大学物理实验测量不确定度及数据处理基础知识

1、大学物大学物 理理 实实 验验 测量不确定度及数据处理测量不确定度及数据处理 基础知识基础知识 大学实验物理大学实验物理 测量不确定度及数据处理测量不确定度及数据处理 1. 意义：意义： 物理实验是物理科学的基础，也是物理知识的源泉，加强物理实验物理实验是物理科学的基础，也是物理知识的源泉，加强物理实验 教学是物理教学的时代特征要求，又是提高物理教学质量的先决条件。教学是物理教学的时代特征要求，又是提高物理教学质量的先决条件。 2. 任务：任务： （1）学习实验的基本知识、基本方法和基本技能，包括一些典型的）学习实验的基本知识、基本方法和基本技能，包括一些典型的 实验方法及其物理思想，并通过实

2、验加深对理论知识的理解。实验方法及其物理思想，并通过实验加深对理论知识的理解。 （2）正确掌握常用物理实验仪器、仪表的使用、调整及操作方法。）正确掌握常用物理实验仪器、仪表的使用、调整及操作方法。 （3）培养学生初步具有正确使用仪器进行测量、处理数据、分析结）培养学生初步具有正确使用仪器进行测量、处理数据、分析结 果以及撰写实验报告等方面的能力。果以及撰写实验报告等方面的能力。 （4）培养科学态度）培养科学态度工作作风、钻研精神、坚强意志、良好品质和工作作风、钻研精神、坚强意志、良好品质和 良好习惯。良好习惯。 实验手段实验手段(仪器、设备仪器、设备)的发展的发展 从对现象的观测、实验方案的设

3、计、过程控制以及资料分析、结从对现象的观测、实验方案的设计、过程控制以及资料分析、结 果归纳等一系列方法，在前人积累和现代科学技术的基础上，发展果归纳等一系列方法，在前人积累和现代科学技术的基础上，发展 成较完整的系统。成较完整的系统。 综合了数学、物理等学科的成就，形成了实验的数据处理、误差综合了数学、物理等学科的成就，形成了实验的数据处理、误差 分析的严格理论体系。分析的严格理论体系。 综合利用了多学科和多种专业技术的交叉，形成了实验物理学的综合利用了多学科和多种专业技术的交叉，形成了实验物理学的 独立科学技术体系并日益得到发展和完善。独立科学技术体系并日益得到发展和完善。 一、通过对实验

4、现象的观察、分析和实验数据测量的学习，使学一、通过对实验现象的观察、分析和实验数据测量的学习，使学 生掌握实验的基本知识、基本方法和基本技能，并通过实验加深生掌握实验的基本知识、基本方法和基本技能，并通过实验加深 对理论知识的理解，促进理论知识的学习。对理论知识的理解，促进理论知识的学习。 二、使学生学会常用的实验仪器的调整及仪器的正确使用方法。二、使学生学会常用的实验仪器的调整及仪器的正确使用方法。 三、通过实验学习，使学生初步具备数据处理、实验结果分析、三、通过实验学习，使学生初步具备数据处理、实验结果分析、 实验误差分析以及撰写实验报告的能力。实验误差分析以及撰写实验报告的能力。 四、通

5、过一些设计性实验，初步培养学生运用所学的知识和掌握四、通过一些设计性实验，初步培养学生运用所学的知识和掌握 的实验能力进行再创造的创新能力。的实验能力进行再创造的创新能力。 五、培养学生严谨的、一丝不苟的科学实验态度和实事求是的工五、培养学生严谨的、一丝不苟的科学实验态度和实事求是的工 作作风。作作风。 学生实验前的准备学生实验前的准备 实验操作实验操作 撰写实验报告撰写实验报告 遵守实验规则遵守实验规则 学生实验前的准备学生实验前的准备 以实验目的为中心，掌握实验原理以实验目的为中心，掌握实验原理(包括测量公式包括测量公式)；熟悉实验操作；熟悉实验操作 要点、数据处理及其分析方法等。要点、数

6、据处理及其分析方法等。 撰撰 写写 实实 验验 报报 告告 培养学生以书面形式总结工作和科学实验结果的能力培养学生以书面形式总结工作和科学实验结果的能力 实验名称、实验目的、实验原理、实验步骤、原始数据记录、实验数据处理、实验名称、实验目的、实验原理、实验步骤、原始数据记录、实验数据处理、 实验结论以及实验的时间、地点、实验合作者等。实验结论以及实验的时间、地点、实验合作者等。 注明实验日期和具体时间，地点，天气、温度、气压和同组者。注明实验日期和具体时间，地点，天气、温度、气压和同组者。 实验题目实验题目 实验目的实验目的 即在实验中要解决的问题。即在实验中要解决的问题。 实验原理实验原理

7、用自己的语言简短扼要地阐述实验原理，表示出实验原理图、电路图用自己的语言简短扼要地阐述实验原理，表示出实验原理图、电路图 ，写出实验，写出实验 所用的主要公式所用的主要公式 ，说明式中各物理量的意义和单位，以及公式适用条件，说明式中各物理量的意义和单位，以及公式适用条件( (或实验或实验 必要条件必要条件) )。 实验仪器：实验仪器： 主要要写清仪器型号、规格、编号和性能指标主要要写清仪器型号、规格、编号和性能指标 实验内容或实验步骤实验内容或实验步骤 实验记录。实验记录。 数据处理与计算数据处理与计算 实验讨论及作业实验讨论及作业 1.1.在课程表规定时间内到实验室进行实验，不得无故缺席或迟

