韦达定理讲解

1、1 韦达定理 执教者：虞申君执教者：虞申君 2 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0) 的求根公式： X1,2= a acbb 2 4 2 3 （1）x2-7x+12=0(2)x2+3x-4=0 (3) 2x2+3x-2=0 解下列方程并完成填空： 方程 两根两根和 X1+x2 两根积 x1x2x1x2 x2-7x+12=0 x2+3x-4=0 2x2+3x-2=0 34 12 7 1-3- 4- 4 -1-2 2 1 2 3 4 一元二次方程的根与系数的关系： 如果方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根是X1 , X2 , 那么X1+x2= , X1x2= a b - a c （韦达定

2、理） 注：能用韦达定理的前提条件为0 5 韦达（韦达（15401603） 6 韦达定理的证明： a acbb x 2 4 2 1 a acbb x 2 4 2 2 X1+x2= a acbb 2 4 2 a acbb 2 4 2 + = a b 2 2 = a b - X1x2= a acbb 2 4 2 a acbb 2 4 2 = 2 4 2 )4 2 ( 2 )( a acbb = 2 4 4 a ac = a c 7 如果方程x2+px+q=0的两根是 X1 ，X2，那么X1+X2= , X1X2= P q 8 说出下列各方程的两根之和与两根之积： 1、 x2 - 2x - 1=0 2

3、、 2x2 - 3x + =0 3、 2x2 - 6x =0 4、 3x2 = 4 2 1 x1+x2=2x1x2=-1 x1+x2= x1+x2=3 x1+x2=0 x1x2= x1x2=0 x1x2= - 2 3 4 1 3 4 9 例1、已知3x2+2x-9=0的两根是x1 , x2 。 求：(1) (2) x12+x22 2 1 1 1 xx 解：由题意可知x1+x2= - , x1 x2=-3 3 2 (1) 2 1 1 1 xx = 2 1 21 xx xx = 3 3 2 = 9 2 (2) (x1x2)2 x12+x22 2x1x2 x12+x22 (x1x2)2 -2x1x2

4、(- )2 3 2 -2(-3)69 4 10 例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。 解：设方程的另一个根为x1. 把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0 解这方程，得 k= - 2 由韦达定理，得x123k即2 x1 6 x1 3 答：方程的另一个根是3 , k的值是2。 11 例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。 解二： 设方程的另一个根为x1. 由韦达定理，得 x1 2= k+1 x1 2= 3k 解这方程组，得 x1 =3 k =2 答：方程的另一个根是3 , k的值是2。 12

5、已知x1,x2是方程3x2+px+q=0的两个根， 分别根据下列条件求出p和q的值: (1) x1 = 1, x2 =2 (2) x1 = 3, x2 = -6 (3) x1 = - , x2 =(4) x1 = -2+ , x2 = -2- 7 7 55 由韦达定理，得解：x1+x2= - , x1 x2= 3 p 3 q p= -3(x1+x2) q=3 x1 x2 (1)p= -9 q= 6 (2)p= 9 q= -54 (3)p= 0 q= -21 (4)p= 12 q= -3 13 1、已知方程3x219x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值。 2、设x1,x2是方程2x24

6、x3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值。 解：设方程的另一个根为x1, 3 19 则x1+1= , x1= , 3 16 又x11= , 3 m m= 3x1 = 16 解： 由韦达定理，得x1+x2= - 2 , x1 x2= 2 3 (x1+1)(x2+1) = x1 x2 + (x1+x2)+1 =-2+( )+1= 2 3 2 5 14 1、韦达定理及其推论 2、利用韦达定理解决有关一元二次方程 根与系数问题时，注意两个隐含条件： （1）二次项系数a0 （2）根的判别式 0 15 1、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。 解：设方程两根分别为x1,x2(x1x2)，则x1-x2=1 (x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2 由韦达定理得x1+x2= , x1x2= 2 1k 2 3k 1 2 3 4 2 ) 2 1 ( kk 解得k1=9,k2= -3 当k=9或-3时，由于0，k的值为9或-3。 16 2、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且 x12+x22=4，求k的值。 解：由方程有两个实数根，得 0 2 4 2 ) 1(4kk 即-8k+40 2 1 k 由韦达定理得x1+x2= 2(k-1) , x1x2