14-1傅立叶级数12.6.2

1、第一节第一节 傅里叶级数傅里叶级数 第十五十五章 一、三角级数一、三角级数 三角函数系的正交性三角函数系的正交性 一、三角级数一、三角级数 三角函数系的正交性三角函数系的正交性 1. 研究意义研究意义 ( A: 振幅振幅, 复杂复杂周期运动周期运动 : )sin( 1 0n n n tnAAy )sincoscossin( 1 0 tnAtnAA nnnn n :角频率角频率, : 初相初相 ) (谐波迭加谐波迭加) )sin(tAy 简单简单周期运动周期运动 : )sincos( 2 1 0 xnbxna a nn k 则则 , 2 0 0 a A 令令 ),(cos,sin21 nBbAa

2、 nnnnnn 三角级数三角级数 )sincoscossin( 1 0 tnAtnAA nnnn n 2 回顾回顾)(),(,)(1 0 RRxxaxf n n n 优点：优点： ),(,)()( 101 RRxxaxaaxSxf n nn 缺点：缺点： 的的要要求求过过高高；对对)(1xf 成成立立，若若)(1.),()(内内有有任任意意阶阶导导数数在在则则RRxf 非非周周期期函函数数；)(2 1 xSn 为为周周期期函函数数，若若)(xf)()( 1 xfxSn 则则用用 .)(的周期特性的周期特性将失去将失去xf 易于计算易于计算 )1( 展展开开成成三三角角级级数数，即即将将)(xf

3、 )()sincos()(2 2 1 0 xnbxna a xf nn k Ix 3. 函数展开成三角级数的基本问题函数展开成三角级数的基本问题 成成立立，若若)(2an = ?, bn = ? .则则可可克克服服上上述述两两个个缺缺点点 展开式是否唯一展开式是否唯一? (2) 在什么条件下才能展开成三角级数在什么条件下才能展开成三角级数? (3) 三角级数的收敛域三角级数的收敛域? 展开式成立的范围？展开式成立的范围？ 定义定义 (正交函数系正交函数系) ),2, 1,()( nbaxx n 设设有有函函数数系系： 0)()( b a mn dxxx 若若 ), 2 , 1,(nmnm 且且

4、 上上的的为为则则称称,), 2 , 1()(banx n 正交函数系正交函数系. 4. .三角函数系数的正交性三角函数系数的正交性 定理定理1 ,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx , 0 sin dcos1 n nx xnx , 0dsin1 xnx 三角函数系三角函数系 .上正交上正交，在区间在区间 证证 0, 0, mnNmn . 0dcossin xnxmx), 2 , 1,( nm其中其中 0 dcoscos2dcoscosxnxmxxnxmx 0 d)cos()cos(xxmnxmn nmx n nx nm mn xmn mn xmn ,)

5、2 2sin ( , )sin()sin( 0 00 nm nm , , 0 , , , 0 sinsin nm nm nxdxmx 类似地，得类似地，得 上的积分不等于上的积分不等于 0 . , 三角函数系三角函数系中任两中任两相同相同函数的乘积在函数的乘积在 注注 1 2 正交性正交性: :)1(向向量量正正交交 :)2(函数正交函数正交 );(0),(内积为零内积为零 ba ).(0d)()(乘积积分为零乘积积分为零 b a xxgxf 二、以二、以2 为周期的为周期的函数的傅里叶级数函数的傅里叶级数 1. 函数展开成三角级数的形式函数展开成三角级数的形式 定理定理2 设设 f (x)

6、是周期为是周期为 2 的周期函数的周期函数 , 若若 )()sincos()(3 2 1 0 k kk kxbkxa a xf 式式可可逐逐项项积积分分，则则且且)(3 ),2, 1(dsin)( 1 nxnxxfbn ), 1,0(dcos)( 1 nxnxxfan 展开式是展开式是唯一唯一的的, , 且且 傅里叶系数傅里叶系数 )()sincos()(3 2 1 0 k kk kxbkxa a xf由由假假设设：证证 对对(3)逐项积分逐项积分, 得得 :)1( 0 a求求 xkxbkxadx a xxf k kk d )sincos( 2 d)( 1 0 ,2 2 0 a xxfad)(

7、 1 0 )dsindcos(d 2 1 0 xkxbxkxax a k k k 由正交性由正交性, 值为零值为零 :)2( n a求求 xnx a xnxxfdcos 2 dcos)( 0 dcossindcoscos 1 xnxkxbxnxkxa k k k )3 . 6()sincos( 2 )( 1 0 k kk kxbkxa a xf (3) cosnx, 再积分再积分 由正交性由正交性, xxnandcos2 , n a xnxxfandcos)( 1 ), 3 , 2 , 1( n :)3( n b求求 xnx a xnxxfdsin 2 dsin)( 0 dsinsindsin

