刚体角动量第10次课

1、刚体角动量第刚体角动量第10次课次课1 设刚体绕设刚体绕z轴作定轴转动，轴作定轴转动， 体元体元 mi对轴的角动量对轴的角动量 lzi = ri mi vi 是是角速度角速度 , vi = ri 。 lzi = ri 2 mi 或或 整个刚体对转轴的角动量整个刚体对转轴的角动量 LlrmJ zziii () 2 Lz等于转动惯量与角速度的乘积。等于转动惯量与角速度的乘积。 一、刚体对转轴的角动量一、刚体对转轴的角动量 (Angular momentum ) riviOi z mi 5-3 定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律 刚体角动量第刚体角动量第10次课次课2 注意：注

2、意： 2. 在刚体对转轴的角动量的表达式中，在刚体对转轴的角动量的表达式中， 所涉及的所涉及的 三个物理量都是相对于转轴的，所以不用写成矢三个物理量都是相对于转轴的，所以不用写成矢 量式。量式。 3. 对于密度均匀、形状对称、且绕几何对称轴旋对于密度均匀、形状对称、且绕几何对称轴旋 转的刚体。整个刚体对转轴上任意一点的角动量转的刚体。整个刚体对转轴上任意一点的角动量L 必定沿转轴并与角速度的方向相同，故可写成矢必定沿转轴并与角速度的方向相同，故可写成矢 量式量式 LJ pmv 1. 与质点动量表达式对比与质点动量表达式对比 z LJ 刚体角动量第刚体角动量第10次课次课3 二、刚体对转轴的角动

3、量定理二、刚体对转轴的角动量定理 将转动定理将转动定理 Mz=Ja a 写成下面的形式写成下面的形式: dd () dd z MJJJ tt a 实验表明实验表明, 此式更具普遍性。此式更具普遍性。 由上式得到由上式得到 M t J L t z z d d d d () 刚体对转轴的角动量定理刚体对转轴的角动量定理 作定轴转动的刚体作定轴转动的刚体 对转轴的角动量的时间变化率，等于刚体相对于对转轴的角动量的时间变化率，等于刚体相对于 同一转轴所受外力的合力矩。同一转轴所受外力的合力矩。 刚体角动量第刚体角动量第10次课次课4 角动量定理也角动量定理也可以写为可以写为 dd zz MtL Mz

4、d t 称为冲量矩称为冲量矩, 等于力矩与力矩作用于刚体的等于力矩与力矩作用于刚体的 时间的乘积。时间的乘积。 对上式积分得到角动量定理的积分形式对上式积分得到角动量定理的积分形式 12 2 1 dJJtM t t z 该式表示：角动量的增量等于力矩对定轴转动刚该式表示：角动量的增量等于力矩对定轴转动刚 体的时间累积效应体的时间累积效应 刚体角动量第刚体角动量第10次课次课5 刚体对转轴的角动量守恒定律刚体对转轴的角动量守恒定律 当定轴转动的当定轴转动的 刚体所受外力对转轴的合力矩为零时刚体所受外力对转轴的合力矩为零时, ,刚体对同一刚体对同一 转轴的角动量不随时间变化。转轴的角动量不随时间变

5、化。 刚体组绕同一转轴作定轴转动时刚体组绕同一转轴作定轴转动时 , 系统对转轴的系统对转轴的 角动量保持恒定，有两种情形：一是系统的转动惯量角动量保持恒定，有两种情形：一是系统的转动惯量 和角速度的大小均保持不变；另一种是转动惯量改变和角速度的大小均保持不变；另一种是转动惯量改变 , 角速度的大小也同时改变但两者的乘积保持不变。角速度的大小也同时改变但两者的乘积保持不变。 ddLJ z ()0LJ z 恒量恒量 如果如果 Mz = 0, 则则 三、刚体对转轴的角动量守恒定律三、刚体对转轴的角动量守恒定律 dd zz MtLdJ 刚体角动量第刚体角动量第10次课次课6 注意：注意： 该定律的应用

6、条件是该定律的应用条件是: 刚体或刚体组必须满刚体或刚体组必须满 足所受外力的合力矩为零；足所受外力的合力矩为零； 2. 角动量、转动惯量和角速度必须相对同一轴；角动量、转动惯量和角速度必须相对同一轴； 3. 若将该定律应用于刚体组，刚体组中各个刚若将该定律应用于刚体组，刚体组中各个刚 体之间可以发生相对运动，但是它们必须是体之间可以发生相对运动，但是它们必须是 相对于同一转轴在转动相对于同一转轴在转动. z LJ 恒量 刚体角动量第刚体角动量第10次课次课7 刚体对转轴的角动量守恒是经常可以见到的刚体对转轴的角动量守恒是经常可以见到的 ， 如人手持哑铃的转动如人手持哑铃的转动 ,芭蕾舞演员和

7、花样滑冰运动芭蕾舞演员和花样滑冰运动 员作各种快速旋转动作员作各种快速旋转动作, 都是利用了对转轴的角动都是利用了对转轴的角动 量守恒定律。量守恒定律。 刚体角动量第刚体角动量第10次课次课8 花样滑冰中常见的例子花样滑冰中常见的例子 花 样 滑 冰 收臂 大 小 张臂 大 小 先使自己 转动起来 收臂 大 小 刚体角动量第刚体角动量第10次课次课9 万 向 支 架 受合外力矩为零 回转体质量呈轴对称分布； 轴摩擦及空气阻力很小。 角动量守恒 恒矢量恒矢量 回转仪定向原理回转仪定向原理 其中转动惯量 为常量 若将回转体转轴指向任一方向 使其以角速度 高速旋转 则转轴将保持该方向不变 而不会受基

