李雅普诺夫稳定性分析报告

1、实用文档 控制系统的李雅普诺夫稳定性分析 内容提要 稳定性是系统的又一重要特性。所谓系统的稳定性，就是系统在受到小的外界扰动后， 被调量与规定量之间的偏差值的过渡过程的收敛性。显然，稳定性是系统的一个动态属性。 在控制理论和控制工程中，无论是调节器理论、观测器理论还是滤波预测、自适应理论，都 不可避免的要遇到系统稳定性问题。稳定性问题一直是一个最基本的和最重要的问题。 随着控制理论与控制工程所涉及的领域由线性时不变系统扩展为时变系统和非线性系 统，稳定性分析的复杂程度也在急剧的增长。直到目前，虽然有许多判据可应用于线性时不 变系统或其它各自相应类型的问题中，以判断系统稳定情况，但能同时有效地适

2、用于线性、 非线性、定常、时变等各类系统的方法，则是俄国数学家李雅普诺夫(Lyaponov)在19世纪 所提出的方法。这就是控制系统稳定性分析的李雅普诺夫方法。李雅普诺夫稳定性理论是稳 定性分析、应用与研究的最重要基础。 习题与解答 5.1判断下列函数的正定性 2 2 2 1)V(x) =2为3x2X3 -2x1X2 2x1X3 2 2 2 2)V (x) =8x1 2x2 沁 -8x1x2 2x1x - 2x2x3 2 2 V(x)=为 X32x1X2 X2X3 2 2 2 V (x) =10X14x2 X32x1X2 2x2X34x1X3 222 5)V(x)=x1 3x2 11x3 -2

3、x1x2 4x2x；3 2x1x3 2-10 因为顺序主子式 1) V (x) = xT Ax = xT -1 31 x , 0 1 1J -12 3一1 -1 0 11=30 1 1 0 标准 所以A 0，V(x)为正定函数。 实用文档 8 -4 1 1 -4 2 -1 x, 因为主子式 J -1 1 一 8 -4 8 1 2 -1 =0, = 70, -4 2 1 1 -1 1 T 8,2,1 0, -1 0, 1 2) V (x)二 xTAx 二 x 8-4 -42 -1 =16 4 4 -2 -16-8 ： 0 1 -1 所以A不定，V(x)为不定函数。 3) V(x)二 xT Ax

4、二 xT 1 -1 -1 2 0, 0 12 01 % 1 x,因为顺序主子式 -1 -1 0, 0 12 0 12 1 所以A为不定矩阵，V(x)为不定函数。 4) V(x)二 xT Ax 二 xT 10 1 -2 -1 x, 因为顺序主子式 10 1 0 10 1 = 39a0, 1 4 1 1 4 1 0 _1 1 1 10 0, =40 1 10 =290 所以 A 0 , V(x)为正定函数。 5) V( x)二 xT Ax 二 xT 1 -1 -1 x, 因为顺序主子式 1 -1 1 1 -1 =2 a0, -1 3 2 -13 1 2 11 11 2 1 0, =33-2-2-3

5、-11一4=110 所以 A 0 , V(x)为正定函数。 5.2用李雅普诺夫第一方法判定下列系统在平衡状态的稳定性。 % 二-捲 X2 X (x12 x22) 22 =-x2 x2 (x1 x2 ) 厂22 解方程组J X * X2 % a； + XT = 0得三个孤立平衡点 X - X? X? (X X? )=0 0, 0），（ 1,- 1）和（一1, 在（0, 0）处将系统近似线性化，得 x，由于原系统为定常系统，且矩阵 2的特征根 - -1 _、2i均具有负实部, -1 于是根据李雅普诺夫定理可知系统在原点 标准 （0, 0）附近一致渐近稳定。 在（1, 1）和（1,1）处将系统近似线

6、性化, 得x=3 x，由于矩阵|3 一们 3 一-3 3 1, 1）附近不稳定。 的特征根，=3 _ 3 0 ,根据李雅普诺夫定理可知系统在点 _3 _们 在（1, 1）处将系统近似线性化，得x = |x，由于原系统为定常系统，且 1-3 3 一 3 _们 矩阵的特征根k =3 土 J3a0，根据李雅普诺夫定理可知系统在点（1, 1）和 ：-3 3 一 点（一1, 1）附近不稳定。 该题求解时往往容易忽略平衡点 （1， 1）和（1,1） 5.3试用李雅普诺夫稳定性定理判断下列系统在平衡状态的稳定性。 =_21 1 X _3 解 由于题中未限定利用哪一种方法，且系统为线性定常系统， 所以利用第一

7、方法比较 _1 1 一 合适。经计算知矩阵 |的特征根为-2土J3c0，所以系统在原点是大范围渐近稳 2-3一 定的。 对于线性系统关于稳定性的结果是大范围的全局性结果。 5.4设线性离散时间系统为 010 x(k +1)=001 x(k)m0 0m/20 一 试求在平衡状态系统渐近稳定的m值范围。 解令Q=l,由方程GtPG-P=Q得 0 |1 卫 0 0 口1 p2 巳2 l23 1 0 1 0 1 m2 0 p2 ,p3 p2 P13 P33 解此方程得 1 0 p = 0 8+m2 4 -m2 0 0 - 0 0 12 - 2 4 -m - 若要P - 0应有0 : m 2。 a11

