航班超员订票问题讲解

1、2014第五届南昌地区高等院校数学建模联赛承诺书我们仔细阅读了南昌地区高等院校数学建模联赛的竞赛规则。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网 上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的 , 如果引用别人的成果或其他公开的 资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参 考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规 则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从 A/B 中选择一项填写）： A报名序号是 （没有

2、或不清楚可不填 ）:.参赛队员 （打印并签名 ） ：所属院系（请填写完整的全名） ：1. 梁倩签名:院系 :经济与管理学院2. 王少文签名:院系 :信息工程学院3. 李瑞签名:院系 :理学院联系方式：期： 2014 年 5 月 1 日2014 第五届南昌地区高等院校数学建模联赛编号专用页评阅编号：评阅记录：评阅人备注航空公司超员订票问题摘要中国航空市场竞争激烈， 大大小小的航空公司为了争夺有限的客源， 实现利润最大 化，采取了各种售票策略，其中最受欢迎的就是超员定票策略，即售出的机票数超过飞 机拥有的座位数。在这种情况下，就出现了乘客延误航班的情况。航空公司安排延误乘

3、 客的方式各有不同，有些得不到任何补偿 , 有些改订到其他航线的稍后航班，而有些则 给予某种现金或机票折扣。针对当前情况，我们综合考虑了航空公司可能安排较少的从 A 地到 B 地航班，机场及其外围加强安全性，乘客的恐惧以及航空公司的收入迄今损失 达数千万美元等因素，在合理的假设下，主要运用概率论与数理统计中的二项分布原 理 ，通过建立单一航班模型、双航班模型以及多航班模型来寻找出最优的定票策略， 使得航空公司的总收益达到最大。针对问题 1，我们假定这个单一航班模型和收益不会受到先前航班的影响，且预订 票数量大于飞机的容量，通过对持票者是否出现的概率进行计算，引入随机变量计算出 它的数学期望，最

4、后得到其期望利润，即少的航班将会增加罚金的数量或者需要赔偿的 人数，因此会减少这个最理想的订票数量。针对问题 2，在假设不变的前提下，通过对两趟航班持票者出现的概率和第一趟航 班超员人数转乘第二趟航班的概率以及两个航班乘客产生碰撞的概率进行具体分析， 运 用 MATLAB软件对其进行求解，得出期望值。我们得出的结论是：提高安全防范也会降 低这个最理想的订票数量，乘客恐惧的增加会相应的增加这个最理想的订票数量针对问题 3，在问题 1和问题 2的综合分析下， 运用递归法，推广到 n个航班模型， 我们得到的结果是：这个损失数千万美元对最理想的订票数量没有影响。关键词：超员定票 二项分布 概率 期望值

5、 最大收益 MATLAB1. 问题重述1.1 问题背景 你备好行装准备去旅行，访问北京的一位挚友。在检票处登记之后，航空公司职员 告诉说，你的航班已经超员订票。 乘客们应当马上登记以便确定他们是否还有一个座位。 航空公司一向清楚，预订一个特定航班的乘客们只有一定的百分比将实际乘坐那个航 班。因而，大多数航空公司超员订票 ?也就是，他们办理超过飞机定员的订票手续。而 有时，需要乘坐一个航班的乘客是飞机容纳不下的，导致一位或多位乘客被挤出而不能 乘坐他们预订的航班。航空公司安排延误乘客的方式各有不同。有些得不到任何补偿， 有些改订到其他航线的稍后航班，而有些给予某种现金或者机票折扣。根据当前情况，

6、 考虑超员订票问题： 航空公司安排较少的从 A地到 B 地航班，机场及其外围加强安全性， 乘客的恐惧以及航空公司的收入迄今损失达数千万美元，建立数学模型，用来检验各种 超员订票方案对于航空公司收入的影响，以求找到一个最优订票策略。1.2 提出问题根据以上描述，现试完成以下问题：问题 1：在单航班飞行前提下，如何制定售票策略，使得航空公司成本降到最低， 实 现收益最大化。问题 2：在双航班模式中，如何找到超员定票最佳数量，实现预期收益。问题 3：当一条航线中有多个航班时， 综合考虑对延误乘客的各种处理方式， 找到一 个最优订票策略，使得航空公司总的收益达到最大。2. 问题分析在此题中综合考虑其问