8、到。在课程表规定时间内到实验室进行实验，不得无故缺席或迟到。 实验时间若要变动，须经实验室同意。实验时间若要变动，须经实验室同意。 2.2.实验前进行预习，并写出预习报告。实验前进行预习，并写出预习报告。 3.3.进入实验室后，应将预习报告放在桌上由教师检查，并回答教进入实验室后，应将预习报告放在桌上由教师检查，并回答教 师的提问，经过教师检查认为合格后，才可以进行实验。师的提问，经过教师检查认为合格后，才可以进行实验。 4.4.实验时应携带必要的物品，如文具、计算器和草稿纸等。对于实验时应携带必要的物品，如文具、计算器和草稿纸等。对于 需要作图的实验应事先准备毫米方格纸和铅笔。需要作图的实验

9、应事先准备毫米方格纸和铅笔。 5.5.进入实验室后，首先根据实验卡片或仪器清单核对自己使用的进入实验室后，首先根据实验卡片或仪器清单核对自己使用的 仪器是否缺少或损坏。若发现有问题，应向教师或实验室管理员仪器是否缺少或损坏。若发现有问题，应向教师或实验室管理员 提出。未列入清单的仪器，另向管理员借用，实验完毕后归还。提出。未列入清单的仪器，另向管理员借用，实验完毕后归还。 6 6.实验前应细心观察仪器构造，操作应谨慎细心，严格遵守各种仪器仪实验前应细心观察仪器构造，操作应谨慎细心，严格遵守各种仪器仪 表的操作规则及注意事项。尤其是电学实验，线路接好后先经教师或表的操作规则及注意事项。尤其是电学

10、实验，线路接好后先经教师或 实验室工作人员检查，经许可后才可接通电路，以免发生意外。实验室工作人员检查，经许可后才可接通电路，以免发生意外。 7.7.实验完毕前应将实验数据交给教师检查，实验合格者教师予以签字实验完毕前应将实验数据交给教师检查，实验合格者教师予以签字 通过。余下时间在实验室内进行实验计算与做作业题，待下课后方可通过。余下时间在实验室内进行实验计算与做作业题，待下课后方可 离开。实验不合格或请假缺课的学生，由指导教师登记，通知在规定离开。实验不合格或请假缺课的学生，由指导教师登记，通知在规定 时间内补做。时间内补做。 8.实验时应注意保持实验室整洁、安静。实验完毕应将仪器、桌椅恢

11、复实验时应注意保持实验室整洁、安静。实验完毕应将仪器、桌椅恢复 原状，放置整齐。原状，放置整齐。 9.如有仪器损坏应及时报告教师或实验室工作人员，并填写损坏单，注如有仪器损坏应及时报告教师或实验室工作人员，并填写损坏单，注 明损坏原因。赔偿办法根据学校规定处理。明损坏原因。赔偿办法根据学校规定处理。 成绩评定原则成绩评定原则 物理实验成绩根据“平时成绩”和” 实验设计、操作，论文” 成绩综合评定， 各占80和20。 “平时成绩平时成绩考察学生”预习报告、出勤、 实验操作和实验报告四方面。 ”实验设计、操作，论文实验设计、操作，论文”成绩成绩包括学生根 据所学知识自己设计、制作、操作实验 或设备

12、，或者对实验内容的理论研究， 以论文形式完成。 测量与误差测量与误差 测量就是借助一定的仪器或量具，通过一定的实验测量就是借助一定的仪器或量具，通过一定的实验 方法将待测量与一个选作单位的同类量进行比，其倍数方法将待测量与一个选作单位的同类量进行比，其倍数 即为该待测量的测量值即为该待测量的测量值。 测量值测量值 单位单位 实验环境实验环境 实验仪器实验仪器 实验方法实验方法 实验操作者实验操作者 直接测量直接测量 直接将待测物理量与选定的同类物理量的标准单位相比较直接将待测物理量与选定的同类物理量的标准单位相比较 得到测量值。比如用游标卡尺测量某一圆柱体的外径；用秒表得到测量值。比如用游标卡

13、尺测量某一圆柱体的外径；用秒表 测量时间等。测量时间等。 间接测量间接测量 利用直接测量的量与被测量之间的已知函数关系，求得该利用直接测量的量与被测量之间的已知函数关系，求得该 被测物理量。例如，通过测量流过某一电阻的电流和其两端的被测物理量。例如，通过测量流过某一电阻的电流和其两端的 电压而求得的电阻值即为间接测量量，而电流和电压为直接测电压而求得的电阻值即为间接测量量，而电流和电压为直接测 量量。量量。 直接测量和间接测量的关系直接测量和间接测量的关系 对某一物理量进行测量时，采用一种方法时，可能为直接对某一物理量进行测量时，采用一种方法时，可能为直接 测量量，而采用另一种方法是由可谓间接

