12_UnsteadyFlow

1、1 2 3 4 ( )( ) 1212 QQQtVVVt= 单位时间内控制体内流体质量的增加 等于同时段内流入控制体的流体质量 5 单位时间内控制体内流体动量的增加等于同时 段内净流入控制体内的动量与外力冲量之和 () () () 2 120 si n V A V AllgAlAppPl tl r rrat D= -D+D+-D 抖 2 0 1 2 h pVV z lgggtgR t rr 骣 抖 += - 抖桫 22 0 12 11 1 iw h V HHdldlhh gtgR t r -=+=+ 蝌 等直径U形管内液面振荡 问题中，重力和惯性力相 互作用，导致管中液面振 荡，阻力则使振幅衰

2、减。 U 形 管 内 液 面 振 荡 2 0 11 2 0 z 连 续 方 程 2 0 11 2 0 z () dz VVt dt = 2 2 2 w L d z zh g dt =+ 运 动 方 程 22 0 12 11 1 h V HHdldl gtgR t r -=+ 蝌 忽略阻力的情况 2 2 2 L d z z g dt = () 0 2 cos g zAt L vjv 骣 =+= 桫 线性阻力的情况 2 22 2 2 L d zLdz z gdtdtgD x n =+ () () 0 2 2 2 cos 2 4 4 t zA et g LD D l vj xn v xn l - =

3、+ =+ = ( ) 2 2 2 ? R e2 w L V hLV DggD xn x = 9 10 ()() 0 AA V tl rr抖 += 抖 单位时间内控制体内流体质量的增加 等于同时段内流入控制体的流体质量 tt+ D t ()()AA V AtlAlA VtA Vlt tl rr rrrr 抖轾轾 +DD-D=D-+DD犏犏 甓耳 臌臌 11 () () () 2 120 si n V A V AllgAlAppPl tl r rrat D= -D+D+-D 抖 单位时间内控制体内流体动量的增加等于同时 段内净流入控制体内的动量与外力冲量之和 0 11 h VVzp V gtllg

4、lgR t rr 抖抖骣 += - 桫 抖 抖 tt+ D t 12 0 11 h VVzp V gtllglgR t rr 抖抖骣 += - 桫 抖 抖 2 0 1 2 h pVV z lgggtgR t rr 骣 抖 += - 抖桫 22 0 12 11 1 iw h V HHdldlhh gtgR t r -=+=+ 蝌 E E i i 测压管水头线 hi V2/2g z p/gg hw 惯性水头为正，水流加速 惯性水头为负，水流减速 E E i i hw hi V2/2g z p/gg 测压管水头线 15 0 11 h VVzp V gtllglgR t rr 抖抖骣 += - 桫 抖

5、 抖 ()() 0 AA V tl rr抖 += 抖 16 11d dpK dAA D dpE r r d 禳 镲 =镲 镲 镲 镲 镲 睚 镲 镲 镲 =镲 镲 镲铪 () () 2 1 dAddA A dpdpdp D A KE A c rr r r d =+ =+ = 17 0 11 h VVzp V gtllglgR t rr 抖抖骣 += - 桫 抖 抖 ()() 0 AA V tl rr抖 += 抖 ()() 0 AAV VA tll rr r 抖 += 抖 () 2 0 h VVcAz Vg tlAllR rt rr 抖抖 += - 抖抖 18 ()() 0 AAV VA tll

6、 rr r 抖 += 抖 () 2 0 h VVcAz Vg tlAllR rt rr 抖抖 += - 抖抖 2 0 0 h VA AA z c tlVV g V lR A r rr t r r 轾 禳 镲 禳禳镲犏 镲镲 抖 镲镲镲镲 犏 += 睚睚睚 犏 镲镲镲抖 - 镲镲镲 铪铪犏 镲 镲铪 臌 19 2 0 VA c V A lr l r - = - () 1 1 VcV D KE l r d = + 20 dl Vc dt l= () d Vc dttl 抖 =+ 抖 21 ()() () 2 0 0 AA V VA tll A VVc V tlAl rr r r r 抖 += 抖

7、抖 += 抖 () () ()() () () 2 0 0 dAAA V VcVA dtlll A dVVVc VcV dtllAl rrr r r r 抖 -+= 抖 抖 -+= 抖 22 ()() () 2 0 0 dAA V cA dtll A dVVc c dtlAl rr r r r += 抖 += 抖 m m () 0 dA cdV Adtdt r r = ()0 d VfA dt r 轾 = 臌 () 0 0 VfAr 轾 + 犏 臌 () 1 fAr 轾 犏 臌 ()() 0 01 0VVAAArrr= cV? 24 有 压 管 道 流 动 的 流 量突变 流速突变 由于流动的