8、座改向的影响 基 座 回转体 （转动惯量 ） 刚体角动量第刚体角动量第10次课次课10 例例1: 一根长为一根长为l、质量为、质量为m的均匀细直棒，一端有的均匀细直棒，一端有 一固定的光滑水平轴，可以在竖直平面内转动。最一固定的光滑水平轴，可以在竖直平面内转动。最 初棒静止在水平位置，求由此下摆初棒静止在水平位置，求由此下摆 角时的角加速角时的角加速 度和角速度。度和角速度。 aJmglMcos 2 1 解解: 棒下摆为加速过程，棒下摆为加速过程， 外力矩为重力对外力矩为重力对O的力矩。的力矩。 重力作用在棒的重心重力作用在棒的重心 , 当当 棒处在下摆棒处在下摆 角时角时，重力重力 矩为：矩

9、为： l/2 x O ） P 刚体角动量第刚体角动量第10次课次课11 l g ml mgl J M 2 cos3 3 1 cos 2 1 2 a 2 3 1 mlJ 棒处于棒处于角时的角加速度为：角时的角加速度为： 由角加速度的定义由角加速度的定义 td d a 重力对整个棒的合力矩与全部重力集中作用在质重力对整个棒的合力矩与全部重力集中作用在质 心所产生的力矩一样。因为棒绕轴心所产生的力矩一样。因为棒绕轴O的转动惯量为：的转动惯量为： l/2 x O ） P 刚体角动量第刚体角动量第10次课次课12 t t a d d d d d d d d adcos 2 3 dd l g 作如下变换作

10、如下变换 将上式两边积分将上式两边积分 3 sing l 角速度为角速度为 00 3 dcosd 2 g l 刚体角动量第刚体角动量第10次课次课13 例题例题2 一个质量为一个质量为100kg的圆盘状平台，以的圆盘状平台，以1.05rad s-1 的角速度绕通过中心的竖直轴自由旋转，在平台的边的角速度绕通过中心的竖直轴自由旋转，在平台的边 缘站着一个质量为缘站着一个质量为60kg的人。问当人从平台边缘走到的人。问当人从平台边缘走到 盘的中心时，平台的转速是多少？盘的中心时，平台的转速是多少？ 当人站在平台的边缘时，刚体组的转动惯量为：当人站在平台的边缘时，刚体组的转动惯量为： 22 112

11、1 2 Jm Rm R 解：因为带人的平台是自由转动的，即不受外力矩解：因为带人的平台是自由转动的，即不受外力矩 的作用。若把人和平台看成一个系统，应满足角动的作用。若把人和平台看成一个系统，应满足角动 量守恒定律，则量守恒定律，则 2211 JJ 刚体角动量第刚体角动量第10次课次课14 当人站在平台中心时，刚体组的转动惯量等当人站在平台中心时，刚体组的转动惯量等 于平台本身的转动惯量，即于平台本身的转动惯量，即 2 21 1 2 Jm R 将将J1和和J2代入角动量守恒定律代入角动量守恒定律 222 12112 11 () 22 m Rm Rm R 22 1212 1 211 2 11 1

12、1 22 2.31 11 22 m Rm Rmm rad s m Rm 刚体角动量第刚体角动量第10次课次课15 公式对比 质点直线运动或刚体平动质点直线运动或刚体平动 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 速度速度角速度角速度 加速度加速度 角加速度角加速度 位移位移角位移角位移 匀速直线运动匀速直线运动匀角速定轴转动匀角速定轴转动 匀变速直线运动匀变速直线运动匀变角速定轴转动匀变角速定轴转动 刚体角动量第刚体角动量第10次课次课16 刚体的平动刚体的平动刚体的转动刚体的转动 转动定理转动定理 转动动能转动动能 2 2 1 J aJM z 动能动能 2 2 1 mv 牛顿定律牛顿定律 Fma 功功

13、AF dr 力矩的功力矩的功 z AMd 动能定理动能定理 22 21 11 A 22 mmvv 转动动能定理转动动能定理 22 21 11 A 22 JJ 刚体角动量第刚体角动量第10次课次课17 刚体的平动刚体的平动刚体的转动刚体的转动 冲量冲量 F dt 冲量矩冲量矩Mz d t 动量定理动量定理 12 vmvmdtF 角动量定理角动量定理 21z M dtJJ 动量守恒定理动量守恒定理 i i m v 恒矢量 角动量守恒定律角动量守恒定律 LJ z 恒量恒量 机械能守恒定律机械能守恒定律 始末 （动能 势能）（动能 势能） 机械能守恒定律机械能守恒定律 始 末 （动能势能+转动动能）

14、（动能势能+转动动能） 刚体角动量第刚体角动量第10次课次课18 一、固体在外力作用下的一般情形一、固体在外力作用下的一般情形 形变形变 固体受外力作用所发生的形状变化，分为固体受外力作用所发生的形状变化，分为弹弹 性形变和塑性形变。性形变和塑性形变。 应力应力 固体横截面单位面积固体横截面单位面积 上内力的改变量。应力是固体上内力的改变量。应力是固体 在单位横截面上产生的弹性力。在单位横截面上产生的弹性力。 应变应变 固体在外力作用下所固体在外力作用下所 发生的相对形变量。发生的相对形变量。 固体受力作用而被拉伸的整固体受力作用而被拉伸的整 个过程如图所示。个过程如图所示。 B C E P