14、测量量。当时用万用测量量，而采用另一种方法是由可谓间接测量量。当时用万用 表测量电阻时得到的测量值就为直接测量值，而非间接测量值表测量电阻时得到的测量值就为直接测量值，而非间接测量值 了。了。 在相同的条件下，对某一物理量在相同的条件下，对某一物理量 进行多次测量得到的一组进行多次测量得到的一组 测量值测量值 称作等精度测量。称作等精度测量。 x n xxxx、 321 指同一时间地点、同一人、相同的测量仪器和指同一时间地点、同一人、相同的测量仪器和 测量环境等条件。测量环境等条件。 在不同测量的条件下，对某一物理量进行多次测量，所得的在不同测量的条件下，对某一物理量进行多次测量，所得的 测量

15、值的精确程度不能认为是相同的，称作非等精度测量。测量值的精确程度不能认为是相同的，称作非等精度测量。 三、误差及其分类三、误差及其分类 误差定义：测量值与真实值之差称为误差定义：测量值与真实值之差称为误差误差， 即即 误差误差 测量值真值测量值真值 0 nn n 测量误差又称测量误差又称绝对误差绝对误差。 真实值无 法知晓？ （一）（一）根据误差的表示方式，误差分为：根据误差的表示方式，误差分为： 1 1、绝对误差：绝对误差： 2 2、相对误差：相对误差：把绝对误差与真实值之比叫把绝对误差与真实值之比叫相对误差相对误差，即，即 %100 0 n n er （二）根据误差产生的原因及误差的性质分

16、为：（二）根据误差产生的原因及误差的性质分为： 1. 1.系统误差系统误差 2. 2.随机误差（偶然误差）随机误差（偶然误差） 3. 3.过失误差（粗差，异常值）过失误差（粗差，异常值） (4)(4)系统误差服从的规律系统误差服从的规律 不变的系统误差不变的系统误差: :误差的符号和大小都固定不变误差的符号和大小都固定不变 线性变化的系统误差线性变化的系统误差: :误差值随某些因素作线性变化的误差值随某些因素作线性变化的 系统误差系统误差 周期性变化的系统误差周期性变化的系统误差: :测量值随某些因素按周期性变测量值随某些因素按周期性变 化的误差，称为周期性变化化的误差，称为周期性变化 复杂规

17、律变化的系统误差复杂规律变化的系统误差: :误差是按确定的且复杂规律误差是按确定的且复杂规律 变化变化 (5)(5)系统误差的发现系统误差的发现 在测量过程中形成系统误差的因素是复杂的，目前还没有能够适在测量过程中形成系统误差的因素是复杂的，目前还没有能够适 用于发现各种系统误差的普遍方法，只有根据具体测量过程和测量仪用于发现各种系统误差的普遍方法，只有根据具体测量过程和测量仪 器进行全面的仔细分析，针对不同情况合理选择一种或几种方法加以器进行全面的仔细分析，针对不同情况合理选择一种或几种方法加以 校验，才能最终确定有无系统误差。常用方法有：校验，才能最终确定有无系统误差。常用方法有： 实验对

18、比法：实验对比法： 主要适用于发现固定系统误差，其基本思想是改变产生系统误差的条件，主要适用于发现固定系统误差，其基本思想是改变产生系统误差的条件， 进行不同条件的测量。进行不同条件的测量。 理论分析法：理论分析法： 主要进行定性分析来判断是否有系统误差。如分析仪器所要求的工作条件主要进行定性分析来判断是否有系统误差。如分析仪器所要求的工作条件 是否满足，实验依据的理论公式所要求的条件在测量过程中是否满足，如果是否满足，实验依据的理论公式所要求的条件在测量过程中是否满足，如果 这些要求没有满足，则实验必有系统误差。这些要求没有满足，则实验必有系统误差。 数据分析法：数据分析法： 主要进行定量分

19、析来判断是否有系统误差。一般可采用残余误差观察法、主要进行定量分析来判断是否有系统误差。一般可采用残余误差观察法、 残余误差校验法、不同公式计算标准差比较法、计算数据比较法、检验法、残余误差校验法、不同公式计算标准差比较法、计算数据比较法、检验法、 秩和检验法等方法。秩和检验法等方法。 由于测量方法、测量对象、测量环境及测量人员不尽相同，因而没有一由于测量方法、测量对象、测量环境及测量人员不尽相同，因而没有一 个普遍适用的方法来减小或消除系统误差。下面介绍几种减小和消除系统个普遍适用的方法来减小或消除系统误差。下面介绍几种减小和消除系统 误差的方法和途径误差的方法和途径。 这是消除系统误差最根

20、本的方法，通过对实验过程中的各个环节进行这是消除系统误差最根本的方法，通过对实验过程中的各个环节进行 认真仔细分析，发现产生系统误差的各种因素。认真仔细分析，发现产生系统误差的各种因素。 从产生系统误差的从产生系统误差的根源根源上消除上消除 措施：措施： 采用近似性较好又比较切合实际的理论公式，尽可能满足理论公式采用近似性较好又比较切合实际的理论公式，尽可能满足理论公式 所要求的实验条件；选用能满足测量误差所要求的实验仪器装置，严格所要求的实验条件；选用能满足测量误差所要求的实验仪器装置，严格 保证仪器设备所要求的测量条件；采用多人合作，重复实验的方法。保证仪器设备所要求的测量条件；采用多人合

