1、傅立叶级数和傅立叶变换

1、傅立叶法国数学家及物理学家。 最早使用定积分符号，改进符号法则及根数判别方法。 傅立叶级数（三角级数）创始人。 法国数学家、物理学家。1768年3月21日生于欧塞尔， 1830年5月16日卒于巴黎。9岁父母双亡， 被当地教堂收养。12岁由一主教送入地方军事学校读书。17岁（1785）回乡教数学，1794到巴 黎，成为高等师范学校的首批学员， 次年到巴黎综合工科学校执教。1798年随拿破仑远征埃及时任军中文书和埃及研究院秘书，1801年回国后任伊泽尔 省地方长官。1817年当选为科学院院 士，1822年任该院终身秘书，后又任法兰西学院终身秘书和理工科大学校务委员会主席。 主要 贡献是在研究热的传

2、播时创立了一套数学理论。1807年向巴黎科学院呈交热的传播论文， 推导 出着名的热传导方程 ，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数形式表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数。 1822 年在代表作热的分析理论中解 决了热在非均匀加热的 固体中分布传播问题，成为分析学在物理中应用的最早例证之一，对19 世纪数学和理论物理学的发展产生深远影响。傅立叶级数（即三角级数）、傅立叶分析等理论 均由此创始。其他贡献有：最早使用定积分符号，改进了代数方 程符号法则的证法和实根个数 的判别法等。 3-2 信号在正交函数集中的分解为了形象地说明信号的分解，首先我们复习矢量的分解。一、矢

3、量的分解（1）矢量的一维分解：用一个标准矢量乘以一个标量得到的新矢量，去近似近似矢量，并要求误差尽可能小，应该取多少？下图通过几何方法表示了的确定方法。 l 从几何或者解析角度，都可以得到使误差最小的系数为：其中的称为矢量和的相似系数。l 如果（或），则表明和相垂直（又称为正交）。（2）矢量的二维分解用两个标准矢量、的线性组合，去近似近似矢量，并要求误差尽可能小，、各应该取多少？下图通过几何方法表示了、的确定方法。l 在上图表示的情况下，、的取值都同时与、有关，计算公式可能比较复杂。如果标准向量、相互垂直（正交），计算就很简单了：容易得到此时的系数计算公式为：，此时每一个系数只与其相关的标准矢

4、量有关，系数计算公式与一维情况下的计算公式相似。l 上图中表示的是用两个矢量表示一个二维的矢量，误差为零。如果用两个矢量表示一个二维以上的矢量，误差就不一定等于0了。但是可以证明，在这种系数情况下误差最小。l 显然，如果知道了标准矢量、和相应的系数、，就可以确定任意矢量。l 这实际上就是我们在平面几何中见到的笛卡尔坐标系。（3）矢量的多维分解：上面二维的情况可以推广到任意维，可以将矢量表示成为一系列标准矢量（基）的线性组合：显然，如果知道了标准矢量和响应的系数，就可以确定任意矢量。如果矢量两两正交，可以证明相应的最佳系数的计算公式为：如果标准矢量基的长度都为1，则，上面的公式可以简化为： （4

5、）标准矢量基的几个限制条件：为了便于计算系数，实际使用的标准正交矢量集最好满足以下几个条件：1) 归一化：标准矢量的模等于12) 正交化：标准矢量两两正交3) 完备性：可以不失真地组合出任意矢量其中归一化和正交化是为了计算系数时比较方便；而完备性则是为了保证可以完整、没有误差地表示任意矢量，使这种分解更有实用性。二、信号的分解与矢量分解相似，我们也可以推导出信号分解。1、单个标准信号下的分解：在时间区间内，用近似任意函数，并使误差进可能小。（这里假设所有函数都是实数函数）误差：l 如何衡量函数误差的大小？可以采用方均误差： l 取什么值的时侯何时误差最小？或者何时系数最佳？最佳系数：也称为函数

