塑性力学第2章-理想弹塑性材料三杆桁架问题

1、塑性力学第2章-理想弹塑性材料三 杆桁架问题 塑性力学塑性力学 第二章第二章 结构塑性性态的基本特征结构塑性性态的基本特征 塑性力学第2章-理想弹塑性材料三 杆桁架问题 2.1 理想弹塑性材料的三杆桁架问题理想弹塑性材料的三杆桁架问题 2.2 线性强化弹塑性材料的三杆桁架线性强化弹塑性材料的三杆桁架 2.3 几何大变形对桁架承载能力的影响几何大变形对桁架承载能力的影响 2.4 加载路径对于桁架内应力和应变的影响加载路径对于桁架内应力和应变的影响 2.5 载荷平面内的屈服曲线和极限曲线载荷平面内的屈服曲线和极限曲线 塑性力学第2章-理想弹塑性材料三 杆桁架问题 （a a）理想弹性）理想弹性 （b

2、 b）理想刚塑性）理想刚塑性 （c c）理想弹塑性）理想弹塑性 （d d）刚）刚- -线性强化线性强化 （e e）弹）弹- -线性强化线性强化 常用的理想化模型 塑性力学第2章-理想弹塑性材料三 杆桁架问题 塑性力学第2章-理想弹塑性材料三 杆桁架问题 塑性力学第2章-理想弹塑性材料三 杆桁架问题 2.1 理想弹塑性材料的三杆桁架问题理想弹塑性材料的三杆桁架问题 塑性力学第2章-理想弹塑性材料三 杆桁架问题 2.1 理想弹塑性材料的三杆桁架问题理想弹塑性材料的三杆桁架问题 13 NN 132 cos45NNNF 13 120 2/FA F 123 1 2 3 2 01 11 0 22lll 2

3、1 2 三根杆的两端都是铰连接。各杆初始的截面积均为A0，杆2的长 度为 l0 ，三杆连接处受竖直向下的力F作用，则: 塑性力学第2章-理想弹塑性材料三 杆桁架问题 此时此时, ,对应的外载为对应的外载为: :弹性极限载荷弹性极限载荷 ( (一一) ) 弹性阶段弹性阶段 2 0e l 1 0 2 0 1 * 22 2 * 22 F A F A 11 22 E E 21 2 120 2/FA 21 2 21 随着随着F F的增大的增大, ,第二根杆先达到屈服状态第二根杆先达到屈服状态: : e F 2 0 2 * 22 Y F A 0 1 (1) 2 eY FA 2 0 /lE 0 / Yl E

4、 塑性力学第2章-理想弹塑性材料三 杆桁架问题 ( (二二) ) 约束塑性阶段约束塑性阶段 2Y 13 1320 ()/2/FA 当当 时时, ,第二杆已经进入塑性变形第二杆已经进入塑性变形, ,但是但是1 1和和3 3杆仍然杆仍然 为弹性为弹性. . e FF 1 0 ()/2 Y F A Y F 123 三根杆中有一根进入塑性后，三杆桁架变成静定的了。三根杆中有一根进入塑性后，三杆桁架变成静定的了。 塑性力学第2章-理想弹塑性材料三 杆桁架问题 ( (三三) ) 塑性流动阶段塑性流动阶段 称为塑性极限。称为塑性极限。 0 0 (12) 2/ YY YY FA lE 0 0 1 (1) 2

5、/ eY eY FA lE 弹性极限：弹性极限： /2 2 Ye Ye FF 随着随着F的继续增大，最终使得第的继续增大，最终使得第1和和3杆也达到屈服。杆也达到屈服。 13Y F 123 0(1 2) YY FA 0 2/ YYl E 此时对应的外载为：此时对应的外载为： Y F Y F 塑性力学第2章-理想弹塑性材料三 杆桁架问题 塑性极限：塑性极限： 0 0 (12) 2/ YY YY FA lE 0 0 1 (1) 2 / eY eY FA lE 弹性极限：弹性极限： /2 2 Ye Ye FF e FF eY FFF Y FF 弹性阶段弹性阶段 约束塑性阶段约束塑性阶段 塑性流动阶段