8、_a21 5.5试用李雅普诺夫方法求系统 a12 x a22 在平衡状态x=0为大范围渐近稳定的条件。 - a11_ai2 _a21 一 a22 解用李雅普诺夫第一方法。首先求系统矩阵的特征方程 （耳1 X0,0)是否恒等于零。考虑到使得V(x) = 0的可能性只有上述两种 情况，所以问题归结为判断这两种情况是否为系统的受扰运动解。先考察情况(a): (t;X0,O) - %(0,0 T，则由于X2(t)三0可导出X2(t) =0，将此代入系统的方程可得： X1 =X2(t) = 0 0 =X2(t) = -(1 X2(t)2X2(t) -X1(t) = -X1(t) 这表明，除了点(X1 =

9、0, X2 =0)外，(t;x0,0X1(t),0 T不是系统的受扰运动解。再 AT 考察情况(b)：$(t;x0,o)=【x,(t),1】T，则由X2(t) = 1可导出*2(t) = 0,将此代入系统 的方程可得： Xl(t) =X2(t)二1 0 = X2(t) = -(1 x2 (t) x2(t) Xjt) = -Xt) 显然这是一个矛盾的结果，表明(t;x0,0 lx1(t),-11也不是系统的受扰运动解。综上分 析可知，V( (t;Xo,O)-O。 (iv)当x12 x22 r 时，显然有 V(x)=牡 _ ： 于是，可以断言，此系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。 5.13试用

10、克拉索夫斯基定理判断下列系统是否是大范围渐近稳定的。 3 =为一x2 -x2 标准 解 显然x = 0是系统的一个平衡点。 F(x)3 F(x)二 Ft(x) F(x)= -2 26X2 由-60和 -6 2 2 -2-6x2 -12 36x| - 40知F (x) ： 0。由克拉索夫斯基定理可知系 统在原点渐近稳定。又因为 X2 )2(Xi X2 X；)2=二 所以原系统在原点处是大范围渐近稳定的。 5.14试用克拉索夫斯基定理判断下列系统的稳定性。 丸=-2x1 x1x22 3Xg X2 二 -乂 -3x； X； =3x2 -3x； 解 显然x = 0是系统的一个平衡点。 I -22x1x

11、26X3 2 F (x) = -2X1X2_X2_3 2 03-9x3 _ -406X3 F(x) =FT(x)+ F(x) = 0-2xf0 6x3018 X3 由一6： 0, -4 0 0 -2x| -4 0 6x3 0 -2x| 0 6xf 0=_72x；x； c0，知 F(x) v0 o -18xf 由克拉索夫斯基定理可知系统在原点渐近稳定。又因为 T22 2223 2 hm f (x) f (x) = Rm；( 一3xix/2 3x3)(加23乂3)(3x23x3) ： 所以原系统在原点处是大范围渐近稳定的。 5.15试用克拉索夫斯基定理确定使下列系统 % = ax., x2 x2

12、= xx2 bx25 的原点为大范围渐近稳定的参数a和b的取值范围。 解 F (x)= 1-1 5bx4 F(x) =FT(x) +F(x) =2& 1 -1 5bx4 因为系统在原点渐近稳定，所以当X-； 0 ,应有F(x) ： 0，又X-； 0时，F(x) ： 0的充 要条件为2a : 0, -a 5abx4 -4 ： 0。于是a应满足a乞-1。又因为系统大范围渐近稳定， 所以当Xr 时，应有F(x) ：0。注意 Xr , a ： -1时，F(x) : 0的充要条件为 b乞0 ； x ： a =-1时，F(x)：0的充要条件为 b 0。综上，a, b的取值范围为： a _ _1,b ： 0

13、，或 a T,b 玄 0。 5.16试用变量一梯度法构造下列系统的李雅普诺夫函数 2x13x2 解设V的梯度为 P必+62X2 、V 二 IL a2iXi - 2 于是V的导数为 V =(. ：V)TX = (aiiXi - 312X2)Xi 1X1 2x2)X2 试取 3ii = i, 3i2 = a?i = 0,则 2 2 2 V 二-Xi (i - 2Xi X2) - 2x2 当i -2x% 0时，V 0。注意到V二Xi满足旋度方程Vi 也，所以可 怒 知 XiX， 22 V 二 XidXi12x2dx2x1 x2 2 00 2 由这个李亚普诺夫函数可看出，在i-2xiX2 0范围内，系统是渐近稳定的。口 5.I7用变量一梯度法求解下列系统的稳定性条件。 Xi “2 X2 二 a(t)Xi a2(t)X2 解设V的梯度为 |_a2ixi _ 2 C22ai(t) X1X2C22X2 于是V的导数为 V = ( ：V)T X = aiiXiXi 2x2X2 =(Gi X2 2(Cii C223i(t) i 2 (cii + C22ai (t) C22a2 (t ) 丄*0, -x2:xi 于是可知 NV = |GiX|