8、cos 1 xnxkxbxnxkxa k k k , n b (3) sinnx, 再积分再积分 )3 . 6()sincos( 2 )( 1 0 k kk kxbkxa a xf xnxxfbndsin)( 1 ), 3 , 2 , 1( n 2. 傅里叶系数傅里叶系数 n nxnxxf a), 1,0(dcos)( 1 n nxnxxf b),2, 1(dsin)( 1 或或 2 0 ), 1, 0(dcos)( 1 nxnxxfan 2 0 ), 2, 1(dsin)( 1 nxnxxfbn (4) 定义定义 ( (傅里叶级数傅里叶级数) ) ：上上可可积积分分，若若三三角角级级数数在在

9、设设,)( xf 1 0 )sincos( 2 n nn nxbnxa a 则则称称此此是是傅傅里里叶叶系系数数中中的的系系数数),(,4 nn ba 3. 傅里叶级数傅里叶级数 记记作作的的傅傅里里叶叶级级数数的的周周期期为为三三角角级级数数是是,2)( xf )(xf 1 0 )sincos( 2 )( n nn nxbnxa a xf 问题问题: : 1 0 )sincos( 2 n nn nxbnxa a )(xf 条件？条件？ n nxnxxf a), 1,0(dcos)( 1 n nxnxxf b),2, 1(dsin)( 1 其中其中 定理定理2 (收敛定理收敛定理, 展开定理展

10、开定理) 设以设以2 为周期为周期的函数的函数 f (x) 满足满足狄利克雷条件狄利克雷条件: 1) 连续，或最多只有连续，或最多只有有限个有限个第一类间断点第一类间断点; 2) 最多只有最多只有有限个有限个极值点极值点, 则则 f (x) 的傅的傅里里叶级数在叶级数在(- ,+ )处处处处收敛收敛 , 且且 在一个周期内在一个周期内 4. 函数展开成傅里叶级数的充分条件函数展开成傅里叶级数的充分条件 其其和和函函数数 1 0 )sincos( 2 )( n nn nxbnxa a xS 有有如如下下关关系系：与与)(xf 注注函数展开成傅里叶级数的条件比展开成函数展开成傅里叶级数的条件比展开

11、成 幂级数的条件低的多幂级数的条件低的多. . )( x , )(xf , 2 )()( xfxf x 为为f (x)的间断点的间断点 x 为为f (x)的连续点的连续点 )(xS 例例1 ,0,2 ;0,0 ;0, 1 )( 2)( x x xx xf xf为为周周期期的的周周期期函函数数，且且是是以以设设 ). 2 5 ()4( ),()()( SS SxfxS 及及 ，求求的的傅傅里里叶叶级级数数的的和和函函数数为为设设 解解 )(xfy x y O -1 - -1 2 - -2 -3 2 ), 2, 1, 0( )( k kx xf k 的间断点：的间断点： )(xfy x y O -

12、1 - -1 2 - -2 -3 2 )( S 2 )()( ff 2 )1(2 2 1 处，处，在端点在端点 x )2)( f 2 )()( ff 处处，在在间间断断点点 4 x 2 )0()0( ff )4( S 周期的周期函数周期的周期函数 为为是以是以 2)(xS )0(S 2 2)1( 2 1 处处，在在连连续续点点 2 5 x ) 2 5 ( S ) 2 ( f ) 2 ( S )(xfy x y O -1 - -1 2 - -2 -3 2 2 -3 )(xSy x y O -1 - -1 2 - -2 2 5. 展开步骤展开步骤 成成立立的的范范围围； 式式在在间间断断点点处处的

13、的值值及及展展开开的的和和函函数数 的的傅傅里里叶叶级级数数的的间间断断点点，写写出出 且且找找出出检检验验收收敛敛定定理理的的条条件件，对对于于 )( )()( )(1 xS xfxf xf ;,2 nn ba确确定定傅傅里里叶叶系系数数 ).(3包包括括展展开开式式成成立立的的范范围围写写出出展展开开式式 x o y 例例2 上的表达式为上的表达式为,( x xx xf 0,0 0, )( 将将 f (x) 展成傅展成傅里里叶级数叶级数. 解解 2332 设设 f (x) 以以 2 为周期为周期 , 满满足足收收敛敛定定理理的的条条件件)(1xf ), 2, 1, 0(,)12( kkxk