21、作，重复实验的方法。 引入修正项消除系统误差引入修正项消除系统误差 采用能消除系统误差的方法进行测量采用能消除系统误差的方法进行测量 对于某种固定的或有规律变化的系统误差，可以采用交换法、抵消法、对于某种固定的或有规律变化的系统误差，可以采用交换法、抵消法、 补偿法、对称测量法、半周期偶数次测量法等特殊方法进行清除。补偿法、对称测量法、半周期偶数次测量法等特殊方法进行清除。 对称性。对称性。测量值与真值相比，大于或小于某量的可能性是相等的。测量值与真值相比，大于或小于某量的可能性是相等的。 有界性。有界性。在一定的测量条件下，误差的绝对值不会超过一定的限度。在一定的测量条件下，误差的绝对值不会

22、超过一定的限度。 抵偿性。抵偿性。随机误差的算术平均值随测量次数的增加越来越小。随机误差的算术平均值随测量次数的增加越来越小。 单峰性。单峰性。测量值与真值相差越小，在测量中出现的可能性越大；测量值与真值相差越小，在测量中出现的可能性越大； 测量值与真值相差越大，则出现的可能性越小。如图测量值与真值相差越大，则出现的可能性越小。如图1 1所示，当误差所示，当误差 呈现正态分布、矩形分布和三角分布时，随机误差具有单峰性。呈现正态分布、矩形分布和三角分布时，随机误差具有单峰性。 上面分别单独讨论了系统误差和随机误差，即在不考虑随机误差的情况下上面分别单独讨论了系统误差和随机误差，即在不考虑随机误差

23、的情况下 研究系统误差，和在不考虑系统误差的情况下研究随机误差。然而在实际情况研究系统误差，和在不考虑系统误差的情况下研究随机误差。然而在实际情况 下，对于任何一次实验，既存在着系统误差又存在着随机误差，只存在一种误下，对于任何一次实验，既存在着系统误差又存在着随机误差，只存在一种误 差的实验是不存在的。当然在有些实验中，以系统误差为主，有些实验中以随差的实验是不存在的。当然在有些实验中，以系统误差为主，有些实验中以随 机误差为主。机误差为主。 系统误差的特点是具有恒定性或规律性，随机误差的特点是随机性，系统误差的特点是具有恒定性或规律性，随机误差的特点是随机性， 就其特点而言，似乎这两类误差

24、是可绝然分开的，实际上并非完全如此。比如就其特点而言，似乎这两类误差是可绝然分开的，实际上并非完全如此。比如 分析用刻度不均匀的米尺测量长度时带来的误差。对于米尺上某一确定位置的分析用刻度不均匀的米尺测量长度时带来的误差。对于米尺上某一确定位置的 刻度值与真值间的误差，不论测量多少次都不会改变，显然这个误差是系统误刻度值与真值间的误差，不论测量多少次都不会改变，显然这个误差是系统误 差；但对于米尺各处来讲，每个确定位置的刻度值与真值之间的误差的大小和差；但对于米尺各处来讲，每个确定位置的刻度值与真值之间的误差的大小和 方向都是不确定的，具有随机性，显然是随机误差。再比如某实验人员在读数方向都是

25、不确定的，具有随机性，显然是随机误差。再比如某实验人员在读数 时总是习惯偏向一方，产生的误差是系统误差；而另一实验人员在读数时没有时总是习惯偏向一方，产生的误差是系统误差；而另一实验人员在读数时没有 偏向一边的习惯，而是有时偏左，有时偏右，产生的误差无疑是随机误差。系偏向一边的习惯，而是有时偏左，有时偏右，产生的误差无疑是随机误差。系 统误差和随机误差的这种关系反映出这种分类方式的缺陷，实验不确定度（见统误差和随机误差的这种关系反映出这种分类方式的缺陷，实验不确定度（见 第四节）就可以克服这种缺陷。第四节）就可以克服这种缺陷。 在测量中还可能出现错误，如读数错误、记录错在测量中还可能出现错误，

26、如读数错误、记录错 误、操作错误、计算错误等，由此产生的误差称作误、操作错误、计算错误等，由此产生的误差称作 。这种错误已不属于正常的测量工作范畴，实。这种错误已不属于正常的测量工作范畴，实 验中应当尽量避免。克服错误的方法，除端正工作态验中应当尽量避免。克服错误的方法，除端正工作态 度、保证操作方法无误外，可用与另一次测量结果相度、保证操作方法无误外，可用与另一次测量结果相 比较的办法发现并纠正。含有过失误差的测量值往往比较的办法发现并纠正。含有过失误差的测量值往往 较大地偏离正常测量值，称作坏值，应当在数据分析较大地偏离正常测量值，称作坏值，应当在数据分析 处理过程中给予剔除。处理过程中给