15、P E B o o 5-4 固体的形变和弹性固体的形变和弹性 刚体角动量第刚体角动量第10次课次课19 曲线曲线OP为直线，应力为直线，应力 与与 应变应变 成正比，点成正比，点P的应力是的应力是 满足比例关系的最大应力，满足比例关系的最大应力， 称比例极限称比例极限（ P）。点）。点E的的 应力应力 E是发生弹性形变的最是发生弹性形变的最 大应力，称弹性极限。当应大应力，称弹性极限。当应 力力 E时，发生塑性形变。时，发生塑性形变。 点点C 对应的应力为对应的应力为 C，若，若 把外力撤除，固体的应力与把外力撤除，固体的应力与 应变的关系沿应变的关系沿O C变化，留下一定的剩余形变变化，留下

16、一定的剩余形变OO 。 当应力达到点当应力达到点 B 对应的应力对应的应力 B时，固体就断裂，时，固体就断裂， B称强度极限。称强度极限。 B C E P P E B o o 刚体角动量第刚体角动量第10次课次课20 有些固体的弹性极限与强度极限十分接近，因有些固体的弹性极限与强度极限十分接近，因 而塑性形变很小，称为脆体；有些固体的弹性极而塑性形变很小，称为脆体；有些固体的弹性极 限与强度极限相距较远，可以产生很大的塑性形限与强度极限相距较远，可以产生很大的塑性形 变，称为可塑体。变，称为可塑体。 实验发现，固体发生塑性形变后的硬度增大了，实验发现，固体发生塑性形变后的硬度增大了， 若再要使

17、它发生塑性形变，需要的外力比先前要若再要使它发生塑性形变，需要的外力比先前要 大。称为加工硬化。大。称为加工硬化。 二、固体的弹性形变二、固体的弹性形变 (Elastic deformation ) 弹性形变有多种，最简单的是长变和剪切。弹性形变有多种，最简单的是长变和剪切。 长变长变 固体在外力作用下沿纵向拉伸或压缩。固体在外力作用下沿纵向拉伸或压缩。 刚体角动量第刚体角动量第10次课次课21 设有一均匀棒，如图所示。设有一均匀棒，如图所示。 拉力规定为正力，形变拉力规定为正力，形变 L也也 是正的，固体被拉伸，如图是正的，固体被拉伸，如图 (a)。 压力规定为负力，形变压力规定为负力，形变

18、 L也也 是负的，固体被压缩，如图是负的，固体被压缩，如图 (b) 。 在长变的情况下，固体的拉在长变的情况下，固体的拉 伸应变伸应变 n为为 n L L 固体受到力固体受到力Fn发生长变，在任一横截面上出现的发生长变，在任一横截面上出现的 应力应力 n为为 n n F S L L+ L Fn Fn (a) L+ L Fn Fn (b) 刚体角动量第刚体角动量第10次课次课22 根据胡克定律，在比例极限内，根据胡克定律，在比例极限内， n与与 n间存在间存在 线性关系线性关系 n = Y n 比例系数比例系数Y 称为材料的长变弹性模量，或杨氏模称为材料的长变弹性模量，或杨氏模 量，它决定于固体

19、材料自身的性质。量，它决定于固体材料自身的性质。 剪切剪切 当固体受到大小当固体受到大小 相等、方向相反、相距很相等、方向相反、相距很 近的两个平行力作用时，近的两个平行力作用时， 在两力间的固体各横截面在两力间的固体各横截面 将沿外力方向发生相对错将沿外力方向发生相对错 动。物体错动的角度称为动。物体错动的角度称为 剪切角剪切角 ，如图所示。，如图所示。 Ft Ft ） AB S A B CD 刚体角动量第刚体角动量第10次课次课23 固体的剪应变固体的剪应变 t为为 t BB BD 当当 很小时，近似有很小时，近似有 t = 根据胡克定律，应有根据胡克定律，应有 t = G t 比例系数比

20、例系数G称为固体材料的剪切模量，简称剪模量。称为固体材料的剪切模量，简称剪模量。 若横截面的面积为若横截面的面积为S，则剪应力，则剪应力 S Ft t 由于外力由于外力 与作用面是平行的，故固体横截面上与作用面是平行的，故固体横截面上 产生的应力都与该截面相切，因而称为剪应力，如产生的应力都与该截面相切，因而称为剪应力，如 图所示。图所示。 i F ） ） t t Ft Ft S 刚体角动量第刚体角动量第10次课次课24 5-1 刚体的运动刚体的运动 小小 结结 刚体刚体:在任何情况下在任何情况下,其大小和形状都不变化的物体。其大小和形状都不变化的物体。 或者说物体上任意两点的相对位置保持不变

21、。或者说物体上任意两点的相对位置保持不变。 平动平动 在刚体运动过程中在刚体运动过程中, 如果刚体上的任意一条直如果刚体上的任意一条直 线始终保持平行线始终保持平行, 这种运动就称为平动这种运动就称为平动 转动转动 在刚体运动过程中在刚体运动过程中, 如果刚体上所有的点都绕同如果刚体上所有的点都绕同 一条直线作圆周运动一条直线作圆周运动,那么这种运动就称为转动。这条直那么这种运动就称为转动。这条直 线称为转轴线称为转轴 刚体的一般运动刚体的一般运动 质心的平动质心的平动绕质心的转动绕质心的转动+ 刚体角动量第刚体角动量第10次课次课25 1. 刚体的转动动能刚体的转动动能EJ k 1 2 2