14、 间间断断点点： 2 )()( )( kk k xfxf xS 22 )(0 ), 2, 1, 0( k 连连续续时时，当当)(xfxx k 1 0 )sincos( 2 )()( n nn nxbnxa a xSxf ), 2, 1, 0,)12( kkx nn ba ,2 确确定定傅傅里里叶叶系系数数： xxf ad)( 1 0 0 d 1 xx x 02 2 1 2 x xx xf 0,0 0, )( 0 dcos 1 xxnx n xnxxf adcos)( 1 n nx n nxx 0 2 cossin1 n n 2 cos1 n n 2 )1(1 x xx xf 0,0 0, )(

15、 xnxxfbndsin)( 1 0 dsin 1 xnxx ), 2, 1( n n n 1 )1( ), 2, 1( n ,( x,)12( kx),2,1,0 k 3 所求函数的傅里叶展开式为：所求函数的傅里叶展开式为： 1 0 )sincos( 2 )( n nn nxbnxa a xf n b n n 1 )1( ， 2 )1(1 n a n n , 2 0 a 4 sin )1( cos )1(1 1 2 1 nx n nx n nn n ,( x,)12( kx),2,1,0 k 例例3 设设 f (x) 以以 2 为周期为周期 , 上的表达式为上的表达式为,( )0( 0, 0

16、, )( E xE xE xf常常数数 解解 将将 f (x) 展成傅展成傅里里叶级数叶级数. 满满足足收收敛敛定定理理的的条条件件)(1xf O y x 3 2 3 2 E E ), 2, 1, 0(, kkxk 间间断断点点： 2 )()( )( kk k xfxf xS 0 2 EE n xnxxf adcos)( 1 ),2,1,0(0 n 连连续续时时，当当)(xfxx k 1 0 )sincos( 2 )()( n nn nxbnxa a xSxf ), 2, 1, 0,( kkx nn ba ,2 确确定定傅傅里里叶叶系系数数： xE xE xf 0, 0, )( 奇函数奇函数

17、上为奇函数上为奇函数 在在处的值，可使处的值，可使 在在修改修改 ),( )( 0)( xf xxf xE xE xf 0, 0, )( n xnxxf bdsin)( 1 0 dsin 2 xnxE 0 cos2 n nxE n n E cos1 2 0 dsin)( 2 xnxxf 偶函数偶函数 n n E ) 1(1 2 , 4 n E ,0 ,5,3,1 n当当 ,6,4,2 n当当 an=0 E xf 4 )( 故故 xn n n )12sin( 12 1 1 ),2,0,(xx ),2,0,(xx 傅氏级数的部分和逼傅氏级数的部分和逼 注注 近近 f (x) 的情况见的情况见右图右

18、图. 7 7sin x 9 9sin x 3 3sin sin 4 )( x x xf 5 5sin x 矩形波是无穷多正弦波的叠加矩形波是无穷多正弦波的叠加 傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近 播放播放 三、正弦级数和余弦级数三、正弦级数和余弦级数 2.奇、偶函数奇、偶函数(周期周期:2 )的傅里叶级数的傅里叶级数 定理定理3 周期为周期为 2 的奇的奇(偶偶)函数函数f (x), ),2,1,0( dcos)( 2 0 nxnxxf a n ),3,2,1( 0 nbn ),2,1,0( 0 nan n nxnxxf b 0 ),3,2,1(dsin)( 2 为正为正(余余)弦级

19、数弦级数, 傅傅里里叶系数为叶系数为 和和 1.定义定义 正正(余余)弦级数弦级数: 1 sin n n nxb 1 0 )cos 2 ( n n nxa a 其傅里叶其傅里叶级数级数 例例4 xx xx xf 0, 0, )( o y x xxf a 0 0 d)( 2 xx 0 d 2 n xnxxf a 0 dcos)( 2 xnxx 0 dcos 2 n nx n nxx 0 2 cossin2 解解 将将f(x)展成傅展成傅里里叶级数叶级数 . 设设 f (x) 以以 2 为周期为周期 , 上的表达式为上的表达式为,( f(x)为偶函数为偶函数(如图如图), 可展成余弦级数可展成余弦