27、予剔除。 精密度是指重复测量所得的结果相互接近（或离散）的程度，精密精密度是指重复测量所得的结果相互接近（或离散）的程度，精密 度的高低反映随机误差的大小。即精密度越高，数据越接近，随机误差度的高低反映随机误差的大小。即精密度越高，数据越接近，随机误差 越小；反之随机误差就越大。越小；反之随机误差就越大。 正确度是指测量值或实验结果与真值的符合程度，它的高低反映系正确度是指测量值或实验结果与真值的符合程度，它的高低反映系 统误差的大小。即正确度越高，测量值越接近真值，系统误差就越小；统误差的大小。即正确度越高，测量值越接近真值，系统误差就越小； 反之，系统误差就越大。反之，系统误差就越大。 准

28、确度（又称精确度）是精密度准确度（又称精确度）是精密度 和正确度的综合反映。当随机误差小和正确度的综合反映。当随机误差小 到可以忽略不计时，准确度等于正确到可以忽略不计时，准确度等于正确 度；当系统误差小到可以忽略或得到度；当系统误差小到可以忽略或得到 修正消除时，准确度等于精密度。两修正消除时，准确度等于精密度。两 者都高，准确度就高；两者之一低或者都高，准确度就高；两者之一低或 都低，则准确度低。都低，则准确度低。 ：绝对误差和相对误差。绝对误差和相对误差。 表示测量结果表示测量结果 与真值与真值 间的相差范围，正负号间的相差范围，正负号 “” 表示测量结果表示测量结果 可能比可能比 大或

29、者比大或者比 小。由测量结果及其绝对误小。由测量结果及其绝对误 差可以看出，真值所在的可能范围为差可以看出，真值所在的可能范围为 ，或简写为，或简写为 。 ： 表示绝对误差在所测物理量中所占的比重，一般用百分比表示。表示绝对误差在所测物理量中所占的比重，一般用百分比表示。 ( (单位单位) ) x xx x xxx 100% r xx e xx x x xxxxx ()xxx 100% r x e x 一、单次直接测量的误差估计在一般情况下，可用仪器一、单次直接测量的误差估计在一般情况下，可用仪器 误差误差仪 仪 ( (仪器出厂时的检定 仪器出厂时的检定) )作为绝对误差。作为绝对误差。 1.

30、1.对于连续读数仪表，误差取最小分度值的一半；对于连续读数仪表，误差取最小分度值的一半； 2.对于有游标的量具和非连续读数的仪表，误差对于有游标的量具和非连续读数的仪表，误差仪 仪取最小分度值； 取最小分度值； 3.对于某些仪器，其不确定度限值对于某些仪器，其不确定度限值仪 仪需要计算 需要计算： （a）指针式电表的）指针式电表的等于量程与等级的乘积等于量程与等级的乘积 （b）电阻箱的）电阻箱的等于示值乘以等级再加上零值电阻等于示值乘以等级再加上零值电阻 （c）用天平测量物体质量的）用天平测量物体质量的等于各砝码不确定度之和等于各砝码不确定度之和 等精度测量：等精度测量： 是指测量条件完全相同

31、的多次测量。相同的条件是是指测量条件完全相同的多次测量。相同的条件是 指相同的观测者、相同的仪器、相同的测量环境等等。指相同的观测者、相同的仪器、相同的测量环境等等。 12 1 11 () n ni i xxxxx nn ni xxxx， 21 n x 假设对某一物理量进行了假设对某一物理量进行了 次等精度测量，其测量次等精度测量，其测量 值分别为值分别为，则，则的算术平均值的算术平均值 因真值不可知，故将测量值的算术平均值作为测得值因真值不可知，故将测量值的算术平均值作为测得值 的最佳估计值。的最佳估计值。 设每一次测量值与算术平均值的差值为设每一次测量值与算术平均值的差值为 1122nn

32、xx =xx =xx =， ， 在普通物理实验中，通常采用算术平均误差作为绝对误差范围在普通物理实验中，通常采用算术平均误差作为绝对误差范围 12 1 () n x n xx x 它表示对物理量它表示对物理量 做任意一次测量，测量误差出现在做任意一次测量，测量误差出现在 到到 之间的概率为之间的概率为5858 相对误差相对误差100% r x e x 当测量次数当测量次数 无限多时，各测量值无限多时，各测量值 的误差的误差 平方平均值的平方根，称作平方平均值的平方根，称作， 用用 表示，即表示，即 ii x x i xn 22 222 1211 () . nn ii nii xx nnn x

33、2 222 2 121 1 1 () 111 n in ni xi i d ddd xx nnn xxd ii 标准偏差的物理意义标准偏差的物理意义 多次测量的随机误差遵从正态分布，那么任意一次测量，测量多次测量的随机误差遵从正态分布，那么任意一次测量，测量 值误差落在值误差落在 到到 之间的可能性为之间的可能性为68.368.3，或者说，对某，或者说，对某 一次测量结果，真值在区间一次测量结果，真值在区间 内到内到 的概率为的概率为68.368.3。 x x x x x x ox 68.3% )(xf x x x x x x x2 95.4 % x x2 x x3 x x3 99.7% 3