6、和的相似系数。最佳系数的证明：误差：方均误差：为了求使最小的，将上式对求偏导并令其为零，可以得到：由此可得：l 如果（或），则称和正交。这个正交的含义与矢量中的正交类似。l 如果和是复函数，则方均误差的定义应该改为：相应的最佳系数计算公式为：2、多个标准信号下的分解：将信号表示为多个标准信号的线性组合：l 这里的同样难以确定。但是如果标准函数之间两两正交，则可以证明：l 我们实际上在高等数学等前期课程中已经见到过几个这样的标准信号集了。例如：泰勒级数使用的是：l 在本章中将要用到的标准函数集为三角函数集：3、对标准信号集的要求：与矢量分解中的情况一样，这里对于用于分解函数的标准函数集也有以下的

7、要求：1) 归一化：2) 正交化：，3) 完备性：可以用其线性组合表示任意信号。l 正交性标准函数集的首要条件。只有在这种情况下系数才可以用上美的公式计算，而且可以保证方均误差最小。其他两个条件都会受到实际应用的限制，可能难于达到。l 完备正交函数集一般都包含无穷多个函数，例如：三角函数集，沃尔什函数集等。l 但在实际应用中不可能用无穷多个，只可能用有限个函数，只能近似表示任意函数。函数与矢量的运算与分解有很大的相似性，很多函数分解中的概念（例如正交等）也是从矢量运算中引用过来的。这里用一个表格作比较：矢量函数加法标乘乘法正交归一误差误差代价函数系数3-3 信号表示为傅利叶级数傅利叶级数是最常

8、用的一种正交函数集。它在工程中有很广泛的用途。一、三角函数形式的傅利叶级数1、三角正交函数集其中：或将正交函数集表示为：l 可以证明该函数集满足正交性：函数集中的函数两两相正交。2、任意信号在三角函数集中的分解可以将任意函数f(t)在这个三角函数集中展开（表示成该正交函数集函数的线性组合）：其中的系数可以根据前面的公式计算出：l 这个公式中的的表达不太方便。为此将分解式改写：则系数为：l 通过这种分解，可以将信号可以表示成为直流信号和一系列正弦信号之和。3、任意信号在仅余弦三角函数集中的分解 在原来的信号分解公式 中，利用三角函数公式，令，则可以将上式表达成：它可以看成是下列正交信号集：的平移

9、后的线性组合。l 从系数计算公式可以看出，如果f(t)是实数信号，则： 和是n的偶函数； 和是n的奇函数。l 上面的分解等式的左右两边的函数是否相等，没有误差？或者，是否随着n趋向于无穷大，等式右边的函数收敛于左边的函数？Direchlet证明，只要满足下面三个条件，等式就一定收敛：1) f(t)绝对可积，即：2) f(t)在区间内有有限个间断点；3) f(t)在区间内有有限个极值点。这个条件被称为Direchlet条件。实际信号大都满足这个条件，所以都可以这样分解。l 这个分解等式中，等号右边是多个周期为T的函数的和，它仍然是周期为T的函数。显然，如果本身也是一个周期为的函数，则如果它可以在

10、一个周期内用上面的公式分解，则它同时也可以在整个时间区间内分解。l 这种分解可以用在两个场合：1) 研究任意函数在区间内的分解2) 研究周期为T的函数在整个时间区间内的分解。本课程中讨论的主要是后一种情况。l 如果f(t) 周期为T的函数,为了方便讨论，一般函数的主值区间取l 在函数的分解中： 称为信号的直流分量； 、或称为信号的基波分量； 、或称为信号的n次谐波分量；一般情况下，n无法计算到无穷大，只能取有限。这时，这种正交展开是有误差的。n越大，误差越小。下面通过一个实例进一步讨论傅里叶级数的一些特性。例：求方波的傅利叶级数。解：按照定义公式，可以计算出：下图给出了根据这个公式，分别用一个