8、惯 性，造成压强 大幅波动 水击现象的大致描述： 流体的压缩性和管道 的弹性使波动在管道 中以有限的速度传播 p 阀门突然关闭。导致一个压强增加、流体密度增加、道断面 积增加、减流速的过程从阀门向上游传播，这就是水击波。 单位时间水击波通过的流体域的动量增量为 cAv， 受力为 Ap，（略去高阶小量）。根据动量定律 水 击 波 的 压 强 增 值 ct s v p c p = -cv 水 击 波 的 传 播 速 度 单位时间水击波通过的流体域中质量增量为 cA+cA，因流速增量造成 的流出该区域的质量流量为Av，由质量守恒原理，v = -c(/+A/A)， 即 p = c2(/+A/A)，写成

9、极限形式有 ct s v p c 1 11 1 1 c ddA dpA dp D KE r r r r d = 骣 + 桫 = 骣 + 桫 0 /1 1 11 Kc c D KD KD EEKE r r ddd = 骣 + + 桫 水中声波速度（约为1435 m/s） 若忽略管壁的弹性，则 c = c0 水 击 现 象 的 分 析 L B A 阶段时段 速度 变化 流速方向 压强变化 水击波 传播方向 运动状态 液体状态 0tL/cv00水库阀门增高p阀门水库 减速增压压缩 (a) B A L v0 c h h0 v = - v0 p = cv0 h = cv0/g 全管原压 强水头h0 v=

10、0 B A L h= cv0/g h0 v=0 时刻全管速度 全管压强 水头 水击波 到达 液体状态 t=L/c v=0 h0+hB点 压缩 B A L h= cv0/g h0 v=0 由于B点压强水头保持为常数h0 ，水击波到达B点后无法再向上 游传播，压差h转化为流向水库的流速v0而形成一个减速（速度 以水库流向阀门为正）减压的过程，由B传向A，水击波反向， 并由增压波变为减压波。在减压波传播过程中，管壁和液体密 度复原，提供流向水库的水量。 时刻 t=L/c 阶段时段 速度 变化 流速方向 压强变化 水击波 传播方向 运动状态 液体状态 B A L v0 c h0 h = cv0/g v

11、=0 L/ct2L/c0 -v0阀门水库 恢复原状 水库阀门 减速减压恢复原状 (b) B A L h0 时刻全管速度 全管压强 水头 水击波 到达 液体状态 t=2L/cv= -v0 h0A点 复原 v0 B A L h0 由于阀门已经关闭，减速减压的水击波到达A点后无法再继 续向前传播。因为根据连续方程，A点流速必须为零，若A点 处也要形成流向水库的流速，则液体没有补充的来源。而此 时管中其它断面上的流速却是 -v0 ，于是在 t=2L/c 时刻，在A 点形成增速、减压、减密度、减断面面积的水击波，由A传 向B，水击波反向，但减压波仍转为减压波。 时刻 t=2L/c v0 阶段时段 速度

12、变化 流速方向 压强变化 水击波 传播方向 运动状态 液体状态 B A L v0 c h0 h = cv0/g v=0 2L/ct3L/c-v00阀门水库 减低p 阀门水库 增速减压膨胀 (c) B A L h= cv0/g h0 v=0 时刻全管速度 全管压强 水头 水击波 到达 液体状态 t=3L/c v=0 h0 - hB点 膨胀 B A L h= cv0/g h0 v=0 时刻 t=3L/c 由于B点压强水头保持为常数h0 ，水击波到达B点后无法再向 上游传播，压差-h转化为流向阀门的流速v0而形成一个增速 （速度以水库流向阀门为正）增压的过程，由B传向A，水击 波反向，并由减压波变为

13、增压波。在增压波传播过程中，管 壁和液体密度复原，吸纳从水库进入的水量。 阶段时段 速度 变化 流速方向 压强变化 水击波 传播方向 运动状态 液体状态 B A L v0 c h0 h = cv0/g v=0 3L/ct4L/c0 v0水库阀门 恢复原状 水库阀门 增速增压 恢复原状 (d) B A L h0 时刻全管速度 全管压强 水头 水击波 到达 液体状态 t=4L/cv= v0 h0A点 复原 v0 等 同 于 阀 门 突 然 关 闭 瞬 时 状 态 阶段时段 速度 变化 流速方向 压强变化 水击波 传播方向 运动状态 液体状态 0tL/c L/ct2L/c 2L/ct3L/c 3L/

14、ct4L/c v00 0 -v0 -v00 0 v0 水库阀门 阀门水库 水库阀门 阀门水库 增高p 恢复原状 减低p 恢复原状 阀门水库 水库阀门 阀门水库 水库阀门 减速增压 减速减压 增速减压 增速增压 压缩 膨胀 恢复原状 恢复原状 (a) (b) (c) (d) 任意断面水击增压随时间的变化规律 A 断 面 p ct/L123456789 10 11 12 任意断面 p 123456789 10 11 12 ct/L x/ L A断面实际增压 p 123456t /L/c789 10 11 12 将 2L/c 称为水击的相长，从阀门A处开始的水击波传到上 游B处，经负反射回来的减压波又传到A处，所须时间为相 长。可见阀门A处持续压力最大增值的时间最长，为一个 相长。如果逐渐关闭阀门，那么将会有一系列水击波在不 同的时刻由A处出发，假如经过一个相长之后，阀门尚未 完全关闭