34、99.7% 极限极限 误差误差 经理论推导测量值算术平均值的标准误差经理论推导测量值算术平均值的标准误差 为：为： x 2 1 () (1) n i ix x xx nnn n 1n x x 平均值的标准误差是平均值的标准误差是 次测量中任一次测量值标准误差的次测量中任一次测量值标准误差的 倍。倍。 其物理意义是，在多次测量的随机误差遵从正态分布的条件下，对多其物理意义是，在多次测量的随机误差遵从正态分布的条件下，对多 次测量结果，真值在区间次测量结果，真值在区间 内的概率为内的概率为68.368.3。 例：例： 用电位差计测量某一电阻的端电压用电位差计测量某一电阻的端电压6 6次，测量数据列

35、入次，测量数据列入 下表，试表达测量结果。下表，试表达测量结果。 次数次数 1 12 23 34 45 56 6 ( (电压电压) )15.52615.52615.52915.52915.53015.53015.52815.52815.52715.52715.52815.528 6 1 11 (15.52615.52915.53015.528 15.52715.528)15.528 66 i i vv 解：其算术平均值为解：其算术平均值为 12 34 56 15.526 15.5280.00215.529 15.5280.001 15.530 15.5280.00215.528 15.5280

36、.000 15.527 15.5280.00115.528 15.5280.000 dd dd dd ； ； ； 平均值的标准误差为：平均值的标准误差为： 2 2222226 4 1 () (212010 ) 10 5.16 10 (1)6(61) n i i v vv n n 15.5280.001 v vv 0.001 100%100%0.006% 15.528 v r e v 直接测量所得的结果都是有误差的，显然由直接测量值直接测量所得的结果都是有误差的，显然由直接测量值 经过运算而得到的间接测量值也有误差。由直接测量值的误差估算经过运算而得到的间接测量值也有误差。由直接测量值的误差估算

37、 间接测量误差的方法叫做误差传递。间接测量误差的方法叫做误差传递。 设：设：),( 21n xxxfn 将上式求全微分，得将上式求全微分，得 n n dx x f dx x f dx x f dx x f dn 3 3 2 2 1 1 n n x x f x x f x x f x x f n 3 3 2 2 1 1 ),( 321n xxxxf n n n e 123 2222 123 ()()()() n nxxxx n ffff xxxx 若各直接测量值的绝对误差分别为标准误差若各直接测量值的绝对误差分别为标准误差 则间接测量值的误差估算需要用误差的方根合成，即则间接测量值的误差估算需要

38、用误差的方根合成，即 ),( 321n nn r xxxxfn e 例例2 2 某一长度，某一长度， ，其中，其中， ； ； 试计算其结果及误差。试计算其结果及误差。 4321 xxxxlmm.x0500050 1 mm.x050054 2 mm.x0506312 3 mm.x00500131 4 解：解： mm.l3234)003163120540050( mmmm l 09. 0005. 005. 005. 005. 0 2222 mm l ll)09. 032.34( %3 . 0%100 32.34 09. 0 l e l r 例例3 3： 用螺旋测微器分别测量某圆柱体不同部位的直径用

39、螺旋测微器分别测量某圆柱体不同部位的直径 和不同部位的高和不同部位的高 各各 8 8次，得到下列数据，表示出结果。次，得到下列数据，表示出结果。 dh /n d/cm cmh/ ( (次数次数) )1 12 23 34 45 56 67 78 8平均值平均值 ( (直直径径) )1.64991.64991.65911.65911.64761.64761.65861.65861.64791.64791.64821.64821.64921.64921.64891.64891.64871.6487 ( (高高) )2.00042.00041.99931.99932.00002.00002.00102

40、.00102.00102.00102.00152.00151.99951.99951.99901.99902.00022.0002 cmcmdcmcmd cmcmdcmcmd cmcmdcmcmd cmcmdcmcmd 0002. 06487. 16489. 10005. 06487. 16492. 1 0005. 06487. 16482. 10008. 06487. 16479. 1 0001. 06487. 16486. 10011. 06487. 16476. 1 0004. 06487. 16491. 10012. 06487. 16499. 1 87 65 43 21 ， ， ，

41、， 解：各测量值偏差的绝对值分别为解：各测量值偏差的绝对值分别为 18 0002. 00005. 00005. 00008. 00001. 00011. 00004. 00012. 0 22222222 1 )( 1 2 n dd n i i d 同理可以求出同理可以求出cm h 0009. 0 圆柱体的体积圆柱体的体积 hdv 2 4 1 cmcm0002. 2)6487. 1 (14159. 3 4 1 2 3 27024cm. v e v r %1 . 0 0002. 2 0009. 0 6487. 1 0008. 022 2222 hd hd 33 004. 0%1 . 02702.