22、其中，其中，Jm r ii i n 2 1 2. 刚体的转动惯量刚体的转动惯量JrmrV 22 dd 与转动惯量有关的因素：刚体的质量大小和与转动惯量有关的因素：刚体的质量大小和 分布、转轴的位置、刚体的形状。分布、转轴的位置、刚体的形状。 2 C mdJJ 3. 平行轴定理平行轴定理 4. 垂直轴定理垂直轴定理 yxz JJJ 5-2 刚体动力学刚体动力学 刚体角动量第刚体角动量第10次课次课26 5. 转动定理转动定理aJM z AM z 1 2 d6. 力矩作的功力矩作的功 7. 动能定理动能定理 2 1 22 21 1 () 2 z d AM dJ dJd dt J dJ a 刚体角动

23、量第刚体角动量第10次课次课27 刚体对转轴的角动量刚体对转轴的角动量 z LJ 刚体对转轴的角动量定理刚体对转轴的角动量定理 dd zz MtLdJ 12 2 1 dJJtM t t z 刚体角动量第刚体角动量第10次课次课28 刚体对转轴的角动量守恒定律刚体对转轴的角动量守恒定律 ddLJ z ()0或或 LJ z 恒量恒量 在定轴转动中在定轴转动中,如果如果 Mz = 0, 则则 刚体角动量第刚体角动量第10次课次课29 第六章第六章 流体力学流体力学 一一. 物体六态：物体六态： 固体、液体、气体、等离子体、固体、液体、气体、等离子体、 玻色玻色-爱因斯坦凝聚态、费米子凝聚态爱因斯坦凝

24、聚态、费米子凝聚态 等离子体：由离子、电子、中性粒子等组成的气等离子体：由离子、电子、中性粒子等组成的气 体。例如体。例如 ：火焰电弧的高温部分，太阳和其他星：火焰电弧的高温部分，太阳和其他星 体表面气层。体表面气层。 1995年，美国标准技术研究院和美国科罗拉多年，美国标准技术研究院和美国科罗拉多 大学的科学家组成的联合研究小组，首次创造出大学的科学家组成的联合研究小组，首次创造出 物质的第五态，即物质的第五态，即“玻色玻色 爱因斯坦凝聚态爱因斯坦凝聚态”。 为此，为此，2001年度诺贝尔物理学奖授予了负责这项年度诺贝尔物理学奖授予了负责这项 研究的三位科学家。研究的三位科学家。 刚体角动量

25、第刚体角动量第10次课次课30 玻色玻色爱因斯坦凝聚爱因斯坦凝聚:是科学巨匠爱因斯坦在是科学巨匠爱因斯坦在70 年前预言的一种新物态。这里的年前预言的一种新物态。这里的“凝聚凝聚”与日常生与日常生 活中的凝聚不同，它表示原来不同状态的原子突然活中的凝聚不同，它表示原来不同状态的原子突然 “凝聚凝聚”到同一状态。玻色到同一状态。玻色爱因斯坦凝聚态物质爱因斯坦凝聚态物质 由成千上万个具有单一量子态的超冷粒子的集合，由成千上万个具有单一量子态的超冷粒子的集合， 其行为像一个超级大原子，由玻色子构成。其行为像一个超级大原子，由玻色子构成。 费米子凝聚态费米子凝聚态:由于没有任何两个费米子能拥有相由于没

26、有任何两个费米子能拥有相 同的量子态，费米子的凝聚一直被认为不可能实现。同的量子态，费米子的凝聚一直被认为不可能实现。 2004年，物理学家找到了一个克服以上障碍的方法，年，物理学家找到了一个克服以上障碍的方法， 他们将费米子成对转变成玻色子。费米子对起到了玻他们将费米子成对转变成玻色子。费米子对起到了玻 色子的作用，所以可让气体突然冷凝至玻色色子的作用，所以可让气体突然冷凝至玻色爱因斯爱因斯 坦凝聚态。坦凝聚态。 刚体角动量第刚体角动量第10次课次课31 粒子按其在高密度或低温度时集体行为的不同可以粒子按其在高密度或低温度时集体行为的不同可以 分成两大类：一类是费米子，得名于意大利物理学家分

27、成两大类：一类是费米子，得名于意大利物理学家 费米，另一类是玻色子，得名于印度物理学家玻色。费米，另一类是玻色子，得名于印度物理学家玻色。 区分这两类粒子的重要特征是自旋。自旋是粒子的一区分这两类粒子的重要特征是自旋。自旋是粒子的一 种与其角动量相联系的固有性质。量子力学所揭示的种与其角动量相联系的固有性质。量子力学所揭示的 一个重要之处是，自旋是量子化的，这就是说，它只一个重要之处是，自旋是量子化的，这就是说，它只 能取普朗克常数的整数倍（玻色子，如光子、介子等）能取普朗克常数的整数倍（玻色子，如光子、介子等） 或半整数倍（费米子，如电子、质子等）。或半整数倍（费米子，如电子、质子等）。 刚

28、体角动量第刚体角动量第10次课次课32 超导体：在低温时不存在电阻。如超导体：在低温时不存在电阻。如In, Sn, Al, Pb,Nb, 等金属及其合金。等金属及其合金。1911年，昂内斯发现年，昂内斯发现Hg在在4.2K 时电阻完全消失。时电阻完全消失。 超流态：是某些物质的超低温特性，例如超流体超流态：是某些物质的超低温特性，例如超流体 和超导体和超导体 超流体：不存在粘滞现象，能流过超流体：不存在粘滞现象，能流过10-5cm的毛细的毛细 血管，能在固体表面扩展成几十个原子厚的薄膜血管，能在固体表面扩展成几十个原子厚的薄膜 （液氦在（液氦在2.19K时为超流体）时为超流体） 刚体角动量第刚

