量六、七、 求点 x,y,z 关于四、已知 a,b,c 为三个模为 1 的单位向量，且 a b c 0，求 五、已知 a 2i 3j k,b i j k和c i j ，计算：1 a b c ac b；2 a b b c ；2k及pi 2j 3k ，求 a 2m 3n 2 p在轴上的投影及在轴上的ab b c ca之值3ab1.y 2x 4 ； 五、说明下列旋转曲面是怎样形成的？ 1.x2 2y2 2z2 6 ； 六、指出下列方程所表示的曲面：2 2 22. z a x 2 y2 2

8、 2 21.x 2y z2；23.x238.4空间曲线及其方程8.5 平面及其方程 （1）2.x2 y2 3z2 3 ；六、设 a 2, 1,3 ,b 1,2, 1 ， 问 和 满足何关系时，可使 a b 与轴垂直？ 七、已知 OA 1,2,3 ，OB 2, 1,1 ，求 AOB的面积8.3 曲面及其方程 一、一动点与两定点 1,2,3 和 3,0,7 等距离，求这动点的轨迹方程 二、方程 x2 y2 z2 2x 4y 6z 0 表示什么曲面？三、将 xoz 平面上的双曲线 4x2 9z2 36 分别绕轴及轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程四、指出下列方程在平面解析几何中和在空间解析几何中分

9、别表示什么图形？ 2.3x2 2y2 6 一、填空题：1232z 0与平面 z 3 的交线圆的方程是，其圆心坐标是，圆的半径为 922 xy1 曲线在 yoz 面上的投影曲线为x2 （ y 1）2 （z 1）2 1 螺旋线 x a cos , y a sin , z b 在 yoz 面上的投影曲线为曲面 x2 y2上半锥面 zx2 y2 （ 0 z 1）在 xoy 面上的投影为，在 xoz面上的投影为，在二、 选择题：22 x2 y21方程 4 94yoz 面上的投影为1在空间解析几何中表示yz）、椭圆柱面x（）、椭圆曲线acos）、两个平行平面）、两条平行直线2参数方程 y a sin 的一

10、般方程是 zb2 2 2)、 x y az(B) 、 x a cosb(C)、 y a sin z (D)、 bzx a cosbzy a sinb3平面 x 2z 0 的位置是（）、平行 xoz坐标面。（）、垂直于轴4下列平面中通过坐标原点的平面是（）、 x 1 （） 、 x 2 y 3z 4 02 2 2 xyz9 为参数方程yx（）、平行轴）、通过轴(C)、 3(x 1) y ( z 3) 0 (D)、 x y z 1三、 化曲线画出下列曲线在第一卦限内的图形：x 1x2 y2 a2 ； .y 2x2 z2 a2四、 求通过三点 (1,1,1)、 ( 2, 2,2) 和(1, 1,2)

11、的平面方程8.5 平面及其方程 （2）（3） 8.6空间直线及其方程填空题：x 2 z 1 过点 P（4, 1,3） 且平行于直线 2y 的直线方程为35x 2y 7z 7过点 P（2,0, 3） 且与直线垂直的平面方程为3x 5y 2z 1过点 P（0,2,4） 且与二平面 x 2z 1和 y 3z 2 平行的直线方程是x 1 y 2 z4当 m 时，直线 与平面 mx 3y 5z 1 0 平行4 3 1二、选择题： 1下列直线中平行与 xoy 坐标面的是x 1 2tx1y2z3x 1 y 1 z4x y 4 0（A）（C）（B）( D) y 3t1320 0 1xz40z4x32直线y4z

12、 与平面 :4x 2y 2z 3的关系是 273（A ）平行 （B）垂直相交 （C）在上 （D）相交但不垂直x 1 5 y z 8 x y 63设直线 L1 :与 L2 :，则与的夹角为1 1 2 1 2 2y z 3（A ）/6 （B）/4（C）/3（D）/2x 2 y 1 z 1 4两平行线 x t 1, y 2t 1,z t 与 之间的距离是1 2 12 4 3（） （） （） （）33x 1 y 2 z 3三、 设直线通过 （1,1,1），且与 L1 :6x 3y 2z相交，又与 垂直，求直线的方程1 2 1 4四、 求通过轴，且与平面 2x y 5z 7 0 的夹角为 的平面方程3五

