12_2正项级数

1、2 正项级数 三、积分判别法 收敛性是级数研究中最基本的问题, 本节将 对最简单的正项级数建立收敛性判别法则. 一、正项级数收敛性的一般判别原则 二、比式判别法和根式判别法 *四、拉贝判别法 一、正项级数收敛性的一般判别原则 1.1.定义定义: : 1 (1) 0 nn n uu 如果级数中各项均有， 这种级数称为正项级数. 1 (2) 0 nn n uu 如果级数中各项均有， 这种级数称为负项级数. (3)正项级数与负项级数,统称为同号级数. 负项级数 可以转化 为正项级 数来研究 111 0 nnnn nnn uuuu 当时,=-，为正项级数 2.2.基本定理基本定理: : 部分和数列 为

2、单调增加数列. n s 12 1 (1) nn n uu uu 设= + 0,(1,2,) n un为正项级数,于是 其部分和 1121nnn suuuu + 1nn su + n s 结合数列极限的单调有界定理,有基本定理基本定理: : 0(1,2,), i ui由由于于证证 所以所以Sn是递增数列是递增数列. .而而 单调数列收敛的充要条件是该数列有界单调数列收敛的充要条件是该数列有界( (单调有界单调有界 定理定理).).这就证明了定理的结论这就证明了定理的结论. . 定理定理12.5 n u 正项级数正项级数收敛的充要条件是收敛的充要条件是:部分和部分和 n S数列数列有界有界, 即存

3、在某正数即存在某正数M, 对一切正整数对一切正整数 n 有有 . n SM 注注: (1)叙述基本定理的逆否命题. (2)正项级数敛散性的所有的判别法, 归根到底,都是根据这条简单的定理. 1 1 : ! n n Ex明1 证 :证 11 !1 2nn 1 1 2n ,于是 部分和 1 1 ! n n k s k 1 1 1 2 n k k 1 1 2 1 1 2 n 1 1 2 2n 2, , n s有上界 1 1 . ! n n 1 1111 :1 23 pppp n nn E正级x2项数 p 称为级数(广义调和级数),讨论其敛散性. :1. 1p 当解时, p 级数正好是调和级数 1 1

4、 n n , 1 1 n k k 其部分和 111 23n 1+.无上界 2 . 1p 当时, 11 , p nn (1,2,)n n s其部分和 11 2 pp n 1+ 11 2n 1+.无上界 1 1 . p n n 3. 1p 当时,由不等式: 11 1111 , (2) 1 (1) ppp n npnn ,于是 部分和 11 2 n pp s n 1+ 111 11111 1 121 23 ppp pp 1+ 11 111 1 (1) pp pnn 1 111 11 p ppn 1+ 1 1p 1+, 1 p p , n s有上界 1 1 . p n n Ex :由中值定 理证此不等

5、式 ,:综上所述 有 1 1 p n p n 级数 , 1p 当 , 1p 当 牢记! 3. (2) 1p 法当时, o y x )1( 1 p x y p 1234 由图可知 11 1 nn ppp nn dxdx xnn 111 1 23 n ppp s n 2 11 1 n pp n dxdx xx 1 1 n p dx x 1 11 11 1 p pn 1 11p n s即 有界,.p 则级数收敛 仅靠定义和定理仅靠定义和定理12.5来判断正项级数的收敛性是不来判断正项级数的收敛性是不 容易的，因此要建立基于级数一般项本身特性的收容易的，因此要建立基于级数一般项本身特性的收 敛性判别法

6、则敛性判别法则. . 3.比较审敛法比较审敛法 nn uv设和是两个正项设和是两个正项定理定理12.6 (比较原则比较原则) 级数级数, , 如果存在某正数如果存在某正数N, , 对一切对一切 n N 都有都有 (1) nn uv 则则 (i),; nn vu若若级级数数收收敛敛 则则级级数数也也收收敛敛 (ii),. nn uv若若级级数数发发散散 则则级级数数也也发发散散 证证 因为改变级数的有限项并不影响原有级数的敛因为改变级数的有限项并不影响原有级数的敛 散性散性, ,因此不妨设不等式因此不妨设不等式(1)对一切正整数都成立对一切正整数都成立. . nnnn SSuv现现在在分分别别以

7、以和和记记级级数数与与的的部部分分和和. . 由由(1)式可得式可得, ,对一切正整数对一切正整数 n, 都有都有 (2) nn SS ,lim, nn n vS 若若收收敛敛 即即存存在在 则由则由(2)式对一切式对一切 n 有有 n u lim nn n SS n S , 即正项级数即正项级数 的部分和数列的部分和数列 有有 界界, 由定理由定理12.5级数级数 n u 收敛收敛, 这就证明了这就证明了(i). (ii)为为(i)的逆否命题的逆否命题, ,自然成立自然成立. . 例例1 2 1 . 1nn 考考察察的的收收敛敛性性 解解 2,n由由于于当当时时 有有 22 111 . 1(