42、4cmcmver v 3 )004. 0270. 4(cmvv v 测量结果为：测量结果为： 即使采用了正确的测量方法，由于测量仪器和测量者的问题，即使采用了正确的测量方法，由于测量仪器和测量者的问题， 测量结果仍不可能是绝对准确的，它必然有不确定的成分。实际测量结果仍不可能是绝对准确的，它必然有不确定的成分。实际 上，这种不确定的程度是可以用一种科学的、合理的、公认的方上，这种不确定的程度是可以用一种科学的、合理的、公认的方 法来表征，这就是法来表征，这就是“不确定度不确定度”的评定，在测量方法正确的情况的评定，在测量方法正确的情况 下，不确定度愈小，表示测量结果愈可靠。下，不确定度愈小，表

43、示测量结果愈可靠。 不确定度必须正确评价。评价得过大，在实验中会怀疑结果的不确定度必须正确评价。评价得过大，在实验中会怀疑结果的 正确性而不能果断地作出判断，在生产中会因测量结果不能满足要正确性而不能果断地作出判断，在生产中会因测量结果不能满足要 求而需再投资，造成浪费；评价得过小，在实验中可能得出错误的求而需再投资，造成浪费；评价得过小，在实验中可能得出错误的 结论；在生产中则产品质量不能保证，造成危害。结论；在生产中则产品质量不能保证，造成危害。 不确定度是表征测量结果具有分散性的一个参数，不确定度是表征测量结果具有分散性的一个参数， 它是被测量的真值在某一量值范围内的一个评定。它是被测量

44、的真值在某一量值范围内的一个评定。 不确定度根据其性质和估算方法不同，可分为不确定度根据其性质和估算方法不同，可分为a a类类不确不确 定度和定度和b b类类不确定度。不确定度。a a类类不确定度是被测量列能用统计不确定度是被测量列能用统计 方法估算出来的不确定度分量，用实验标准差表征，即方法估算出来的不确定度分量，用实验标准差表征，即 为为 ；b b类类不确定度则是不能用统计方法估算的所有不不确定度则是不能用统计方法估算的所有不 确定度分量，用确定度分量，用 表示。表示。 a b u a a类类不确定度分量的估算，直接由测量列平均值的标不确定度分量的估算，直接由测量列平均值的标 准误差公式来

45、计算。即准误差公式来计算。即 2 1 1 () (1) n ai x i xx n nn b b类类不确定度分量的估算，最常用的方法是不确定度分量的估算，最常用的方法是 采用近似标准差估算非统计不确定度。采用近似标准差估算非统计不确定度。 当非统计不确定度相应的估计误差为高斯当非统计不确定度相应的估计误差为高斯 分布时有：分布时有： 当非统计不确定度相应的估计误差为均匀分当非统计不确定度相应的估计误差为均匀分 布布( (方法、环境、数字仪表等误差分布方法、环境、数字仪表等误差分布) )时有：时有： 3 b u 3 b u 仪仪器器 为非统计不确定度相应的估计误差限，通常为非统计不确定度相应的估

46、计误差限，通常 合成不确定度，即合成不确定度，即a a类和类和b b类不确定度的总和，其合类不确定度的总和，其合 成公式为：成公式为： k j j k j j u 1 2 1 2 式中，式中， 为合成不确定度；为合成不确定度； 为任一为任一a a类不确定度分量，类不确定度分量， 为任为任 一一b b类类不确定度分量。不确定度分量。 j j u 上式为合成不确定度的计算公式，它是由多个彼此间相上式为合成不确定度的计算公式，它是由多个彼此间相 互独立的统计和非统计不确定度的方根和。合成不确定度互独立的统计和非统计不确定度的方根和。合成不确定度 表明在测量过程中所有不确定度因素对测量结果的合成影表明

47、在测量过程中所有不确定度因素对测量结果的合成影 响。响。 是以确定的置信概率所给出的与合成不确定度成是以确定的置信概率所给出的与合成不确定度成 正比的置信区间。即正比的置信区间。即 cu 式中，式中， 为总不确定度；为总不确定度； 为置信因子；为置信因子； 为合成不确定度。为合成不确定度。 uc 当置信概率为当置信概率为99.799.7时，置信因子时，置信因子 为为3 3。 c c 总不确定度即在一定置信概率下所对应的置信区间的范围。总不确定度即在一定置信概率下所对应的置信区间的范围。 当置信概率为当置信概率为68.3时，置信因子时，置信因子 为为1 c 当置信概率为当置信概率为95.4时，置

48、信因子时，置信因子 为为2 一般物理实验中取与标准差相对应的置信概率一般物理实验中取与标准差相对应的置信概率68.3，故总不确定度，故总不确定度 就等于合成不确定度。就等于合成不确定度。 由直接测量量的不确定度引起的间接测量量的不由直接测量量的不确定度引起的间接测量量的不 确定度传递公式，如同标准差传递公式一样。设间接确定度传递公式，如同标准差传递公式一样。设间接 测量量测量量n n的函数为的函数为 ，则，则,cbaf 2 3 2 2 2 1 )()()( 321 xxxn x f x f x f 2 3 2 2 2 1 )()()( 1 321 xxx n x f x f x f nn 用总

49、不确定度表示测量结果的形式为用总不确定度表示测量结果的形式为 nnup=( )(单位) (写出置信度 值) 当置信度当置信度 时，时， ，则，则 ( (单位单位) ( ) ( ，可不写，可不写) ) 当置信度当置信度 时，时， ，则，则 ( (单位单位) ( ) ( ) 当置信度当置信度 时，时， ，则，则 ( (单位单位) ( ) ( ) 683. 0pu nn683. 0p 2u954. 0p 9970.p 954. 0p2 nn 3u 3 nn997. 0p 1、有效数字的基本概念、有效数字的基本概念 有效数字有效数字=准确数字准确数字+存疑数字存疑数字 有效数字来源于测量时所用的仪器有