29、体角动量第10次课次课33 二二. 流体：可以流动的物质（气体和液体）流体：可以流动的物质（气体和液体） 三三. 流体的特性流体的特性 流动性流动性：流体物质的各部分之间发生相对运动：流体物质的各部分之间发生相对运动 粘滞性粘滞性：流体各部分之间发生相对运动时，存：流体各部分之间发生相对运动时，存 在摩擦现象在摩擦现象 3. 压缩性压缩性：流体体积随外部压力而变化的特性：流体体积随外部压力而变化的特性 刚体角动量第刚体角动量第10次课次课34 6-1 流体的压强流体的压强 一一 静止流体内一点的压强静止流体内一点的压强 1. 压力：压力： 流体内部相互作用力和流体对器壁的流体内部相互作用力和流

30、体对器壁的 作用力称为压力作用力称为压力 压力的特点：压力的特点： 1） 流体内任意截面所受的压力与该截面垂直，否流体内任意截面所受的压力与该截面垂直，否 则将有小部分沿截面流动；则将有小部分沿截面流动； 2） 流体内任意截面所受的流体内任意截面所受的 压力为零，否则流体不能静压力为零，否则流体不能静 止；止； 刚体角动量第刚体角动量第10次课次课35 单位面积上所承受的沿法线方向的压力的大小。单位面积上所承受的沿法线方向的压力的大小。 SpF dd S F p d d 或或 为压力，面元为压力，面元 方向与点方向与点A的法向的法向 一致。一致。 F dS dn 2. 压强压强 （Pressu

31、re） A n S dF d 注意：注意：1. 压强是标量压强是标量, ,其其值与面元的选取无关；值与面元的选取无关； 2. 压强是位置的函数；压强是位置的函数； 刚体角动量第刚体角动量第10次课次课36 图中，图中， 和和 都通过点都通过点 A， 的法线为的法线为 ， 的的 法线为法线为 。两面所受压力大。两面所受压力大 小和方向各不相同小和方向各不相同 , 但压强但压强 是相同的是相同的, 都是点都是点A的压强。的压强。 2 dS 2 dS 1 dS 1 dS 1 n 2 n 3. 压强单位压强单位 在在SI中为中为Pa (帕斯卡帕斯卡, 简称帕简称帕) 1 Pa = 1 N m-2 另外

32、还有另外还有 atm (标准大气压，简称大气压标准大气压，简称大气压)、 bar (巴巴) 、Torr (托托)和毫米汞柱（和毫米汞柱（mmHg） 1 bar = 105 Pa; 1 atm = 101325 Pa 1mmHg=133.322Pa; 1Torr=133.322Pa A 1 n 2 n 2 dS 1 dS 刚体角动量第刚体角动量第10次课次课37 二二 静止流体内的压强差静止流体内的压强差 1. 等高点的压强相等等高点的压强相等 FAFB A B 由于柱状物体沿轴向没由于柱状物体沿轴向没 有流动，根据牛顿定律知，有流动，根据牛顿定律知， 它所受合外力为零，即它所受合外力为零，即

33、0 AB FF 或或0 AB PSPS AB PP 说明：静止流体内同水平高度的各点的压强相等说明：静止流体内同水平高度的各点的压强相等 刚体角动量第刚体角动量第10次课次课38 2. 两点高度差两点高度差h，其压强差为，其压强差为 gh y x dy y y+dy PAmg (P+dP)A 体元所受重力：体元所受重力： mgAgdy 由于体元是静止的，所由于体元是静止的，所 以所受合外力为零，即以所受合外力为零，即 ()0pdp AAgdypA 0dpgdy 化简为化简为 dpgdy 此式表明：流体内各点的压强是随高度变化的。此式表明：流体内各点的压强是随高度变化的。 刚体角动量第刚体角动量

34、第10次课次课39 流体内任意两点的压强差可通过对上式积分求得：流体内任意两点的压强差可通过对上式积分求得： B A P B PA dpgdy 若若A、B两点的高度差为两点的高度差为h，则两点的压强差为：，则两点的压强差为： AB ppgh 该式表明：两点高度差该式表明：两点高度差h，其压强差为，其压强差为 gh 0 说明：说明：1）压强差与密度有关）压强差与密度有关; 2) 对于气体，密度对于气体，密度 ，因此可认为压，因此可认为压 强处处相等，但对于大气层，当高度相差很大强处处相等，但对于大气层，当高度相差很大 时时 和和g都是高度的函数，故都是高度的函数，故AB ppgh 刚体角动量第刚

35、体角动量第10次课次课40 3. 两个原理两个原理 （1）帕斯卡）帕斯卡（Pascal）原理原理 施加压强于密闭容器内的流体，此压强无变施加压强于密闭容器内的流体，此压强无变 化地传递到流体的各部分及器壁上。化地传递到流体的各部分及器壁上。 （2）阿基米德）阿基米德（Archimedes）原理原理 当一物体全部或部分地侵入流体中时，物当一物体全部或部分地侵入流体中时，物 体所受的浮力等于它所排开流体的重量。体所受的浮力等于它所排开流体的重量。 FghAm g 浮流流 刚体角动量第刚体角动量第10次课次课41 解：解： 水坝外侧受大气压强的作用，而内侧也受大气水坝外侧受大气压强的作用，而内侧也受

36、大气 压强的作用（帕斯卡原理），故可以不考虑大气压压强的作用（帕斯卡原理），故可以不考虑大气压 强的作用。强的作用。 例题例题1 图（图（a）和（）和（b）分别是水坝的侧视图和前）分别是水坝的侧视图和前 视图。设水深为视图。设水深为h，求水作用于大坝的水平合力，求水作用于大坝的水平合力 和该力对过和该力对过O点轴的力矩。点轴的力矩。 a h O l x y dy b h y o 刚体角动量第刚体角动量第10次课次课42 水中的压强随深度而变化，因水中的压强随深度而变化，因 此水坝受水的作用力是不均匀的，此水坝受水的作用力是不均匀的， 是深度的函数。是深度的函数。 1. 求力求力F: 取水坝取水