13、、 求通过点 P（2,0, 1） ，且又通过直线 x 1 y z 2 的平面方程2 1 3六、 设直线 L: x y 1 z 1与平面 ：2x y z 3 0 ，（）求证与相交，并求交点坐标； （）求与交 1 1 2角；（）求过与交点且与垂直的平面方程； （）求过且与垂直的平面方程； （）求在上的投影直线方程第八章 习题课一、 选择题：x1y1z1和直线x1y1z 相交，则 =1若直线1211355（A）（B）（C）（D24422x2y2z2162母线平行于轴且通过曲线2 x2 z的柱面方程是 .y20(D) y2 3z2 16A) x2 2y 16 (B)3y2 z2 16(C) 3x2 2

14、z2 163曲线(x 1)2 y2z0(z 1)2 4的参数方程是x 1 3cos y 3sin z0、 填空题：)1已知与垂直，且 a =5，(B)x 1 2cosy 2sin( C)z0b =12 ，则 a bx 3cosy 3sin (D)z0a b =.2.一向量与轴和轴成等角，而与轴组成的角是它们的二倍， 3已知从原点到某平面所作的垂线的垂足为点 三、证明： (b c)a (c a)b 与垂直 . 四、求原点关于平面 6x 2y 9z 121 0的对称点 .x 2cos y 2sin z0那么这个向量的方向角( 2, 2,1) ，则该平面方程为 .，xyz五、求过点 ( 1,2,3)

15、 垂直于直线 ，且平行于平面 7x 8y 9z 10 0 的直线方程 .456x 2y 3z 4 0六、求过原点且与直线 垂直相交的直线方程 .2x 3y 4z 5 02x 3y z 0 七、讨论两直线 l1:1 x 2y 4z 7 09.13x 2y 3z 5 0 与 l2 :的位置关系 .2 x 3y 2z 3 0多元函数的基本概念一、 已知 f(x y, y) x2 y2 ，求 f (x,y) 。 x二、 求下列函数的定义域：111 zx y x y3 z ln(9 x2 y2)(x2 y2 1) 三、求下列极限，若不存在，说明理由。2. z ln(y x) 1 x2x y21 x y1

16、1 xy1 lim 2 2 yx 10 x2 y2x2.limxy 001 cos x2 y 2x 2 y23 limxy 00 x y4. lim xyxy 00 1 xy 1x sin(x 2y),x 2y ,0,五、设 f(x, y) sin x ，证明：对任意 (x0,y0)，x0 R,y0 R， f (x,y)在(x0,y0)处连续。四、讨论函数 f(x,y)x 2y 的连续性。x 2y9.2 偏导数 9.3全微分 (1)计算：1. 设 f (x,y) xy 2 x 2 ，求 fx(0,1)， f y (0,1) 。x2 y22f2. 设函数 z f(x,y) , 2 2,且 f (

17、x,0) 1, f y (x,0) x，求 f (x,y)。y2y二、 求下列函数的一阶偏导数：yzxy 1 x21. u x2.F(x,y)f (s)dsex dx3. f(x,y) x (y 1)arcsin xy三、求下列函数的二阶偏导数：1. z x4 y4 4x2 y22. z x y112 z 2 z四、设 z e x y ，求证： x y2z 。xy五、求下列函数的全微分：x xyz1. z e ysin(x y) 2.u x3. z ln 1 x2 y2 ，求 dz| (1,1) 。六、求 f (x, y)x2 y2 在 (0,0) 点的偏导数。9.4 多元复合函数的求导法则计

18、算：3 z z1. 设 z xy x , 求xy222ex2 y2 z22. z f(exsin y, y)，其中 f (x,y) 可微,求 。 x二、 设2,z x siny ，三、 设u u 。 求 , 。xyuu四、五、六、七、已知22f ( xy, x2 y2) ，且可微，求 xy eax(y z) du2 , y asin x,z cosx ，求 。 a2 1z f ( x2 y,ln( xy) , z, zx x y设 z f (u,x,y),u xey ，其中连续偏导，求设 u xf(2x 3y,ey z) ，求2u2ydxzz,。xy八、 设函数满足 u u u xyz 9.5