7、题的全面方法主要使用二项分布法进行求解， 在题中需考虑 到的因素较多，但最终还是回归到最大收益问题，得到最优解。问题一分析：我们假设从 A 地到 B 地只安排一架航班，对于每个订票的乘客来说， 登机的概率是都是相同的，并且互相不会影响，虽然有些乘客会组队出行，但这样考虑 是很有必要的。由于我们只考虑超额订票的情况，所以订票人数会大于机舱的容量。我 们使用二项分布来求航空公司的预期收益，但这样考虑还是不够完备的，当有乘客出现 无法登机的情况时，我们还需要考虑乘客的赔偿问题，以此来弥补乘客的损失。问题二分析：从 A 地到 B 地我们安排了两架航班，对于订了第一架航班的乘客来 说，如果没有登上第一架

8、航班，他可以乘坐第二架航班。当然此时会出现第一架航班的 乘客和第二架航班的乘客产生冲突。那么概率 P2（k）会发生变化，因为 k 现在可能是 人们购票的结合，即第二个航班和第一个航班的乘客碰撞。我们假设出现的人数仅仅只 是受飞行和前面航班的影响，并且有足够的需求来弥补预定数量的订单，因此我们采用 新的公式来计算航空公司的预期收益。问题三分析：我们现在将从 A 地到 B 地的航班次数推广到 n 次，我们假设每个航 班都会受到前面航班的影响，并且每个航班都是超员定票，因此乘客碰撞现象形成多米诺骨牌效应，随着 n 的增大，我们的概率函数变为递归。在 n 航班模型下，我们采取多 种方式去处理延误的乘客

9、，尽可能的将航空公司的损失降到最低，通过递归方法得到概 率函数和收益函数，从而寻找出最优解。3. 模型假设1、假设每个预订航班而不能上机的乘客的赔偿费用固定为b；2、各位乘客是否按时前来登机是相互独立的；3、每趟飞机预订票数量都大于飞机的实际座位数；4、预订票数量的限额为常数 m（N ）每位乘客不按人时登机的概率为 p，各位乘客是 否按时登机是相互独立的；5、飞机的容量为常数 N，机票的价格为 g，航班飞行总费用（与乘客数量无关）为 f， f 与乘客数量无关，机票价格按照 g f 来制订，其中 （ 1） 是利润调节因子，如 0.6， n表示飞机 60%满员率就不亏损；4. 符号解释与说明符号的

10、解释：符号量符号说明N指定航班飞机总容量g机票价格f航班飞行总费用m持票人数k未出现者人数b赔偿费用S(M )航班的期望收益p单个不按时登机乘客事件概率J(m)单位费用获得的平均利润利润调和因子3Pj (m)不按时前来登记的不超过 m-N-j-1 人概率p j、 j2、 j3第一、第二及第三次航班持票未来的乘客小于 1 的特定正数5. 模型建立与求解5.1 问题 1 模型：单一飞行模型5.1.1模型建立公司的经济利益可以用平均利润 S来衡量，每次航班的利润 Sk 为机票收入中减去飞 行总费用可能发生的赔偿金， 当 m为乘客中有 k 为不按时前来登机时， 且为超员订票情 形，那么航班的利润式应该

11、写为(m k)g f , k m NSk(1.1)k (Ng f) (m k N)b, k m N有假设 5，不按时登机的乘客数 k 服从二项分布，于是概率k k m kpk P(K k) Cmk p q , q 1 p (1.2) 此时航班的效益利润为m m N 1 mS(m)PkSk =pk(Ng f ) pk(m k)g f (1.3)k 0 k 0 k m Nm化简(3)式，并注意pk mp ，可得k0mN1S(m) qmg f (g b) (m k N)pk(1.4)b0通常，当飞机航班载客量率达到 60% 时，航班可以达到收支平衡，所以可以假设f 0.6Ng . 于是有S(m)(1