11、、两个和三个正弦脉冲逼近方波的实际效果。l 从图中可以看到，随着n的增大，函数的逼近效果逐步得到改善，效果越来越好。l 但在信号的间断点附近，误差函数出现了一个尖刺状的突起。这个突起是否会随着n的增加而减小？ Gibbs现象：随n趋向于无穷，在函数的间断点附近至少存在一点，其函数的分解误差收敛于函数在这点上的跳变值的8.948987%. 这实际上就是说：无论n多大，在间断点附近一定有一个点，在这个点上误差值一定接近间断值的9。 这个结论是否与上面提到的收敛条件矛盾？两个论断并无矛盾。这牵涉到两个收敛的概念：逐点收敛和方均收敛。具体地说，逐点收敛一定方均收敛，但是方均收敛不一定逐点收敛。这里对其

12、原理不再讨论，有兴趣的读者可以参阅有关数学书籍。二、 复指数形式的傅利叶级数 另一种常用的傅里叶级数展开式是从复指数正交函数集将函数展开为：其中使用的正交函数集为复指数函数或者复正弦函数：或者记为：根据前面的公式，可以得到其中的系数为：l 复指数形式的傅利叶级数的另外一种推导方法是从三角函数函数形式的傅利叶级数入手：令：，可以得到：令： 通过上式也可以看出，函数可以分解为一系列的线性组合，其中的系数为：而：,l 两种推导过程得到的答案应该相同。对比两个系数计算公式，可以得到：这个等式反映了与、或、之间的关系。3-4 周期性信号的频谱l 周期性函数可以在傅利叶级数中展开。如果给定了各个频率分量的

13、幅度和相位，就可以确定信号。l 频谱是信号的一种图形表示方法，它将信号各个频率分量上的系数关系用图形的方法表示出来。它可以说明信号的特性，而且可以给信号的变换和处理计算带来很多方便之处。l 频谱图有两个组成部分： 振幅频谱：表示信号含有的各个频率分量的幅度。其横坐标为频率，纵坐标各个对应频率分量的幅度。 相位频谱：表示信号含有的各个频率分量的相位。其横坐标为频率，纵坐标各个对应频率分量的相位。l 频谱图有两种形式：1、如果用正弦函数展开式形式的傅里叶级数，则相应的表达式为：则振幅为： 相位为： 按照这种定义做出的频谱，因为只有(或)时才有意义，做出的图只有的一边，所以又被称为单边频谱。例：周期

14、性方波的单边频谱。，所以：由此可以作出其频谱图2、如果用复数正弦函数展开式形式的傅里叶级数，则相应的表达式为：的傅里叶级数表达式，则： 振幅为 相位为。 按照这种定义做出的频谱在n大于和小于零的两边都有意义，做出的图又被称为双边频谱。 由于对于实数信号而言，其频谱具有对称性，所以一般情况下对于双边频谱也只要作出(或)部分就可以了。这样一来的频谱与单边的频谱就有些相似，但是含义不同。在频谱形状上，两者的相位频谱相同，但是振幅频谱的幅度大小是单边谱的一半。 单边频谱在物理概念上容易理解，但是双边频谱对于后续的处理带来很大的好处 在后面的内容中，频谱往往都是用双边频谱。l 单边频谱中，对于(或)点上

15、的幅度频谱，有一些与其它频率点上的不同之处：1) 如果认为幅度频谱表示的是是信号在各个频率上的信号分量幅度的大小，则信号真正的直流分量应该为，频谱在上的分量的大小应该减半。2) 如果认为幅度频谱表示的是随频率变化的规律，则幅度频谱不用变化。周期性信号的频谱有下面三个特点：1. 离散性：它有不连续的线条组成；2. 谐波性：线条只出现在基波频率的整数倍点上；3. 收敛性：实际信号的幅频特性总是随频率趋向无穷大而趋向于零。例：周期性方波脉冲的频谱：其中：，称为抽样函数。根据上面的公式可以画出信号的频谱。该例中信号的振幅频谱和相位频谱可以合二为一。根据周期性方波的频谱，我们可以得到关于信号特性的几个一