19、0, 作变换x,隐函数的求导公式1. 设 ey sin(x y) x2 0 ，求 dy 。dxz3. 设 x2 z2 y ( ) ，其中可微，y35. 设 z3 2xz y 0 ，求2zxy求zy2zu 0 。0。1)设 x y z xyz ，求 z ， z 。xy设 F x y,x y,xy 0 ，可微，求 dy 。dxy x, z x ，求证：9.62.4.6.7. 证明由方程 f cx az,cy bz 0 (可微)确定的函数多元微分学的几何应用(ax by cz 0设2 2 2xyz1z z x,y 满足：dz dx，求 、 。dy dyzza bc 。xy8. 求曲线 x acost

20、 ， y asint，z bt在t 4处的切线和法平面方程。9. 求曲线10求曲线1.求曲面2.求曲面3.求函数4.5.6.7.x222 yz6 在点 M 1, 2,1 处的切线和法平面方程。yz022sin t ， y sint cost ， z cos t 在点 0.5,0.5,0.5 处的切线和法平面方程。 9.6 多元微分学的几何应用( 2) 9.7 方向导数和梯度2 xy z2 在点 1,4,2 处的切平面与法线方程。22y2 2z2 4 上平行于平面 x 2y z 1的切平面方程。2xu xyz 在点 5,1,2 处，沿从点 5,1,2 到 9,4,14 的方向的方向导数。22xy

21、 z 在点 2, 1,1 处方向导数的最大值。u 2xy z 在点 2, 1,1 处方向导数的最大值。 设 vx2 y2 z2 ，求 gradv 。求 u x xy xyz 在点 1,2, 1 处的梯度，并求该梯度方向的方向导数。2 2 2 2求 z 1 (x y ) 在点 a , b 处沿曲线 x y1 的内法向量的方向导数。a2 b22 , 2a2 b2求函数8.设是曲面 2x2 3y2 z2 62 在点 P 1,1,1 处指向外侧的法向量， 方向导数。求函数 u 6x2 8y2在点处沿方向的9. 试证：曲面 xyz a3 上任意一点处切平面与三个坐标轴所围四面体体积为常数。9.8 多元函

22、数的极值及其求法1.求 fx,y xy xy2x2y 的极值。值。2.求 fx,y x2 2xy e2y 的极值 点及极3.求 zxy 在条件 x 2y1下的极值。值。224. 设 u x y z ，求在 z 2x y 条件下的极 设 u x x2 y2 ，求在区域 D x2 y2 1 上的最大值与最小值。6.7.8.1.2.3.4.5.6.7.8.9.1.求曲线2 zx xy 1y2上到 xoy 坐标面距离最短的点222xyz 求内接于椭球面2221 且棱平行于坐标轴的体积最大的长方体。a2b2c2求周长为的三角形的最大面积第九章 习题课z 求偏导数：(1) zln( xy)(2)u arc

23、tan(x y)y2 2 arctanx 已知 z (x2 y2)e x ，求。12z设 z f (xy) y (x y) ，其中 f , 具有 2阶连续导数，求。x x y设 y f（x,z），而 z z（x, y）由方程 F（x, y,z） 0确定，其中、一阶连续可导，求 dy 。 dx22 u u u 设 u f x, xy, xyz ， f x,y 二阶可导，求： 、 、 。x x y x z设u x2 xy y2， l cos ,sin 及点 P0（1,1），（1）试求： u ；（2）若 u 在处取最大值，求。 ll 设 z z（x, y）满足方程 2z ez 2xy 3，且 z（1

24、,2） 0，求 dz |（1,2） 。证明：锥面 z 1x2 y2 上任一点的切平面都经过其顶点。求周长为定值的三角形，使它绕自己的一边旋转所产生的旋转体体积最大者。 10.1 二重积分的概念与性质 10.2 二重积分的计算法（ 1）利用二重积分的几何意义计算： （1）a2 x2 y2d （2）由 x y 1,x y 1,x 0所围，求x 2 y2 a2ydD222. 利用估值定理估计下列积分的值： （1）（x2 4y2 1）dxdy （2）xy(x2 y2)dx2 y2 10x10y1223. 比较下列积分的大小： （ 1）x y d 、x3 y3 d( 2 ) f (x, y)d0x10x