8、1)nnnnn n 因为正项级数因为正项级数 2 1 (1) n n n 收敛收敛 (1例例5的注的注), 故由故由 比较原则和定理比较原则和定理12.3, 级数级数 2 1 1nn 也收敛也收敛. 22 , nnnn uvu v收收敛敛 则则级级数数收收敛敛. . 例例2 若级数若级数 22 | nnnn u vuv 22 , nn uv证证 因为因为 , 而级数而级数 收敛，收敛， 根据比较原则根据比较原则, 得到级数得到级数 nn u v 收敛收敛. 证明证明 11 , 1(1)nn n 1 1 , 1 n n 而级数发散 1 1 . (1) n n n 级数发散 注:应用比较审敛法须有

9、参考级数,作为比较标准. 重要参考级数重要参考级数: : 几何级数, P-级数, 调和级数. 在实际使用上在实际使用上, ,比较原则的极限形式通常更方便比较原则的极限形式通常更方便. . , nn uv 推论推论 (比较原则的极限形式比较原则的极限形式) 设设 是两个是两个 正项级数正项级数, ,若若 lim,(3) n n n u l v 则则 (i)0,; nn luv 当当时时 级级数数, ,同同敛敛散散 (ii)0,; nn lvu 当当且且级级数数收收敛敛时时 级级数数也也收收敛敛 (iii),. nn lvu 当当且且级级数数发发散散时时 级级数数也也发发散散 证明证明( )lim

10、 n n n u il v 由 0, 2 l 对于 1, N 1 ,nN当时 22 n n ull ll v 1 3 () 22 nnn ll vuvnN即 由比较原则, 得证. ( )lim0 n n n u ii v 由 10,对于 2, N 2 ,nN当时 11 n n u v 2 () nnn vuvnN即 1 n n v 由 1 n n u 得证. (iii),l 若若 则对于正数则对于正数1, , 存在相应的正存在相应的正数数N, ,当当 n N 时时, , 都有都有 1. n nn n u uv v 或或 于是由比较原则知道于是由比较原则知道, 若级数若级数 n v 发散发散,

11、则级数则级数 n u 也发散也发散. 解解)1( 1 3 lim 1 3 n n n n sin1 lim 1 n n n 1,所以原级数发散. )2( 1 lim 13n n n 1, 1 1 , 3n n 收敛故原级数收敛. 比较标准 调和级数 比较标准 几何级数 1 1 , n n 而 *例例5 判断正项级数判断正项级数 1 2 sin 1 n n n 的敛散性的敛散性. 1 sin lim1, 1 n n n 1 2 sin 1 n n n 2 1 n 解解 因为因为 故可将故可将 与与进进 行比较行比较. . 由于由于 1 2 sin1 2 2(1sin) 1 2 sin 2 1 l

12、imlimlim 1 n n n n nnn n n n n n n n 1 2(1sin)ln lime, nn n n 注意到注意到 2 111 lim 1sinlnlim 1ln nn nnnon nnn 2 2 1ln lim0, n n no nn 所以所以 1 2(1sin)ln lime1. nn n n 根据比较原则根据比较原则, 原级数收敛原级数收敛. 二、比式判别法和根式判别法 本段所介绍的两个方法是以等比级数作为比较对象本段所介绍的两个方法是以等比级数作为比较对象 而得到的而得到的, , 但在使用时只要根据级数一般项本身的但在使用时只要根据级数一般项本身的 特征就能作出判

13、断特征就能作出判断. . 定理定理12.7( (达朗贝尔判别法达朗贝尔判别法, 或比式判别法或比式判别法)设设 n u 为正项级数为正项级数, 且存在某正整数且存在某正整数 0 (01).Nqq及及常常数数 0 (i),nN若若对对一一切切成成立立不不等等式式 1 ,(5) n n u q u 则级数则级数 n u 收敛收敛. 0 (ii),nN若若对对一一切切成成立立不不等等式式 1 1,(6) n n u u . n u 则则级级数数发发散散 证证(i)(5)1n不不妨妨设设不不等等式式对对一一切切成成立立, ,于于是是有有 32 121 ,. n n uuu qqq uuu 把前把前n-