12、.5)1b m N 1 pmg (1 )p(k m N k ) 10.6Ng k 0公司从乘客的所会产生的恐惧和收入经济利益两方面考虑，应该要求被挤出的乘客尽量不要太多，而由于被挤掉者的数量是随机的，可以用被挤掉的乘客数超过若干人作 为度量指标 .记被挤掉的乘客超过 j 人的概率为 pj1(m) ，因为被挤掉的乘客超过 j 人，等 价于 m 位预订票的乘客中不按时前来登记的不超过 m-N-j-1 人，所以m N j 1Pj1(m)pk(1.6)k0对于给定的 N，j，显然当 m=N+j ，被挤掉乘客不会超过 j人，即 pj(m) 0.而当 m变大时， p j1(m)单调增加 .综上， S(m)

13、和 Pj1(m)虽然是这个优化问题的两个目标， 但是可以将 Pj1(m)不超过某给定值作为约束条件，以 S(m) 为单目标函数来求解5.1.2模型求解为了减少 S(m)中的参数，取 S(m)除以飞行费用 r 表示全新目标函数 J (m) ，其含义是单位费用获得的平均利润，注意到假设 6 中有 g r ，由 式可得nmN1J(m) S(m) 1 qm (1 b) (m k N)pk 1 (1.7)r n g k 0其中 b是赔偿金占机票价格的比例 .问题化为给定 ,n,p,b，求 m使得J (m)最大，而约 gg束条件为mN j 1Pj1 (m)pk(1.8)k0其中 是小于 1 的正数.5.2

14、 问题 2 模型：双飞行模型5.2.1模型建立 双飞行模式开始更新两者的概率和收益函数。不同于单飞航班飞行模式，新的功 能反映的是从一个航班碰撞的乘客填补到下一航班席位。 此时第二个航班的概率即将发 生变化，我们针对于模型进行进行分析：p2(k) pr (k人出现在航班 2)pr (k普通乘客到达 )* pr (没有人和航班 1碰撞 ) pr(k 1乘客到达 )* pr (1个乘客碰撞 )pr(k j到达)* pr ( j个乘客碰撞 )pr(k (m N )个乘客到达 )* pr(m N 碰撞)(2.1)即化简为：mm Np2(k) p1(k)1p1(i)p1(k j)p1(N j) (2.2

15、)i N 1 j 1对于航空公司的经济平均预期利润为 S和每次航班的利润 Sk .类似模型一中 ,当存在 超订票情形， m为乘客中有 k 为不按时前来登机时，那么航班的利润式应该写为(m k)g f , k m NSk(2.3)k1 (Ng f ) (m k N)b, k m N再归溯到模型一之中，经过大量的数量统计得出近似概率，也就是第一个未到达乘 客概率即为 p，故有：k k m kp1(k) P(K k) Cmk p q , q 1 p (2.4) 则此时针对于模型二，航班的平均利润为m m N 1 mS(P2(k)Sk =(p2(k)(Ng f)(p2(k)(m k)g f (2.5)

16、k 0 k 0 k m N经过化简我们可以得到：m N 1S(m) qmg f (g b) (m k N)(p2(k)(2.6)b0通常，当飞机航班载客量率达到60%时，航班可以达到收支平衡，所以可以假设f 0.6Ng .于是有S1 f 0.6N pmg (1mN1b)( P2 (k )() m N k) 1g k 0(2.7)又因为航空公司本身从获利最大化着手，要保证尽量少的被挤出乘客所产生的心理 和安全方面影响不会导致公司之后的经营结果，应该要求被挤出的乘客尽量不要太多， 而由于被挤掉者的数量是随机的， 可以用被挤掉的乘客数超过若干人作为度量指标 .此时 记被挤掉的乘客超过 j2人的概率为

17、 Pj2 (m) ，因为在第一趟航班中被挤出来的乘客优先安 排进入下一航班的飞机， 且被挤出的人内不包含上一航班被挤出的人员， 等价于 m 位预 订票的乘客中不按时前来登记的不超过 m-N- j2-1 人，所以有m N j1 1Pj2 (m)p2(k)(2.8)k0对于给定的 N， j2 ，显然当 m=N+ j 2 ，被挤掉乘客不会超过 j2人，即 pj2(m) 0.而当 m变大时， p j2 ( m)单调增加 .综上， S(m)和 Pj2(m) 虽然是这个优化问题的两个目标，但是可以将 Pj2 (m) 不超过某给定值作为约束条件，以 S(m) 为单目标函数来求解，通过比较各模型 S( m)大