25、1D10y10 y 14.f (x,y)d ， f 0,D1 D2 D2计算：(1)(x2 xy y2)dx 1, y 1x cos(x y)d5.画出积分区域，并计算： （1）D x,y x y 1x xy 00yexydxdy ，其中由 xy 1,x 2, y 1所围( 2 )Dx y2 dxdy ，其中D1 y2) 0 dy y2 f(x,y)dx1 16. 交换积分次序： (1) dy f ( x, y)dx2 y 2(3) 0 dy y2 f(x, y)dx10.2 二重积分的计算法（ 1）（续）（2）画 出 下 列 积 分 区 域 ， 并 把 f（ x, y） d x化d 为y 极

26、 坐 标 系 下 的 二 次 积 分 ：（ 1 ） DD x,ya2x2y2b2,0a b（ 2） Dx, y 2xx2y24x1 1 1 1 1 x2 将下列二次积分化为极坐标形式并计算： （1） dx （x y）dy （2） 0 dx 1 1 x2 xydy22利用极坐标计算： （1）ln（x2 y 2 ） dxdy （2）（x y）dxdy1 x2 y 2 4x2 y2 4x2 2 2计算 二重积分 ：（1） （x2 y2）dv ，是由 x 1 y2 ， 直线 y 1,y 1,x2围 成（2）Dx2 y2 dxdy ，其中为 x2 y2 1,x y 1D x y2 2 2求圆锥体 z x

27、 y 被柱面 z2 2x 所截下部分的体积。 用二重积分表示由三个坐标面及 x 2y 3z 6 所围立体的体积，并计算之。 10.3 三重积分（ 1）（ 2）化三重积分 If （x, y, z）dxdydz为三次积分，其中积分区域分别为： （ 1）由双曲抛物面 xy 2z 及平面2 2 2x y 1 0,z 0所围成的闭区域（ 2）由曲面 z 2x2 3y2及 z 3 x2所围成的闭区域 计算xy2 z3dxdydz，其中为 a x b,c y d,l z m 。计算 dxdydz 3 ，其中为平面 x 0, y 0, z 0, x y z 1 所围成的四面体。2xyz2 2 2 2 利用三重

28、积分计算由曲面 z 6 x2 y2及 zx y 所围成的立体的体积。 10.3 三重积分（ 2）续利用柱面坐标计算下列三重积分： （1）zdv，其中是由曲面 z 3 x2 y2 及 2z x2 y2 所围成的闭区域（ 2）x2 y2 dv ，其中是由曲面 x2 y2 2z 及平面 z 8所围成的闭区域22 2 2 22利用球面坐标计算下列三重积分： （1）x2y2z2dv ，其中是由球面 x2y2z22所围成的闭区域（2）zdv ，其中闭区域由不等式 x2 y2 z 2a4a2,x2 y2 z2 所确定利用三重积分计算由曲面 z 5 x2 y2 及 x2 y2 4z 所围成的立体的体积。 10

29、.4 重积分的应用 第十章 习题课（ 1）222 222求底圆半径相等的两个直交圆柱面 x2 y2 R2 及 x2 z2 R2 所围立体的表面积。222 222求球面 x2y2z2R2 含在圆柱面x2y2Rx内部的那部分面积。计算 下列二 重积分 ：（ 1）x2 y2 d ， 其中 D x, y 0 y sinx,0 x （ 2）Da2x2y2d，其中是圆周x2y2ax 所围成的闭区域（3）x24x 8y 6 d ，其中DDD x, y x2 y2 R2第十章 习题课（ 2）1x211 x2交换下列二次积分的积分次序： （1） dx 3 f x,y dy （2）dx 2 f x,y dy1.2

30、.3.4.5.6.123412312310 x 1 1 x2 3x 2 2 dx f x2 y2 dy 化为极坐标形式。计算 xecosxy sin xydxdy ，其中 D:|x| | y| 1。D222 求曲面 az xy 包含在圆柱 x2 y2 a2 内那部分的面积。设 f (x)可微，且 f(0) 0，求 lim 13 f( x2 y 2 )dxdy ，其中 D:x2 y2 t2。t 0 t D计算下列三重积分： (1)x2dxdydz，其中是： x2 y2 z2 R2 与 x2 y2 z2 2Rx R 0 的公共xsin x2 y2 z2 1部分 (2)x2 y2 z2 1x y z