14、1个不等式按项相乘后个不等式按项相乘后, ,得到得到 132 121 nn n uuu q uuu 1 1 . n n uu q或或者者 由于当由于当0 q N 时时, , 有有 1 . n n u qq u 1,1,qq 当当时时 根根据据的的取取法法, ,有有 由上述不等由上述不等式式 的左半部分及比式判别法的的左半部分及比式判别法的 (i), 得正项级数得正项级数 n u 是收敛的是收敛的. . 1,1,qq 若则有若则有 根据上述不等式的左半部分根据上述不等式的左半部分 及比式判别法的及比式判别法的 (ii), 可得级数可得级数 n u 是发散的是发散的. ,qNnN若若则则存存在在当

15、当时时有有 1 1, n n u u . n u 所所以以这这时时级级数数是是发发散散的的 解 )1( 1 1 (1)! 1 ! n n un u n 1 1n 0 (),n 1 1 ! n n 故级数收敛. (),n )2( 1 1 (1)! 10 10! n n n n un un 1 10 n 1 ! . 10n n n 故级数发散 )3( 1 (21) 2 limlim (21) (22) n nn n unn unn 1, 比值审敛法失效比值审敛法失效, 改用比较审敛法改用比较审敛法 2 11 , (21) 2nnn 2 1 1 , n n 级数收敛 1 1 . 2(21) n nn

16、 故级数收敛 例例6 6 级数级数 22 52 5 82 5 823(1) , 11 51 5 91 5 914(1) n n 由于由于 1 233 limlim1, 144 n nn n un un 根据推论根据推论1，级数收敛，级数收敛. . 例例7 讨论级数讨论级数 1( 0) n nxx 的敛散性的敛散性. 解解 因为因为 1 1 (1)1 (), n n n n unxn xx n unxn 根据推论根据推论1, ,当当 0 x 1时级数发时级数发 n 散散; 而当而当 x = 1 1时时, 所考察的级数是所考察的级数是, 它显然也是它显然也是 发散的发散的. . 2( 1)3 ,

17、22 n nnnn uv E Ex x4 4 , 2 )1(2 11 收收敛敛级级数数 n n n n n u , )1(2(2 )1(2 1 1 nn n n n a u u 但但, 6 1 lim 2 n n a , 2 3 lim 12 n n a.limlim 1 不存在不存在 n n n n n a u u 性作出判断性作出判断. 例如级数例如级数 2 11 , nn 和和它们的比式极它们的比式极 1 2 1 1(), n n u n un 限限都都是是但但收收敛敛( 1例例5), 1 n 而而 却是发散的却是发散的(1例例3). 若某级数的若某级数的(7)式的极限不存在式的极限不存

18、在, ,则可应用上、下极则可应用上、下极 限来判别收敛性限来判别收敛性. . 若若(7)中中q = 1, ,这时用比式判别法不能对级数的敛散这时用比式判别法不能对级数的敛散 *推论推论2设设 n u 为正项级数为正项级数. 1 (i)lim1,; n n n u q u 若若则则级级数数收收敛敛 1 (ii)lim1,; n n n u q u 若若则则级级数数发发散散 *例例8 研究级数研究级数 2221 1(8) nnnn bbcb cb cb cb c 的敛散性的敛散性, 其中其中 0 b c. 解解 由于由于 1 , , n n b nu uc n 为为奇奇数数, , 为为偶偶数数 1

19、1 lim, lim, nn n n nn uu cb uu 故有故有 于是当于是当c 1 1时时, ,级数级数(8)发散发散; ; 但当但当b 1 N, 有有 . n n lul 于是由根式判别法就得到推论所要证明的结论于是由根式判别法就得到推论所要证明的结论. . 推论推论1( (根式判别法的极限形式根式判别法的极限形式) 设设 n u 为正项级为正项级 数数, ,且且 例例9 研究级数研究级数 2( 1) 2 n n 的敛散性的敛散性. 解解 由于由于 2( 1)1 limlim, 22 n n n n nn u 所以级数是收敛的所以级数是收敛的. . 若在若在(11)式中式中 l =1

20、, ,则根式判别法仍无法对级数的敛则根式判别法仍无法对级数的敛 散性做出判断散性做出判断. 例如例如 2 11 , nn 对和对和都有都有 2 11 1(), n n un nn 但但是是收收敛敛的的 而而却却是是 发散的发散的. . 若若(11)式的极限不存在式的极限不存在, 则可根据根式则可根据根式 n n u 的上极限的上极限 来判断来判断. . *推论推论2 设设 n u 为正项级数为正项级数, 且且 lim, n n n ul 则当则当 (i) l 1 时级数发散时级数发散. . *例例10考察级数考察级数 22nn bcbcbc 的敛的敛 散性，其中散性，其中01.bc 解解 由于