37、坝l长的一部分，受水作用的面积为长的一部分，受水作用的面积为S=lh， 在其坐标为在其坐标为y处取处取dy深的一面积元深的一面积元ds=ldy,则作用在则作用在 该面元上的力为：该面元上的力为：dFpds ()dFg hy ldy 所以水作用于所以水作用于lh面积的水坝上的水平作用力为：面积的水坝上的水平作用力为： 0 () h FdFg hy ldy l x y dy b h y o 刚体角动量第刚体角动量第10次课次课43 0 00 222 () 11 22 h hh FdFg hy ldy ghldygyldy glhglhglh 作用在单位长度面积上的水平力为作用在单位长度面积上的水平

38、力为 2 1 2 gh 2. 求力矩：求力矩： dF相对于过相对于过O点轴的力矩：点轴的力矩： () z dMydFg hy lydy 刚体角动量第刚体角动量第10次课次课44 对上式积分：对上式积分： 0 2 00 333 () 111 236 h zz hh MdMg hy lydy glhydygly dy glhglhglh 刚体角动量第刚体角动量第10次课次课45 一、关于理想流体的几个概念一、关于理想流体的几个概念 (perfect fluid ) 1. 理想流体理想流体 实际液体和气体除具有共同的流动性外实际液体和气体除具有共同的流动性外, 还在不还在不 同程度上具有两种性质：可

39、压缩性和黏性。同程度上具有两种性质：可压缩性和黏性。 理想流体理想流体 绝对不可压缩和完全没有黏性的流体。绝对不可压缩和完全没有黏性的流体。 2. 定常流动定常流动 流体质点流经空间任一给定点的速度是确定流体质点流经空间任一给定点的速度是确定 的，且不随时间变化，的，且不随时间变化，称为定常流动。例如称为定常流动。例如, 沿沿 着管道或渠道缓慢流动的水流着管道或渠道缓慢流动的水流, 在一段不长的时间在一段不长的时间 内可以认为是定常流动。内可以认为是定常流动。 6-2 理想流体及其连续性方程理想流体及其连续性方程 刚体角动量第刚体角动量第10次课次课46 3. 流线流线 为了形象地描述流体的为

40、了形象地描述流体的 运动运动 , 在流体中画一系列在流体中画一系列 曲线曲线 , 每一点的切线方向每一点的切线方向 与流经该点流体质点的速与流经该点流体质点的速 度方向相同度方向相同,称为流线。称为流线。 定常流动中的流线定常流动中的流线 不随时间变化；不随时间变化； 质点的运动轨迹；质点的运动轨迹； 任何两条流线不相交。任何两条流线不相交。 4. 流管流管 流线围成的管状区域。流线围成的管状区域。 流管内外的流体不能交换流管内外的流体不能交换 流体在流管中的流动状况就流体在流管中的流动状况就 是整个流体流动状况的缩影是整个流体流动状况的缩影 刚体角动量第刚体角动量第10次课次课47 二、理想

41、流体的连续性方程二、理想流体的连续性方程 (the equation of continuity ) 在细流管中在细流管中,流体流经截面流体流经截面S1 和和S2的速率为的速率为v1和和v2 , 在在 t时间时间 内流过这两个截面的流体体积内流过这两个截面的流体体积 分别为分别为 V1 = S1 v1 t V2 = S2 v2 t v1 v2 S1 S2 对于不可压缩流体对于不可压缩流体 S1 v1= S2 v2 或或 S v = 恒量恒量 上式称为上式称为理想流体的连续性方程理想流体的连续性方程。 1. 连续性方程连续性方程 刚体角动量第刚体角动量第10次课次课48 理想流体作定常流动时理想

42、流体作定常流动时, , 速率与流管截面积的速率与流管截面积的 乘积为恒量乘积为恒量, , 或者说速率与流管的截面积成反比。或者说速率与流管的截面积成反比。 注意：注意： 选择流管时，不能过粗，否则横截面选择流管时，不能过粗，否则横截面S上各点上各点 的流速就不一定相等；的流速就不一定相等； 该方程适应于任何不可压缩流体；该方程适应于任何不可压缩流体； 3. 由连续性方程可以断定，在流速大的地方，由连续性方程可以断定，在流速大的地方， 流管狭窄，流线必定密集；在流速小的地方，流管狭窄，流线必定密集；在流速小的地方， 流管粗大，流线必定疏散。流管粗大，流线必定疏散。 S v = 恒量恒量 刚体角动

43、量第刚体角动量第10次课次课49 2. 质量守恒定律质量守恒定律 在连续性方程两边同乘以流体密度在连续性方程两边同乘以流体密度 , 即即 S v = 恒量恒量 对于可压缩的流体，连续性方程不一定正确，对于可压缩的流体，连续性方程不一定正确， 但质量守恒仍然成立，因此上式是一般流体的连续但质量守恒仍然成立，因此上式是一般流体的连续 性方程。性方程。 该式说明在同一时间内流入某段流管的流体该式说明在同一时间内流入某段流管的流体 的质量与流出的相同。的质量与流出的相同。 由于密度由于密度 是一个随流动而变化的量，上面根据是一个随流动而变化的量，上面根据 流线的疏密反映流速的大小也就不再正确。例如，流