31、 123.4.5.6.dxdydz ，其中是由球面 x2 y2 z2 R2所围成的闭区域（3）222 22x2y2dxdydz，其中是由曲面z29 x2y2及平面 z 3 所围成的闭区域1计算下列对弧长的曲线积分：11.1 对弧长的曲线积分 11.2 对坐标的曲线积分（ 1）2 2 n x Rcost L x2 y2 ds ，其中为 L y Rsint1）0 t 2 (2) Lx2ds，其中为 由 x2 y2 z21与 x y z 0 所表示的圆的一周（3）12 12 2 ds ， 其中为曲 线 xyzx et cost , y et sint,z et上相应于从变到的一段弧 222 ds，其

32、中为内摆线 x3 y3 a344（4）x3 y32 2 2 2 2 2 设为双纽线： （x y ） a （x y ）（a 0），求 L| y|ds。 11.2 对坐标的曲线积分（ 2）（ 3） 11.3 格林公式及其应用（ 1）计算下列对坐标的曲线积分： （1） xydx ，其中为 x R y2 R2R 0 及轴所围成的在第一象限x ydxxydy2 ）22，其中为逆时针方向绕行的圆周Lx2y2x2y2R2 （3）2xdx3ydy x y 2 dz ，其中为从点1,1,1 到点 2,3,4 的一段直线（ 4）32 2 2x3 2xy2 dx 2y2 xy dy ，其中为 y x2上从点 1,1

33、 到点 1,1 的一段弧P x,y dx Q x,y dy 化为对弧长的曲线积分， 其中为：（ 1）在 xoy 平面内从点 0,0 到点 1, 3 的直线段22（2）沿 x2 y2 2x 的上半部分从点 0,0 到点 1,1222 利用曲线积分计算星形线 x3 y3 a3 所围图形的面积。 利用格林公式计算下列曲线积分： （1）x 2y 4 dx 3x 5y 7 dy ，其中为三顶点分别为 0,0 、3,0 和 3,2 的三角形正向边界（ 2） ydx2 xd2y ，其中为 x 2y2 9 ，且为逆时针方向L 4 x2 y2 11.3 格林公式及其应用（ 2）（3）一、 验证下列曲线积分与路径

34、无关，并求积分值：（1,1）（x y）（dx dy）（0,0）21234内的区域的逆时针方向绕行的整个边界（将对坐标的曲线积分1、(1,2) ydx xdy 沿在右半平面的路线(2,1)2、 计算 e x y四、计算曲线积分 I2 x 二、利用 格林公 式计算 曲线 积分 (sin y y)dx (xcosy 1)dy ，其中为圆 周 x2 y2 2x 上从 点O(0, 0)到点 A(1,1)的一段弧。三、验证下列 P(x,y)dx Q(x, y)dy 是某一函数的 U(x,y) 全微分，并求这样的一个 U(x,y) ：2 2 2 21、 (x2 2xy y2)dx (x2 2xy y2 )d

35、y2、 (2x sin y)dx xcos ydy四、在 过 点 O 0,0 与 A ,0 的曲线族 y asin x a 0 中，求 一条曲线， 使沿该 曲线从到 的积分 1 y3 dx 2x y dy 的值最小。L五、求可微函数 f(x) ，使关系式f ( x)( ydx xdy) 0 成立，其中为与轴不相交的任何闭曲线。第十一章 曲线积分及格林公式习题课一、 计算 (x y)ds，其中为连接点 (0,0) 、 (1,0) 、 (0,1) 的闭折线。2 2 2ds，其中为圆周 x2 y2 a2 ，直线 y x和 y 0在第一象限内围成扇形的边界。三、 计算xy2dy x2 ydx ，是从

36、A(1,0)沿 y 1 x2 到 B( 1,0) 的圆弧。 ydx x 1 dy ，2 2 ，L x 1 2 y2其中 1 L为圆周 x2 y2 2y 0的正向； 2 L 为椭圆 4x2 y2 8x 0 的正向。五 、 设 曲 线 积 分 xy2dx y x dy 与 路 径 无 关 ， 其 中 具 有 连 续 的 导 数 ， 且0 0 ，计算L1 , 1 2Ix 2y dx y x 。 dy0,02 2 x六、设曲线是正向圆周 x a y a 1 ， x 是连续的正函数，证明： dy y x dx 2 。 Ly 11.4 对面积的曲面积分11.5 对坐标的曲面积分 (1)一. 计算下列对面积