21、由于 1 2 1 1 21 (), () (), m m n n m m cc um bb 故故 lim1, n n n uc 因此级数是收敛的因此级数是收敛的. 1 limlim, n n n nn n uc ub 1 1 limlim01, n n n n n n ub uc 如果应用比式判别法如果应用比式判别法, 由于由于 我们就无法判断其收敛性我们就无法判断其收敛性. 1 lim n n n u q u lim. n n n uq 根据第二章总练习题根据第二章总练习题 4 (7), 当当 时时, 必有必有 这说明凡能由比式判别法判别收敛性的级数这说明凡能由比式判别法判别收敛性的级数,

22、也能也能 由根式判别法来判别由根式判别法来判别, , 亦即根式判别法较之比式判亦即根式判别法较之比式判 别法更为有效别法更为有效. 例如级数例如级数 2( 1) , 2 n n 由于由于 2 2 21 21 3 3 2 limlim, 1 2 2 m m mm m m u u 21 21 2 2 1 1 2 limlim, 3 6 2 m m mm m m u u 故比式判别法无法鉴别此级数的收敛性故比式判别法无法鉴别此级数的收敛性. 但应用根但应用根 式判别法却能判定此级数是收敛的式判别法却能判定此级数是收敛的( (例例9).).那么那么, , 是是 否就不需要比式判别法了？请看下面例子否就

23、不需要比式判别法了？请看下面例子. . 例例11 判别下列级数的敛散性：判别下列级数的敛散性： 2 1 ( !) (i) ; (2 )! n n n 2 1 (ii) . 1 2 n n n n 解解 (i) 因为因为 2 1 2 (1)!(2 )! limlim 2(1)! ( !) n nn n unn unn 2 (1)1 lim1, (21)(22)4 n n nn 由比式判别法，原级数为收敛由比式判别法，原级数为收敛. . 1 1, 2 22 limlimlim 1 1 2 2 nn n n n nnnn nn u n n (ii) 因为因为 由根式判别法由根式判别法, 原级数为收敛

24、原级数为收敛. 注注 由于极限由于极限 2 ( !) lim (2 )! n n n n 很难求很难求, 所以上例中的所以上例中的 (i) 不采用根式法不采用根式法. . :判别下列正项级数Ex5的敛散性 ln 111 12 (1) , (2) , (3) , 313 ln n n nn nnn n n n 2 1 2( 1)11 (4) 1, (5) . 22 n n nn n n :(1)解lim n n n u lim 31 n n n 1 , 3 1 ; 31 n n n n (2) lim n n n u 1 lim ln n n 0, 1 1 ; ln n nn (3) lim n

25、 n n u ln 2 lim 3 n n n 2, ln 1 2 ; 3 n n n (4) lim n n n u 11 lim1 2 n n n 2 e 1, 2 1 11 1; 2 n n n n (5) lim n n n u 2( 1) lim 2 n n n 1 , 2 2( 1) . 2 n n 三、积分判别法 由于比式和根式判别法的比较对象是几何级数由于比式和根式判别法的比较对象是几何级数, ,局局 限性较大限性较大, , 所以还需要建立一些更有效的判别法所以还需要建立一些更有效的判别法. . 1 ( )f x dx 级数与无穷积分之间,联系十分密切. 事实上, 1 ( )f

26、 x dx 1 lim( ) n n f x dx 1 1 1 lim( ) n k nk k f x dx 1 1 ( ) k k k f x dx 进一步研究,我们有 1 ( ),f x dx 如则 1 1 ( ) k k k f x dx 定理定理12.9 (积分判别法积分判别法)设设 1,)f为为 上非负减函数上非负减函数, 那么正项级数那么正项级数 + 1 ( )( )df nf xx与反常积分与反常积分 同时同时 收敛或同时发散收敛或同时发散. . 证证 由假设由假设1,)f 为为上非负减函数上非负减函数, 对任何正数对任何正数 A, , f 在在1, A上可积上可积, ,于是于是

27、 1 ( )( )d(1),2,3,. n n f nf xxf nn 依次相加可得依次相加可得 1 1 221 ( )( )d(1)( ).(12) mmm m nnn f nf xxf nf n 若反常积分收敛若反常积分收敛, ,则由则由(12)式左边式左边, ,对任何正整数对任何正整数m, , 有有 11 1 ( )(1)( )d(1)( )d . m m m n Sf nff xxff xx 根据定理根据定理12.5, 级数级数 ( )f n 收敛收敛. 1 1 221 ( )( )d(1)( ).(12) mmm m nnn f nf xxf nf n 反之反之, 若若 ( )f n