16、般性结论：1、T增加Sa()函数不变频谱的包络不变，收敛性不变。但是：1）谱线幅度降低；2）谱线密度加大。n 信号周期加大，对振幅的收敛性没有影响，但会使谱线密度增加。n 当T趋向无穷大时，信号成为非周期信号，这时，谱线幅度降低为无穷小，谱线密度加大，信号分量出现在所有频率上。2、下降Sa()尺度扩大收敛性变差，但是谱线间隔不变。n 信号时间宽度变小，将使信号能量向高频扩散，信号的频带增加。3、信号的频带：由于信号的频谱的收敛性，一般可以在一个信号分量主要集中的频率区间内研究信号的特性，而忽略信号其它部分的分量。响应的频率区间就是信号的频带。信号的频带有很多种定义方法：1) 以信号最大幅度的为

17、限，其它部分忽略不计；2) 以信号振幅频谱中的第一个过零点为限，零点以外部分忽略不计；3) 以包含信号总能量的90%处为限，其余部分忽略不计；4、信号的边沿对信号频带的影响信号的边沿变化越快，信号的频带越宽。例：三角脉冲函数的频谱：（t_rec_p.m）3-5 非周期性信号的频谱非周期性信号可以看成周期信号在周期趋向无穷大时的极限。一、从周期信号到非周期信号 从傅利叶级数到傅利叶变换 根据周期信号傅利叶级数展开公式，其各个频率分量的幅度为：当时，此时：1) 频谱间隔趋进无穷小，信号在各个频率点上都有信号分量频率取值变成连续的。2) 在每一个频率点上的频率分量大小趋向零。其中第二点给计算带来了麻

18、烦，所以无法用傅利叶级数表示非周期信号。这时，为了消除系数公式中趋向无穷小的部分，定义：这时上式可以得到一个非零的值。令，则，而成为一个连续的变量，假设其表示为连续的变量，则可以得到傅利叶变换公式：n 因为该式有“单位频带内信号幅度”的量纲，所以被称为“频谱密度函数”。它表示信号在该频率点上的分量的相对大小，而信号在此频率点上的实际分量分量大小为零。n 与傅利叶级数一样，如果f(t)是实数函数，的幅度是的偶函数，的相位是的奇函数。二、 傅利叶反变换怎样用计算f(t)这个公式实际上也表示了将信号分解为一系列复数三角函数的子信号之和（积分）。这个公式也可以表达成为一个在物理上更容易理解的实数三角函

19、数形式：三、 正反傅利叶变换由此可以得到正反傅利叶变换公式为：FT：IFT：n 和之间是一一对应的，根据其中的一个可以确定另外一个。可以认为，它们包含了相同的信息，只不过自变量不同，它们是相同信号的不同表达形式。正变换将以时间为自变量的函数变成了以频率为变量的函数，将信号从时域变换到了频域。所以建立在这种变换上的系统分析方法称为变换域法。这种变换通常经过积分计算得出，所以也称为积分变换。n 傅利叶变换所牵涉的两个函数都是连续函数，所以它完成的是从连续函数到连续函数的变换；而傅利叶级数则是完成从连续函数到离散函数的变换。n 傅利叶变换存在的条件依然是Direchlet条件，只不过这时考虑的时间区

20、间为。n 这里，在频域中我们用作自变量，目的是为后面引入拉普拉斯变换打下伏笔。四、非周期信号的频谱这里同样可以用图的形式，在变换域中表示信号。响应的频谱图称为信号的幅频特性曲线和相频特性曲线。五、 傅利叶变换的另外几种形式：1、将频域中的自变量从变成，则：FT：IFT：或：FT：IFT：这种形式上正反傅利叶变换形式上比较对称。但是使用时并不方便。2、一些文献上也可以见到另一种形式的傅利叶变换公式：FT：IFT：3-6 常用信号的F.T常用信号的FT见P125129表。现在将一些结论列举如下：1、 冲激函数：2、 单边指数信号：3、 双边指数信号：以上两个信号的FT只在时存在。4、 门函数：5、