37、的曲面积分：2 2 2 21. (x y z)dS , 其中是上半球面 x2 y2 z2 a2,z 0dS 2 2 22. 2 2 , 其中为柱面 x2 y2 R2被平面 z 0,z h 所截取的部分 x2 y23.xyzdS, 其中为平面 x y z 1 在第一卦限的部分1 2 2二. 求面密度为z 的抛物面壳 z(x2 y2)(0 z 1)的质量。2三. 如是坐标面 xOy面内的一个闭区域时 , 曲面积分 R(x,y,z)dxdy 与二重积分有什么关系 ? 11.5 对坐标的曲面积分 (2)(3)11.6 高斯公式 (1)一 . 计算下列对坐标的曲面积分：2 2 21.yzdzdx , 其

38、中是球面 x2 y2 z2 1的上半部分并取外侧2. xydydz yzdzdx zxdxdy , 其中是由平面 x y z 0 和 x y z 1 所围的四面体表面并取外侧 二. 求流速场 v xi y2k 穿过曲面 z x2 y2 与平面 z 1所围成的立体表面的流量。三. 试把对坐标的曲面积分P( x, y, z) dydz Q( x, y, z) dzdx R(x, y, z) dxdy化成对面积的曲面积分是平面 3x 2y 2 3z 6在第一卦限的部分的上侧。22四. 利 用 高 斯 公 式 计 算 曲 面 积 分 y(x z)dydz x2dzdx (y2 xz)dxdy , 其

39、中 是 x 0,x y 0,y a,z 0,z a 所围正方体表面的外侧。第十一章 曲面积分及高斯公式习题课其中a，1112 2 2 2一. 计算 dydz dzdx dxdy ，为球面 x2 y2 z2 R2 的外侧。xyz二. 设是球面 x2 y2 z2 a2 的外侧，求曲面积分zdxdy。222 三计算 (y z)dydz (z x)dxdz (x y) dxdy,为 z2 x2 y2(0 z h)的下侧。四. 求曲面积分 (x2 y2 ) ds，为锥面 z x2 y2 与平面 z 1所围成的区域的边界曲面。五. 利用高斯公式计算曲面积分 xdydz ydzdx zdxdy , 其中为界

40、于 z 0 和 z 3 之间的圆柱体22x2 y2 9 的整个表面的外侧。六.计算对坐标的曲面积分 I f ( x)dydz g(y)dzdx h( z) dxdy ,其中是平行六面体 0 x a,0 y b,0 z c 的表面并取外侧 ,12.1 常数项级数的概念和性质 一、根据级数收敛与发散的定义判断下列级数的收敛性：f (x), g( y), h(z) 为上的连续函数。12.2 常数项级数的审敛法( 1)1111. 11116 611 1116 (5n 4)(5n 1) 二、判断下列级数的收敛性：2. ( n 2 2 n 1 n) n13453411111111) ( 12 1) (13

41、 1)( 1n 1)13223333nn1.23.(13n1n112.11三、若级数四、求级数un 收敛于 1，求级数(un un 2) 的和。n122n 1 n2(n 1)22n 1的和。n12382 83988848n 19289389n1sin1n 1n n五、判别下列级数的收敛性：2.1. 1 n3n 1 2 n313. 2 tan n n 1 3一、 用比值审敛法判断下列级数的收敛性： 3n31.2nn 1 23. (n 1)sin nn 1 2二、 用根值审敛法判断下列级数的收敛性：11 n (a 0) n 11 a12.2 常数项级数的审敛法( 1)( 2)( 3)4.2.nnn

42、 1 2n n!1 1 21. 41n (1 n1)n n 1 4 n3. ( e )n ，其中 lim an a 0 n 1 ann2.( 2nn1n3n 1)2三、 判断下列级数是否收敛？如果是收敛，是绝对收敛还是条件收敛？n11. ( 1)n 1 n 1 2n n(n 1) 22.( 1)n n2n n 1 23. ( 1)n122nn!a四、 设 an2 收敛，证明 n 绝对收敛。n 1 nn1 12.3 幂级数一、 求下列幂级数的收敛域： nxn3n xnn!1.3.( 1)nn1( 1)nn12.4.2n xnn 1 n2n( 1)n xn 1 2n 15.(x 2)nn 1 n二