50、效数字来源于测量时所用的仪器 2、有效数字的特点、有效数字的特点 （1）位数与小数点的位置无关。）位数与小数点的位置无关。 35.76cm = 0.3576m = 0.0003576km （2）0 的地位的地位 0.0003576 3.005 3.000 都是四位都是四位 （3）科学计数法）科学计数法 3.57610-1 3.756102 h=6.62610-34 js 1、一般读数应读到最小分度，然后再估读一位。、一般读数应读到最小分度，然后再估读一位。 2、有时读数的估计位，就取在最小分度位。、有时读数的估计位，就取在最小分度位。例如，仪器的最小分度值例如，仪器的最小分度值 为为0.5，则

51、，则0.1-0.4,0.6-0.9都是估计的，不必估到下一位。都是估计的，不必估到下一位。 3、游标类量具，读到游标分度值。、游标类量具，读到游标分度值。多数情况下不估读，特殊情况估读多数情况下不估读，特殊情况估读 到游标分度值的一半。到游标分度值的一半。 4、数字式仪表及步进读数仪器不需估读。、数字式仪表及步进读数仪器不需估读。 5、特殊情况，直读数据的有效数字由仪器的灵敏阈决定、特殊情况，直读数据的有效数字由仪器的灵敏阈决定。例如在。例如在“灵灵 敏电流计研究敏电流计研究”中，测临界电阻时，调节电阻箱中，测临界电阻时，调节电阻箱“10” 仪器才刚仪器才刚 有反应，尽管最小步进值为有反应，尽

52、管最小步进值为“0.1”，电阻值只记录到，电阻值只记录到“10”。 6、若测量值恰为整数，必须补零，直补到可疑位。、若测量值恰为整数，必须补零，直补到可疑位。 总的原则是：总的原则是： 准确数字与准确数字进行四则运算时，其结果仍为准确数字。准确数字与准确数字进行四则运算时，其结果仍为准确数字。 准确数字与存疑数字以及存疑数字与存疑数字进行四则运算准确数字与存疑数字以及存疑数字与存疑数字进行四则运算 时，其结果均为存疑数字。时，其结果均为存疑数字。 在最后的结果中只保留一位存疑数字，其后的数字是无意义在最后的结果中只保留一位存疑数字，其后的数字是无意义 的，应按有效数字舍入规则截去。的，应按有效

53、数字舍入规则截去。 （1）加、减运算中，和或差的存疑数字所占数位，与参与运算）加、减运算中，和或差的存疑数字所占数位，与参与运算 的各数据项上存疑数字所占数位最高的相同。例如：的各数据项上存疑数字所占数位最高的相同。例如： 748126648124632478. 9457845437249. （2）在乘、除运算时，积或商所包含的有效数字位数，与参与）在乘、除运算时，积或商所包含的有效数字位数，与参与 运算的各数据项中有效数字位数最少的那个相同。例如：运算的各数据项中有效数字位数最少的那个相同。例如： 4 1099155449199235834. 213146711351942569. （3）乘

54、方、开方运算最后结果的有效数字位数一般取与底数的）乘方、开方运算最后结果的有效数字位数一般取与底数的 有效数字位数相同。例如：有效数字位数相同。例如： 66535327 2 .).( 375832. （4）常数）常数 、e及乘子及乘子21/2等的有效数字位数可以认为是无限的，等的有效数字位数可以认为是无限的， 应直接根据计算器上的计算结果取用。应直接根据计算器上的计算结果取用。 以上这些结论，在一般情况下是成立的，有时会有一位的出入。以上这些结论，在一般情况下是成立的，有时会有一位的出入。 为了防止数字截尾后运算引入新误差，在中间过程，参与运算的数为了防止数字截尾后运算引入新误差，在中间过程，

55、参与运算的数 据可多取一位有效数字。合成不确定度时也可按此原则处理，最后据可多取一位有效数字。合成不确定度时也可按此原则处理，最后 得到的总不确定度按不确定度的取位规则来取位。得到的总不确定度按不确定度的取位规则来取位。 从获得原始数据到得出结论为止的数据加工过程从获得原始数据到得出结论为止的数据加工过程 若对某一物理量进行了多次测量，或要测量几个量之间的函数关系若对某一物理量进行了多次测量，或要测量几个量之间的函数关系 时，一般要用列表法处理数据。时，一般要用列表法处理数据。 优点：优点： 使大批数据条理化，清晰醒目，易于检查数据，发现问题，有利使大批数据条理化，清晰醒目，易于检查数据，发现问题，有利 于反映物理量之间的对应关系。于反映物理量之间的对应关系。 作图规则：作图规则： （1）选择合适的坐标分度值。）选择合适的坐标分度值。要反映出测量值的有效数字要反映出测量值的有效数字 （2）标明坐标轴。）标明坐标轴。坐标轴为物理参量坐标轴为物理参量 （3）标实验点。）标实验点。用用“”或或“ ” （4）连点成线。）连点成线。用光滑的曲线用光滑的曲线 （