20、级数. 0 n b 1)1( 2 2 n n x3cos 3 1 2 n a , 6 , 4 , 2,0 n )(xf故故 2 4 xcos x5cos 5 1 2 )( x 1) 1( 2 2 n n , 4 2 n , 5 , 3 , 1 n a 0 0 n b 当当 x = 0 时时, f (0) = 0 , 得得 222 2 )12( 1 5 1 3 1 1 8 n 注注函数展开成傅里叶级数的应用：函数展开成傅里叶级数的应用： 求数项级数的和求数项级数的和: 4 2 因因, 4 21 3 1 2 故故. 24 2 设设 , 4 1 3 1 2 1 1 222 222 1 7 1 5 1

21、 3 1 1 , 6 1 4 1 2 1 222 2 已知已知 8 2 1 222 3 4 1 3 1 2 1 1 21 213 , 6248 222 . 12248 222 (1) 三角级数与幂级数的三角级数与幂级数的特点对照特点对照. 有有无无 繁繁简简 弱弱(比连续弱比连续弱)强强( f (n)(x)存在存在) 区间区间(简简) 大大(复杂复杂) 内容小结内容小结 1. 函数函数(周期周期: 2 )的傅里叶展开的傅里叶展开: )sincos( 2 )( 1 0 xnbxna a xf nn n ):(连连续续点点x 其中其中 n xxnxf adcos)( 1 n xxnxf bdsin

22、)( 1 ),2,1,0( n ),2,1( n 注注 若若 0 x为间断点为间断点,则级数收敛于则级数收敛于 2 )()( 00 xfxf 2. 周期为周期为 2 的奇、偶函数的傅里叶级数的奇、偶函数的傅里叶级数 奇函数奇函数正弦级数正弦级数 偶函数偶函数余弦级数余弦级数 处收敛于处收敛于 )(xf 0 x,1 x 0,1 2 x 则它的傅则它的傅里里叶级数在叶级数在x 在在x4 处收敛于处收敛于 . 提示提示 2 )()(ff 2 )( f)( f 2 2 2 2 )4()4(ff 2 )0()0( ff 2 11 02 设周期函数在一个周期内的表达式为设周期函数在一个周期内的表达式为 ,

23、 x y o 1 1 思考题思考题 备例备例1 1 设设 f (x)x , 将将 f (x) 展成傅展成傅里里叶级数叶级数. 以以2 为周期为周期,上上), )(xf 解解 不计不计,)12(处处kx 是是则则)(xf 奇函数奇函数. y xo n xnxxf b 0 dsin)( 2 ),1,0(0 nan ),3,2,1( n xnxx 0 dsin 2 0 2 sincos2 n nx n nxx 1 )1( 2 n n 的的表达式为表达式为 周期为周期为2 的的 n1 由收敛定理得由收敛定理得正弦级数正弦级数: )(xf ,( x )3sin 3 1 2sin 2 1 (sin2 xx

24、x 1 2 n nx n n sin )1( 1 ),1,0,)12( kkx 级数的部分和级数的部分和 n2n3n4 上上在在), 逼近逼近 f (x) 的情况见的情况见右图右图. n5 注注 y xo 备例备例2 2 将周期函数将周期函数tEtusin)( 展成傅里叶级数展成傅里叶级数. (常数常数 E 0) 解解)(tu 2 y xo 2 ;),2,1(0 nbn 0 a ttE 0 dsin 2 E4 ttntu a n 0 dcos)( 2 ttntE 0 dcossin 2 ttntn E 0 d)1sin()1sin( 是以是以2 为为 周期的偶函数周期的偶函数 . ttu 0

25、d)( 2 t 2cos 3 1 n ttntn E a 0 d)1sin()1sin( kn2 12, 0 kn ),2,1( k 1 a0 )(tu故故 )( t , )14( 4 2 k E tt E 0 d2sin 2 1 t 4cos 15 1 t 6cos 35 1 E2 E4 xk k E k 2cos 14 14 1 2 备例备例3 3 设设)(xf是以是以 2 为周期的函数为周期的函数 ,其傅氏 其傅氏 , n a 则则)()(为为常常数数hhxf 的傅氏系数的傅氏系数 . , nn ba 提示提示xdxnfa n cos)( 1 hx thtntf h h d)(cos)( 1 ttntfnh dsin)(sin 1 n anh cos n bnh sin hxt令令 ttntfnh dcos)(cos 1 nhbnha nn sincos nhanhb nn sincos h h 由周期函数性质由周期函数性质 , n b thtntf d)(cos)( 1 系数为系数为 傅里叶傅里叶 (1768 1830) 法国数学家法国数学家. 他的著作他的著作热的解析热的解析 理论理论(1822) 是数学史上一部经典性是数学史上一部经典性 书中系统的运用了三角级数和书中系统的运用了三