28、 为收敛级数为收敛级数, 则由则由(12)式右边式右边, 对任对任 一正整数一正整数 m(1)有有 1 1 ( )d( ).(13) m m f xxSf nS 1 0( )d,1. A n f xxSS nAn + 1 11.2( )d.f xx根根据据定定理理得得反反常常积积分分收收敛敛 因为因为f (x)为非负减函数为非负减函数, 故对任何正数故对任何正数 A, 都有都有 用同样方法用同样方法,可以证明可以证明 + 1 ( )( )df nf xx与与 是同时是同时 发散的发散的. . 例例12 讨论讨论 1 . p p n 级级数数的的敛敛散散性性 1 ( ),01,) p f xp

29、x 当时在当时在解解 函数函数上是非负减函上是非负减函 + 1 d 11 p x pp x 数数, ,反反常常积积分分在在时时收收敛敛, ,时时发发散散. .故故 1 1,01 p pp n 由积分判别法得当时收敛 当由积分判别法得当时收敛 当 0p时发散时发散. 至于至于的情形的情形, 则可由收敛的必要条件则可由收敛的必要条件 知它也是发散的知它也是发散的. . 例例13 讨论下列级数讨论下列级数 23 11 (i);(ii). (ln )(ln )(lnln ) pp nn nnnnn 的敛散性的敛散性. 解解 2 d , (ln ) p x xx 研研究究反反常常积积分分由由于于 + 2

30、2ln2 dd(ln )d (ln )(ln ) ppp xxu xxxu 1,1pp当当时时收收敛敛时时发发散散, ,根根据据积积分分判判别别法法得得级级 (i)1,1.pp数数在在时时收收敛敛时时发发散散 3 (ii), (ln )(lnln ) p dx xxx 对对于于考考察察反反常常积积分分同同样样可可 1p 推得级数推得级数 (ii) 在在 p 1时收敛时收敛, 在在 时发散时发散. 四、小结 正正 项项 级级 数数 审审 敛敛 法法 4.充要条件充要条件 5.比较审敛法及其极限形式比较审敛法及其极限形式 6.比值审敛法及其极限形式比值审敛法及其极限形式 7.根值审敛法及其极限形式

31、根值审敛法及其极限形式 3.按基本性质按基本性质; 1.;,则级数收敛则级数收敛若若SSn 2.;, 0,则则级级数数发发散散当当 n un 8.积分审敛法积分审敛法 由于比式和根式判别法的比较对象是几何级数由于比式和根式判别法的比较对象是几何级数, , 如如 果级数的通项收敛速度较慢果级数的通项收敛速度较慢, , 它们就失效了它们就失效了, 如如 p 级数级数. . 拉贝拉贝(Raabe)判别法是以判别法是以 p p 级数为比较对象级数为比较对象, , 这类级数的通项收敛于零的速度较慢这类级数的通项收敛于零的速度较慢, , 因此较比式因此较比式 或根式法在判断级数收敛时更精细或根式法在判断级

32、数收敛时更精细. . *四、拉贝判别法 1 11, n n u nr u ; n u则则级级数数收收敛敛 0 (ii),nN若若对对一一切切成成立立不不等等式式 1 11, n n u n u . n u 则则级级数数发发散散 0 (i),nN若若对对一一切切成成立立不不等等式式 定理定理12.10 (拉贝判别法拉贝判别法) 设设 n u 为正项级数为正项级数, 且存且存 0 .Nr在在某某正正整整数数及及常常数数 .1pr由于由于 1 00 1 11 1(1)(1) limlimlim p pp nxx xpxn r rxr n 1, p r 11 11,1. nn nn uur nrp u

33、un 由由得得选选使使得得 证证 (i) 故存在正数故存在正数N, 使对任意使对任意n N ，都有，都有 1 11. p r nn 1 111 1111. ppp n n un unnn 11 1 1 nnN nN nnN uuu uu uuu 这样这样 于是于是, 当当n N 时，有时，有 121 1 ppp N nnN u nnN (1)(1)1 . pp N pp N NN u nun 1 1,. n p pu n 因因为为时时收收敛敛 所所以以是是收收敛敛的的 11 11 (ii)11,1, nn nn uun n uunn 由得于是由得于是 13 12 12 nn n nn uuu uu uuu 2 121 12 nn u nn 2 1 .u n 1 ,. n u n 因因为为发发散散 故故是是发发散散的的 推论推论(拉贝判别法的极限形式拉贝判别法的极限形式)设设 n u 为正项级数为正项级数, 且极限且极限 1 lim1 n n n u nr u (i)1,; n ru当当时时 级级数数收收敛敛 (ii)1,. n ru当当时时