18、小即符 合我们题目所提示考虑的各点因素 .5.2.2模型求解为了减少 S(m) 中的参数，取 S(m) 除以飞行费用 r 表示全新目标函数 J(m) ，其含义 是单位费用获得的平均利润， 同模型一相似求解， 注意到假设 6中有 g r ，我们即可 n 知第一次航班所碰撞剩下来乘客(2.9)(2.10)mm Np2(k) p1(k)1p1(i)p1(k j)p1(N j)J(m) S(rm) 1nqm (1 bgmN1(m k N)p2(k) 1 k0i N1j 1bb其中 b是赔偿金占机票价格的比例 .问题化为给定 ,n,p, ，求 m使得 J (m)最大， gg而约束条件为(2.11)m N

19、 j 1 Pj (m)p2(k)k0其中 是小于 1 的正数.5.3 问题 3 模型： n 个航班模型5.3.1模型建立 所对应航空公司如若可以安排多余两次或两次以上航班， 即 n(n=2,3,4 )次航班 , 需要注意的是至多为 n*(b-c) 个人能碰撞从收入函数 2-飞行模型进行扩展到飞行次数 N, 则第 n 个航班中为乘客已订票但未到机场的概率，我们利用类比法得 :pn(k)p1m (n 1)( m N ) pn 1(i) iN1(n 1)( m N ) p1(k j1j) pn 1(Nj)(3.1)对于航空公司的经济平均预期利润为S 和每次航班的利润 Sk .类似模型一中 ,当存在超

20、订票情形，m 为乘客中有 k 为不按时前来登机时，那么航班的利润式应该写为Sknkn(m k)g f,(Ng f) (m k N)b,(3.2)此时则对于 n 次航班，航空公司所获收益为m m N 1S(Pn(k)Sk=( pn(k)(Ng f)k 0 k 0 经过化简我们可以得到：mkmN(pn(k)(m k)g f(3.1)m N 1(3.2)S(m) qmg f (g b) (m k N)(pn(k)b0根据我们日常所知，当飞机航班载客量率达到 60% 时，航班可以达到收支平衡，所以可以假设 f 0.6Ng .于是有mN1N k ) 1(3.3)0.61Npmg (1 gb) k 0(P

21、n(k)() m进行收益利润最大化的同事，航空公司则要保证尽量少的被挤出乘客必须考虑到 从始发地到终止地航班次数，航空公司的收益欠佳，以及乘客的安全问题等，并尽量不 损害公司形象。 应该要求被挤出的乘客尽量不要太多， 而由于被挤掉者的数量是随机的， 可以用被挤掉的乘客数超过若干人作为度量指标 .此时记被挤掉的乘客超过 jn 人的概率 为Pj (m) ，因为在第 n-1 趟航班中被挤出来的乘客优先安排进入下一航班的飞机，且第 n 次航班被挤出的人内不包含上一航班被挤出的人员， 等价于 m 位预订票的乘客中不按 时前来登记的不超过 m-N- jn-1 人，所以有 m N jn 1Pjn (m)pn

22、(k)(3.4)k0对于给定的 N， j1 ，显然当 m=N+ j n ，被挤掉乘客不会超过 j1 人，即 pjn(m) 0.而当 m 变大时， pjn(m) 单调增加 .综上， S(m)和 Pjn (m)虽然是这个优化问题的两个目标，但是可以将 Pjn (m)不超过某 给定值作为约束条件，以 S(m) 为单目标函数来求解，通过比较各模型 S(m) 大小即符合 我们题目所提示考虑的各点因素5.3.2模型求解为了减少 S(m)中的参数，取 S(m)除以飞行费用 r 表示全新目标函数 J (m) ，其含义 是单位费用获得的平均利润，注意到假设 6中有 g r ，由 式可得nmN1J(m) S(m)

23、 1 qm (1 b) (m k N)pn(k) 1 (3.5) r n g k 0其中 b是赔偿金占机票价格的比例 .问题化为给定 ,n,p,b ，求 m 使得J (m)最大，而约 gg束条件为m N j 1Pj(m)pn(k)(3.6)k0其中 是小于 1 的正数.6. 结果分析作为一个实例， 设飞机容量为 N=300，赔偿比例为 b 0.1，持票未到的概率 p=0.03， g计算结果如下图所示10具体分析：S(m)最1) 由 S(m)随m变化的关系图 可知 S(m)在 m=314 时取得最大值 0.6634；当 309时， P(5) =0.0442228满足预期条件 P(5) 5% ，我