21、 阶跃信号：6、 直流： 阶跃信号和直流信号并不满足绝对可积条件，严格地说不存在傅里叶变换。但是通过引入冲激函数，也可以找到其傅里叶变换的表达式，从而也可以用傅里叶变换的方法进行分析；3-7 周期性信号的傅利叶变换周期信号只是一个相对的概念。如果忽略其周期性，它应该也可以被看成是非周期信号处理，进行傅里叶变换。但周期信号是功率信号，不满足绝对可积条件。但是通过引入冲激函数，一样可以找到傅里叶变换。1、复正弦信号的傅里叶变换：根据这个变换以及后面要证明的傅里叶变换的线性特性，可以推导出： 2、 周期性信号的傅里叶变换周期性信号可以展开成傅里叶级数：由此可以得到周期性信号的傅里叶变换为: 可见，周

22、期性信号的傅里叶变换是一系列间隔均匀的冲激序列。 3、脉冲信号（FT为）按照周期T进行周期化后信号的FT：（这里假设周期化后各个脉冲没有重叠）f(t)周期化后可以表示成为傅利叶级数：所以：其中：所以：n 通过查表，可以很方便地得到：1) 非周期信号的FT2) 周期信号的FT3) 周期信号的傅利叶级数对照傅利叶级数和傅利叶变换的定义，可以得到： 3-8 傅利叶变换的性质1、 线性特性：2、 延时特性：3、 移频特性：移频特性与延时特性互成对偶。推论：4、 尺度变换：n 信号的宽度沿时间轴压缩a倍，信号的频率宽度B沿频率轴扩展a倍。脉冲信号的宽度和频带宽度B的乘积等于常数。n 数据传输中总希望信号

23、的脉冲宽度尽可能小，占用的信号频带同时也尽可能小。但从该性质可以看出，信号脉冲宽度的频带宽度是一对矛盾。5、 奇偶虚实性假设：其中：，为的实部；，为的虚部；，为的幅度；，为的相角；1） a、 b、c、2） 如果信号f(t)是实数信号，则：a、是的偶函数；是的奇函数； 或：b、是的偶函数；是的奇函数；3） 如果是实偶函数，则也是实偶函数；如果是实奇函数，则是虚奇函数；4） 思考：如果是虚函数，情况怎样？5） 对称特性如果，则：7、 微分特性如果存在并且满足Direchlet条件，则：推广：8、 积分特性如果，或存在且有限，则上式可以简化为：9、 频域微积分或：10、 卷积定理 利用这十个性质，结

24、合傅利叶变换表，可以求解很多工程上的信号的傅利叶变换。3-9 能量频谱与功率频谱能量频谱和功率频谱从能量或功率的角度研究信号在各个频率分量上的能量或功率，以频谱的形式表达出。这种频谱对确定性信号意义不大，对于随机信号有很大意义。但为了方便讨论，这里我们从确定性信号的角度进行研究。一、 周期性信号的功率谱周期性信号的能量无穷大，无法从能量上进行研究。但是它的功率有限，可以从功率上进行研究。1、 周期性信号的功率谱：将周期性信号在各个频率上的分量的功率大小用图的方法表示出。横坐标：频率；纵坐标：信号分量的功率。n 对于单边功率谱，在每个不等于零（非直流）频率上子信号功率。直流信号的功率为n 对于双

25、边功率谱，在每个频率点上子信号功率n 功率谱只有大小（幅度），没有相位。2、 Parseval定理：周期信号的功率等于该信号在完备正交函数集中分解后各个子信号功率的和。二、 能量信号（脉冲信号）的能量谱1、 能量谱1） 能量信号的功率为零，能量为有限，只可以从能量角度研究其分布；2） 信号在各个频谱上的实际分量大小为无穷小，只能用能量密度谱描述描述单位频带内的信号能量。信号总能量：由此定义单位频带内信号的（1） 双边能量谱为：（2） 如果信号是实数信号，则还可以得到其单边能量谱为：n “单位频带”指的是什么频率：a、 一般情况下指角频率b、 也可以用一般频率f（单位Hz）此时：由此可以得到双边

