量子力学-第二版---散射-习题答案--周世勋

1、第六章 散射1粒子受到势能为U (r)a2r2 的场的散射，求 S分波的微分散射截面。解 为了应用分波法，求微分散射截面， 首先必须找出相角位移。注意到第 l 个分波的相角位移 l 是表示在辏力场中的矢径波函数Rl 和在没有散射势时的矢径波函数jl 在r 时的位相差。因此要找出相角位移，必须从矢径的波动方程出发。矢径的波动方程是：1 d 2 dRl2rl r dr dr(k2 V(r) l(l 2 1)Rl 0 r其中 Rl 是波函数的径向部分，而2 2 2V(r) 2U(r),k22 E令Rlxl (r )r ，不难把矢径波动方程化为xl2 l (l 1) 22r2 2 xl 0 r再作变换

2、xlr f (r )，得(r)1f (r ) rk2f (r) 0这是一个贝塞尔方程，它的解是其中注意到Rlf (r )AJp(kr) BNp (kr)Np(kr) 在r0 时发散，因而当 r0时波函数Npr，不符合波函数的标准条件。所以必须有 B 0Rl1A 1r Jp (kr)现在考虑波函数 Rl 在r处的渐近行为，以便和 jl 在r时的渐近行为比较，而求当 l 很小时，即得相角位移 l ，由于：R(r )1 sin( kr rp2) 1 sin( kr l4 r 2l)21 2 d 1pl22l2l242 2 2较小时，把上式展开，略去高次项得到又因2i1 2i l12ik l(2l02

3、i l1)( e l1)Pl (cos )2ik l(2l01)2lPl (cos )2Pl (cos )k l 011r12r12 r22 2r1r2 cos注意到如果取单位半径的球面上的两点来看l1r2 Pl (cos ) 当 r1r1 l 0 r1r2l1r1 Pl (cos ) 当 r1 r2r2 l 0 r 2则 r1 r2 1 ，即有12(1 cos )Pl (cos )l012sin2k22sin2微分散射截面为222f ( )d22244 sin 222 csc d8 2E2由此可见，粒子能量 E 愈小，则较小的波对微分散射截面的贡献愈大；势能常数愈大，微分散射截面也愈大。U(

4、r)2慢速粒子受到势能为U 0, 当r a0, 当r a的场的散射，若 E U0, U 0 0，求散射截面。解在r其中在r其中慢速粒子的德布罗意波长很长，所以只需要考虑S 分波。a 处，k2a 处，k2而波函数是xl方程为2E2则有xll( l 1) xll( l 1)r2xl2 (U 0 E)2a的情况下，x0x0其解分别为当ra 时，当 r a 时，由于在 rcos k rRlxlr只故虑S 分波，即l0 的情况，上面两个方程变为x0x00时，k2 x0k2x0B sin(kr 0 )Ashkr A chk rR0x0r 有限，但x0 Ashk r( r a )在 r a 处，波函数 R0

5、 及其微商必须连续，因此得出Ashk a B sin( ka0)AA kchk a2 shkaaa用前式除后式可得Bk cot(kaa0)2 sin( ka 0) ak cothk ak cot(ka0)tg ka 即kk tg(ka0)0 tg 1kk tg kaka因此 S 分波的辐射截面是422 sin k240k22 1 ksin tg k tgkaka当速度较小时， k0 ，可以近似地认为k0这时有tghka tghk 0 ak tghk0a k00kaQ04 k202 4 a2 tgk0ak0a假如 U 0，相当于在受到球形无限深势阱散射的情况，这时由于tgk0ak0a2(tg k

6、0a)2k02a22tg k0a k0a当 k01a23只考虑 S 分波，求慢速粒子受到势能U (r) r 4 的场散射时的散射截面。解 当只考虑 lR0 ，即 S 分波时，令r ，则 x 满足的方程是：2x24r为了解此方程，作如下代换，令 x(r) r f (r)，由于rf (r)112rf (r )x r f ( r )可将原方程化为f (r )14 f(r) r 2rff 2 2d2d124r14r2为了化简方程，再作变换，令注意到134r 2dfdf ddf i 21drd dri d2 rd2fddf2ddr 2dd2drd2f2i223d22df 2id22i d2 f 2i d

7、f di 2 d 2 2i 2 d dr2dfid2方程可以化为f (r )H(11)d 2 f1 df1 4 2d2d0这是 12 阶的贝塞尔方程，它的解是(1)式中 H (1)表示第一类汉克尔函数，按定义为H (p1)( ) i e ip Jp ( ) J p( ) sin pp 当 1时， JP( ) 2p ( p 1)当r0时H 1(1)( )2当rr f (r )当r 很大时，常数x(r)常数另一方面C1当 kr其中tgsin2r H 1(1)2sin( kr 0)1时常数C1散射截面krC1C2C2kC1上述解的条件是kr 1, 即i122122cos(krC22k2kki2常数c

8、2C1r0)常数sin( kr0)亦即要求2r 24用玻恩近似法求粒子在势能 U(r) U 0e场中散射时的散射截面。解 按玻恩近似法计算微分散射截面的公式q( )其中K2在本题中f(注意到ref( )K2 而22K2 2 0 r sin kre r dr见教材( 55-23)式 224k2 sin 22U(r) U0eK2i U202K2i U02， 为入射粒子方向和散射粒子方向之间的夹角。2r2r sin Kre0 r(e2r2iKr22r dr2r 2iKr)dr0 req( )iK22U02K22reiK22dri U02iK22drK2 e424K 2 sinf( )2dr22iK2

9、3xe24U062 e46K22reiK2driK222x2dxiK22iK43K222iK22driK2iK2driK222122iK3iK22driK22iK22dr2U02 3 eK2425利用玻恩近似法求粒子在势能U( r )Zes2 r rb0,rara其中场中散射的微分散射截面，式中解 由势能 U(r) 的形状容易看出，计算K22 ze K2f ( ) 时只需计算由 0a 的积分即可。ar sin Kr02zerrb dra2ze sin Krdr01 cosKr K22 2 (cos ka K 2 22ze(11)cosKa )2q( ) f ( )22K 2b2K 2 2b22

10、2K 2 2ba2r sin Krdr0cosKr r 2a cosKadr 0a2cosKa 2kasin Ka22 2 a2 cos Ka K 2 2b2asinKKaasin Krdr0K22(1cos Ka)4 2 2122a4 4 ze (1 cos Ka )a cos Kasin KaK 4 4bK2K2(1K 2k sin26用玻恩近似法求在势能U( r )rU0e a( a论在什么条件下，可以应用玻恩近似法。解 ( 1)求微分散射截面f ( ) 2 2 r sin krk 2 0rU 0e adrcos Ka)0) 场中散射时的微分散射截面，并讨2 U 0 r ikr2 ( e

11、 k 2 0 2iikre )eradrU0ikikikredr0 rerdrU 0 1 1222ik 2 11ikikaa2a2 U 0 (1ika)2 (1ika)2ik 2(1a2k2)24a3 U 022 2 22(1 a2k2 )2216 2U 02a6q( ) f ( ) 4 2 2 44(1 a2k 2)42)讨论玻恩近似法可以应用的条件。2 2 6U0a4 2 2 2 44(1 4a2k2sin 2 )4216显然，这个条件是u( )1。由教材（ 55-25）式和（ 55-26）u(0)2k0 V ( r )(e2ikr 1) drk20 V (r )(e2ikr 1)dr2u(0)22 U 0 2a2k k1 4a2 k2k2 4ra 2 ikr U 0 e a ( e1) dr2