24、们取 m=309，即当 m=309时，优且 P(5) 不超过 5%；此外当固定 n=300， b 0.1 ，变化 p，如 p=0.1，p=0.01，p=0.05，gp=0.07，最优结果将随之变化，变化幅度较大；(2)变化声誉指标 P( j)如 P(3) 5%， P(5) 5%， P(7) 5%， P(9) 5% ，最优结 果也将有一定变化，只是变化幅度较小；(3)变化声誉水平，如 P(5) 1%， P(5) 3%， P(5) 7% ，最优结果也将有一定变 化，只是变化幅度影响较小(如 P(5)随 m 变化的关系图)。(4) 我们综合考虑航空公司可能安排较少的从 A 地到 B 地航班，机场及其

25、外围加 强安全性，乘客的恐惧以及航空公司的收入迄今损失达数千万美元等因素，得出最后结 论：少的航班将会增加罚金的数量或者需要赔偿的人数，因此会减少这个最理想的订票 数量，提高安全防范也会降低这个最理想的订票数量，乘客恐惧的增加会相应的增加这 个最理想的订票数量。最后，这个损失数千万美元对最理想的订票数量没有影响 。7模型的评价与改进7.1 模型的优点：(1) 通过单航班、双航班以及 n 个航班模型的模拟，从特殊推广到一般，模型不断 被完善，考虑的因素不断增多，使得我们的模型更趋近于实际情况，有助于航空公司制 定最优的订票策略，实现收益最大化。(2) 计算机模拟的强度高，数据的对应性强。(3)

26、通过图形就可以看出超员定票数量与收益函数的对应关系，而且可以很直观找 到最优解。7.2 模型的缺点(1) 我们的模型将价格固定为一个常量，没有考虑多票价订票策略，使得航空公司 在价格战略上缺乏一定灵活性，不利于航空公司实现票价多元化经营。(2) 在假设二项分布时，我们没有考虑旅游群体，因而其显示出来的是独立事件， 与实际状况不完全相符。11（3）航空公司无法控制（如天气等）状况，即使没有超员定票，也会受之前航班的 影响。7.3 模型的改进：考虑到不同客源的实际需要， 如商业界，文艺界人士喜欢上述这种无约束的预订票业务， 他们宁愿接受较高的票价， 而不按时前来登机的可能性较大； 游客及准时上下班

27、的雇员， 会愿意以不能按时前来登机则机票无效为代价，换取较低额的票价。航空公司为降低风 险，可以把上述乘客作为基本客源，对他们降低票价，但是购票时即付款，不按时前来 登机则机票作废。8模型的推广推广：与航空公司的预定票策略相似的事情在日常商务活动中并不少见，旅馆、汽车出租公司（指将汽车租给顾客使用）等为争夺顾客也可以如此处理。9参考文献1 赵静，但琦 .数学建模与数学实验（第 2 版），高等教育出版社， 2004.2 姜启源，谢金星，叶俊 .数学模型（第三版） ，高等教育出版社， 2005.3 冯予，陈萍 .概率论与数理统计 M. 北京：国防工业出版社， 2005.4 盛骤，谢式千，潘承毅 .

28、概率论与数理统计 M.4 版.北京：高等教育出版社， 2010.5 陈怀琛，吴大正，高西全 .MATLAB 及在电子信息课程中的应用（第 2 版），电子工 业出版社， 2003.6 鞠彦兵,冯允成,王爱华.航空客运超售风险研究 ，北京航空航天大学学报 .1210. 附录模型求解源程序N=100;bg=1/3;p=0.1;j=1;for m=305:350for k=0:(m-N-1)a(k+1)=(m-k-N)*pdf(bino,k,m,p);endb=(1-p)*m-0.6*N-(1+bg)*sum(a);for k=0:(m-N-j)c(k+1)=pdf(bino,k,m,p);endesf(m-304)=b/(0.6*N);pj(m-304)=sum(c);endesfpjesf =pj =1.0000Columns 1 through 51.0000 1.0000 1.