26、能量谱：和单边能量谱：n 能量谱同样只有大小（幅度），没有相位2、 Rayleigh定理：即：信号在时域和频域的能量相等三、 脉冲信号的脉冲宽度和频带宽度对于一般的信号，可以通过其频谱密度函数或功率谱函数定义其频带宽度，其定义方法与3.4节中讨论的相似。1、 脉冲宽度：脉冲的绝大部分能量集中的时间区间2、 频带宽度：脉冲的绝大部分能量集中的频率区间3、 对于一种脉冲而言，Matlab函数1、 产生信号sincossinc squarechirp(t,f0,t1,f1)x = square(t)产生周期为2的方波信号x = square(t,duty)，占空比为duty的方波x = sawtoo

27、th(t)产生周期为2的锯齿波或三角波x = sawtooth(t,width)2、 FFT和ifft，fftshift，ifftshift这里l Y = fft(X)使用快速傅立叶算法计算，返回序列X的DFT（离散傅立叶变换）。如果X是矩阵，则按列求傅立叶变换。l Y = fft(X,n)返回X的n点DFT。如果X的长度比n小，则自动在X末尾补零；如果X长度比n大，则进行截短操作。如果X是矩阵，则对其列长度进行自动调整。l Y = fft(X,dim)Y = fft(X,n,dim)对X的第dim维进行DFT y = ifft(X) y = ifft(X,n) y = ifft(X,dim)

28、 y = ifft(X,n,dim)举例：1、一个频率为50Hz的正弦信号求其FFT。不截断和截断的情况f=50;fs=10*f;t=0:1/fs:1;x=sin(2*pi*f*t);y=fft(x);y2=fft(x,256);figure;subplot(3,1,1)plot(t,x);subplot(3,1,2)plot(abs(y);subplot(3,1,3)plot(abs(y2);若画图改成用stem函数2、分析截短对fft结果的影响对连续的单一频率周期信号 按采样频率 采样，截取长度N分别选N =20和N =16，观察其DFT结果的幅度谱。 解 此时离散序列 ，即k=8。用MA

29、TLAB计算并作图，函数fft用于计算离散傅里叶变换DFT，程序如下： k=8; n1=0:1:19; xa1=sin(2*pi*n1/k); subplot(2,2,1) plot(n1,xa1) xlabel(t/T);ylabel(x(n); xk1=fft(xa1);xk1=abs(xk1); subplot(2,2,2) stem(n1,xk1) xlabel(k);ylabel(X(k); n2=0:1:15; xa2=sin(2*pi*n2/k); subplot(2,2,3) plot(n2,xa2) xlabel(t/T);ylabel(x(n); xk2=fft(xa2);

30、xk2=abs(xk2); subplot(2,2,4) stem(n2,xk2) xlabel(k);ylabel(X(k); 计算结果示于图2.1，(a)和(b)分别是N=20时的截取信号和DFT结果，由于截取了两个半周期，频谱出现泄漏；(c) 和(d) 分别是N=16时的截取信号和DFT结果，由于截取了两个整周期，得到单一谱线的频谱。上述频谱的误差主要是由于时域中对信号的非整周期截断产生的频谱泄漏。 3、分析FFT所求结果的对称性例：序列x1=1 2 3 4 5 6 7 ,x2=1 2 3 4 5 6 7 8,分别求其fft，看结果如何x1=1 2 3 4 5 6 7 ;x2=1 2 3 4 5 6 7 8;y1=fft(x1);y2=fft(x2);z1=fftshift(y1);z2=fftshift(y2);figure;subplot(2,2,1)stem(abs(y1);grid onsubplot(2,2,2)stem(abs(z1);grid onsubplot(2,2,3)stem(abs(y2);grid onsubplot(2,2,4)stem(abs(z2);grid on4、频率坐标