43、、 设级数an(x 1)n 在 x2处收敛，讨论此级数在 x 53处的敛散性。n1三、 利用逐项求导或逐项积分，求下列级数的和函数：2n 1x1.n 1 2n 12n 1四、 求级数 2n 1x2n 2 的和函数，并求出级数2nn 1 22.12.4 一、将下列函数展开成的幂级数，并求展开式成立的区间：21. 2 cos x3. sin(x )42.4.(n 1)xn 1n12n 1的和。2nn 1 2函数展开成幂级数(1 x)ln(1 x) xsint dtt二、将下列函数展开成 (x 1)的幂级数，并求展开式成立的区间：1. ln(a x)(a 0)2.x( x 1)、将函数 f ( x)

44、展开成 (x 2) 的幂级数，并求展开式成立的区间x 2 4x 5第十二章 习题课对于正项级数un ，n1(1) 若un 1 un,n 1,2, ， un 是否一 n1 定发散？( 2) 若 un 1 un,n 1,2, ， un 是否一 n1 定收敛？n二、设正项数列 an 单调减少，并且1 n an发散，n1判别n 1 1 ann的敛散性。三、判断下列级数的收敛性：11. 1 n 1 nn n2.(1 cos ) n 1 n3.(nn!n)2n 1 (n!)24.2n nsin 2 n 1 2n四、讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性：1. ( 1)n 1 ln nn 1 n 12.1 s

45、in(n ) n 1 n n五、求下列幂级数的收敛域：nn4n 3n n1. xn 1 n2.(x 1)n n1 n 2nn1六、求级数 ( 1)n的和。n 1 n!七、将下列函数展开成的幂级数，并求展开式成立的区间：1. (x 1)arctan x2.2x(1 x2)2微积分(二)模拟卷1.2.3.4.5.1.填空题：z exy tan y，则 z =. xy正项级数设为圆周已知向量un 满足 un 1 un,n 1,2, ，则un 的敛散性为 .n 1 n 1x2 y2 9， (x2 y2)ds .La, b,c两两互相垂直，且 p a b c (其中设空间区域由曲面 zx2 y2 和 z

46、 1所围成，将三重积分系下的三次积分有 .单项选择题：已知 a, b都是非零向量，且满足关系式aba b ，则(, , 是常数)，则 p .If (x,y,z)d 化为球面坐标A. a b 0B.abD. a b 02. 设 x0 1是幂级数an(x 1)n 1的收敛点，则在 x5 处级数()n0A. 发散 B. 绝对收敛 C. 条件收敛 D. 敛散性不能判定13. 设 zf (x x) y，其中f (u)可导，则 z =(x111x(1 1)f (x x)111x(1 1) f (x x)yyyyyyB.C.D.f 2 2 2(x x)f 2(x x)f 2(x x)f 2(x x)yyyy

47、A.4. 设 MN 是 从 M (1, 1沿) 圆 (x 2)2 y2 2 至 点 N( 22 , 0的) 半 圆 周 ， 则 积 分MNydx xdy (A. B. C. D.22 22225. 两个圆柱体 y2z2R2 ,z2x2R2 公共部分的表面积等于()x2RR2 x2RA4 dxR2R x2dyRR2 x2RB 16 dx dy 0 0R2 x22 x2RC8 0dx 0RR2R x2dyRR2 x2RD 4 dx2 2 dyD 4 0 dx R2 x2 R2 x2 dy三、计算题：1. 设方程 (z y,z x) 0，确定 z z(x, y) ，其中 (u, v)可微，求 .32. 修建一座容积为 Vm3. (x y )dS ，其中为锥面 zx2 y2 与平面 z 4所围成区域的整个边界曲面 . 的形状为长方体的地下仓库，已知仓顶和墙壁每平方米的造价分别是地面每平方 米造价的倍和倍，问如何设计长、宽、高，使它的造价最小 .四、计算下列积分：1. 计算 xydxdy,其中由 0 y 1 x2 围成 .D2. 设 y2dx yf (x)dy 与 积 分 路 径 无 关 ， 其 中 f (x) 连 续 可 导 ， 且 f (0) 0 ， 计 算 L