44、线的疏密反映流速的大小也就不再正确。例如， 超音速气流超音速气流 刚体角动量第刚体角动量第10次课次课50 如果在某一管道的横截面上各点的流速都相等如果在某一管道的横截面上各点的流速都相等, 流量可以表示为流量可以表示为 QV = S v 3. 流量（体积流量）流量（体积流量） 单位时间内流过某一截面的流体体积。单位时间内流过某一截面的流体体积。 流过截面流过截面S1和和S2的流量为的流量为 V t S v 1 11 V t S v 2 22 v1 v2 S1 S2 刚体角动量第刚体角动量第10次课次课51 如果截面上各点流速不相等如果截面上各点流速不相等,通过面元通过面元dS的流量为的流量为

45、 dQV = v dS 通过整个截面的流量通过整个截面的流量Qv S V S d 引入平均流速的概念：引入平均流速的概念： v Q S v S S VS d 上式在处理具体问题时经常采用。上式在处理具体问题时经常采用。 刚体角动量第刚体角动量第10次课次课52 6-3 伯努利伯努利(Bernoulli)方程方程 伯努利伯努利: 1700年年2月月8日生于荷兰格罗宁日生于荷兰格罗宁 根；根；1782年年3月月17日卒于瑞士巴塞尔数日卒于瑞士巴塞尔数 学、物理学、医学家学、物理学、医学家1715年获得学士学年获得学士学 位，位，1716年获得艺术硕士学位年获得艺术硕士学位 1721年通年通 过论文

46、答辩，获得医学博士学位过论文答辩，获得医学博士学位 丹尼尔的学术著作非常丰富，他的全部数学和力学著作、论丹尼尔的学术著作非常丰富，他的全部数学和力学著作、论 文超过文超过80种种1738年他出版了一生中最重要的著作年他出版了一生中最重要的著作流体动力流体动力 学学.(17251757年的年的30多年间他曾因天文学多年间他曾因天文学(1734)、地球引力、地球引力 (1728)、潮汐、潮汐(1740)、磁学、磁学(1743，1746)洋流洋流(1748)、船体航行的、船体航行的 稳定稳定(1753，1757)和振动理论和振动理论(1747)等成果，获得了巴黎科学院等成果，获得了巴黎科学院 的的1

47、0次以上的奖赏特别是次以上的奖赏特别是1734年，他与父亲约翰以年，他与父亲约翰以“行星轨行星轨 道与太阳赤道不同交角的原因道与太阳赤道不同交角的原因” 的佳作，获得了巴黎科学院的的佳作，获得了巴黎科学院的 双倍奖金双倍奖金 刚体角动量第刚体角动量第10次课次课53 丹尼尔获奖的次数可以和著名的数学家欧拉相比，因而丹尼尔获奖的次数可以和著名的数学家欧拉相比，因而 受到了欧洲学者们的爱戴，受到了欧洲学者们的爱戴，1747年他成为柏林科学院成员，年他成为柏林科学院成员， 1748年成为巴黎科学院成员，年成为巴黎科学院成员，1750年被选为英国皇家学会年被选为英国皇家学会 会员会员. 在科学史上，父

48、子科学家、兄弟科学家并不鲜见，然而，在科学史上，父子科学家、兄弟科学家并不鲜见，然而， 在一个家族跨世纪的几代人中，众多父子兄弟都是科学家的在一个家族跨世纪的几代人中，众多父子兄弟都是科学家的 较为罕见，其中，瑞士的伯努利家族最为突出。伯努利家族较为罕见，其中，瑞士的伯努利家族最为突出。伯努利家族 3代人中产生了代人中产生了8位科学家，出类拔萃的至少有位科学家，出类拔萃的至少有3位；而在他位；而在他 们一代又一代的众多子孙中，至少有一半相继成为杰出人物。们一代又一代的众多子孙中，至少有一半相继成为杰出人物。 伯努利家族的后裔有不少于伯努利家族的后裔有不少于120位被人们系统地追溯过，他位被人们

49、系统地追溯过，他 们在数学、科学、技术、工程乃至法律、管理、文学、艺术们在数学、科学、技术、工程乃至法律、管理、文学、艺术 等方面享有名望，有的甚至声名显赫。最不可思议的是这个等方面享有名望，有的甚至声名显赫。最不可思议的是这个 家族中有两代人，他们中的大多数数学家，并非有意选择数家族中有两代人，他们中的大多数数学家，并非有意选择数 学为职业，然而却忘情地沉溺于数学之中，有人调侃他们就学为职业，然而却忘情地沉溺于数学之中，有人调侃他们就 像酒鬼碰到了烈酒。像酒鬼碰到了烈酒。 刚体角动量第刚体角动量第10次课次课54 伯努利伯努利(Bernoulli)方程方程 在重力场中作定常流动的理想流在重力

50、场中作定常流动的理想流 体内任取一细流管体内任取一细流管, S1和和 S2表示两表示两 个横截面的面积个横截面的面积,h1 和和 h2是它们相对是它们相对 同一个水平参考面的高度。同一个水平参考面的高度。 由于理想流体是不可压缩的由于理想流体是不可压缩的, 从从S1到到S1之间的流体质量等于之间的流体质量等于 从从 S2到到 S2之间的质量之间的质量 m。 整个流体块从位置整个流体块从位置S1-S2流到位置流到位置 S1-S2的过程的过程 中，机械能的增量中，机械能的增量 E为为 v1 v2 S1 S2 S1 S2 h2 h1 刚体角动量第刚体角动量第10次课次课55 机械能增量机械能增量 )

51、()( 2 1 )()( 2 1 )()( 1 2 12 2 2 1pk2pk ghmvmghmvm EEEEE mghvghv) 2 1 2 1 ( 1 2 12 2 2 如果作用于如果作用于S1上的压力为上的压力为 f1 , 在在 t 内内S1移过距离移过距离 v1 t 到达到达S1，则，则 f1作的功为作的功为 A1 = p1 S1v1t v1 v2 S1 S2 S1 S2 h2 h1 刚体角动量第刚体角动量第10次课次课56 对于截面对于截面S2 ， f2对流体块所作的功对流体块所作的功 A2 = p2 S2v2t 根据根据 S1 v1 = S2v2 , 并且并且 mS vtS vt

52、1 122 得得 App m () 12 周围流体的压力对流体块作的总功为周围流体的压力对流体块作的总功为 AAAp S vp S vt 1211 1222 () 根据功能原理根据功能原理 E = A 刚体角动量第刚体角动量第10次课次课57 即即 1 2 1 2 1 2 2 21 2 112 vghvghpp () 整理可得整理可得 pvghpvgh 11 2 122 2 2 1 2 1 2 去掉角标去掉角标, 对于同一条细流管中的任一截面对于同一条细流管中的任一截面, 下下 面的关系总是成立的面的关系总是成立的 pvgh 1 2 2 恒量恒量 上面两式都称为伯努利方程上面两式都称为伯努利方

53、程, 它们描述了理想流它们描述了理想流 体作定常流动时的基本规律。体作定常流动时的基本规律。 刚体角动量第刚体角动量第10次课次课58 讨论：讨论： pvgh 1 2 2 恒量恒量 1. 若水平流动，若水平流动， , 则有则有gh 恒量 pv 1 2 2 恒量恒量 说明：水平流动的流管中，压强大的地方流速小；说明：水平流动的流管中，压强大的地方流速小； 压强小的地方流速大。压强小的地方流速大。 2. 由连续方程，由连续方程， 知，管细的地方流速知，管细的地方流速 大，管粗的地方流速小。大，管粗的地方流速小。 sv 恒量 刚体角动量第刚体角动量第10次课次课59 空吸现象空吸现象 推论：细管处（

54、流速大）压强小推论：细管处（流速大）压强小 粗管处（流速小）压强大粗管处（流速小）压强大 3. 当两处流速相同时，即当两处流速相同时，即 2 1 2 v 恒量 pgh 恒量 说明：高度低的地方压强大，高度高的地说明：高度低的地方压强大，高度高的地 方压强小，这与流体静力学中的结果一致。方压强小，这与流体静力学中的结果一致。 4. 当当V0时，流体静止时，流体静止 pghpgh AABB 或者或者 ppg hh ABBA () 刚体角动量第刚体角动量第10次课次课60 注意：注意： 理想流体在重力的作用下作定常流动时才成立；理想流体在重力的作用下作定常流动时才成立； 该方程也只适用于对惯性系中的

55、流动的描述，该方程也只适用于对惯性系中的流动的描述， 若在非惯性系中，同样要附加惯性力。若在非惯性系中，同样要附加惯性力。 如果如果A、B两点的高度相等两点的高度相等, 则由上式得则由上式得 pA = pB 这表明这表明, 静止流体中同高度两点的压强相等。静止流体中同高度两点的压强相等。 刚体角动量第刚体角动量第10次课次课61 h A B Q o 它由两个同轴细管组成它由两个同轴细管组成, 内管的开口在正前方。外内管的开口在正前方。外 管的开口在管壁上管的开口在管壁上, 如图中如图中B 所示。两管分别与所示。两管分别与U型管的两型管的两 臂相连臂相连, 在在U型管中盛有液体型管中盛有液体(如

56、水银如水银), 构成了一个构成了一个 压强计压强计, 由由U型管两臂的液面高度差型管两臂的液面高度差h确定气体的确定气体的 流速。流速。 例例1 1：皮托管是测定流体流：皮托管是测定流体流 速的仪器速的仪器, 常用来测定气体的常用来测定气体的 流速。流速。 刚体角动量第刚体角动量第10次课次课62 解：在解：在A 处气流速率为零处气流速率为零, 在在 流线流线OA上运用伯努利方程上运用伯努利方程, 得到得到 pghpghv AAOOO 1 2 2 对于流线对于流线QB pghvpghv BBBQQQ 1 2 1 2 22 点点O和点和点Q非常接近非常接近, 可认为各量相等。又因皮托可认为各量相

57、等。又因皮托 管一般都很细管一般都很细, 点点A与点与点B的高度相差很小的高度相差很小, hA = hB 。 考虑到这些条件考虑到这些条件, 得得 ppv ABB 1 2 2 vB 是待测气流的流速。是待测气流的流速。 h A B Q o 刚体角动量第刚体角动量第10次课次课63 如果压强计中液体的密度为如果压强计中液体的密度为 , 则则 ppgh AB 比较上面两式得比较上面两式得 1 2 2 vgh B 所以所以 v gh B 2 这样，就可以由压强计两液面的高度差这样，就可以由压强计两液面的高度差h, 计算计算 出待测气流速率。出待测气流速率。 h A B Q o 刚体角动量第刚体角动量第10次课次课64 例例2： 求水从容器求水从容器 壁小孔中流出时的速率。壁小孔中流出时的速率。 A B 解：解： 在液面和小孔处取任意在液面和小孔处取任意 流线流线AB，在这条流线上运用伯，在这条流线上运用伯 努利方程，得：努利方程，得： 22 11 22 AAABBB pghvpghv A点：点： ; Ao PP0 A v B点：点： Bo PP取小孔处的高度为零，则取小孔处的高度为零，则 hA = h 2 1 2 ABB ghghv 刚体角动量第刚体角动量第10次课次课6