6、塑性流动阶段 e F Y F 塑性力学第2章-理想弹塑性材料三 杆桁架问题 （四）（四） 卸载卸载 2Y e F F 11 22 / / E E 卸载服从弹性规律。卸载服从弹性规律。 Y 若加载到若加载到 后卸载，应力的后卸载，应力的 变化应该按弹性状态的变化规律变化应该按弹性状态的变化规律. . * eY FFF 1 0 2 0 1 * 22 2 * 22 F A F A 0 1 (1) 2 eY FA 2 0 2 * 22 F A 02 0 2 * 22 1 1 2 e Y F A F A 12 / 2 塑性力学第2章-理想弹塑性材料三 杆桁架问题 残余应力残余应力 * 0 1 * 0 2

7、 (1)/20 (1)0 Y e Y e F F F F 若将若将 全部卸除全部卸除: * F * 2YY ee FF FF 12 / 2 * FF 2Y 1 0 ()/2 Y F A 塑性力学第2章-理想弹塑性材料三 杆桁架问题 残余应变残余应变 * 0 1 (1)/20 Y e F F 0* 0 1 1 (1)/20 Y e F EFE * 000 111100 2(1)0 Y e F lll FE * 00 1 22 (1)0 e e F F 00 21 20 杆杆1中的残余应力为中的残余应力为 因为因为 ,杆杆1仍然为弹性仍然为弹性,其卸载也为弹性其卸载也为弹性,则则: * eY FF

8、F 杆杆1的位移的位移: 桁架的位移桁架的位移: 在低碳钢的拉伸试验中在低碳钢的拉伸试验中, ,经过屈服阶段卸载后的残余应变就是塑经过屈服阶段卸载后的残余应变就是塑 性应变性应变; ;而对本章中的静不定结构并非如此而对本章中的静不定结构并非如此, ,杆杆1 1中的残余应变为中的残余应变为 弹性应变弹性应变. . 塑性力学第2章-理想弹塑性材料三 杆桁架问题 重复加载重复加载 若在卸载完毕后再重复加载若在卸载完毕后再重复加载,由于从由于从 卸载到零的过程是弹卸载到零的过程是弹 性的性的,从零再加载到从零再加载到 仍然是弹性过程仍然是弹性过程. * F * F 0 2 0 0 2Y 初始状态初始状

9、态:杆杆2的弹性范围的弹性范围 整个桁架结构的弹性范围也扩大了整个桁架结构的弹性范围也扩大了 因此因此,在结构内部产生某种在结构内部产生某种有利的有利的残余应力状态可以扩大结残余应力状态可以扩大结 构的弹性范围。如工程中的预应力法等。构的弹性范围。如工程中的预应力法等。 此外，本节中的材料为理想弹塑性材料，没有强化效应，此外，本节中的材料为理想弹塑性材料，没有强化效应， 卸载后能出现弹性范围扩大效应，是挖掘结构的承载能力。卸载后能出现弹性范围扩大效应，是挖掘结构的承载能力。 塑性力学第2章-理想弹塑性材料三 杆桁架问题 卸载后重复加载扩大弹性范围卸载后重复加载扩大弹性范围 所挖掘出来的是结构的

10、承载能所挖掘出来的是结构的承载能 力，而不是材料的承载能力。力，而不是材料的承载能力。 塑性力学第2章-理想弹塑性材料三 杆桁架问题 2.2 线性强化弹塑性材料的三杆桁架线性强化弹塑性材料的三杆桁架 塑性力学第2章-理想弹塑性材料三 杆桁架问题 2.2 线性强化弹塑性材料的三杆桁架线性强化弹塑性材料的三杆桁架 jjY j Y YpjjY E E E 当 当 三根杆的两端都是铰连接。各杆初始的截面积均为A0，杆2的长 度为 l0 ，三杆连接处受竖直向下的力F作用，则: 假设材料是弹假设材料是弹-线性强化的线性强化的 强化模量是强化模量是Ep 塑性力学第2章-理想弹塑性材料三 杆桁架问题 jjY

11、j Y YpjjY E E E 当 当 e FF （1）当）当 时，桁架处于弹性阶段，上一节中得到的结时，桁架处于弹性阶段，上一节中得到的结 果仍然适用。果仍然适用。 （2）当）当 时，杆时，杆2进入塑性强化阶段。进入塑性强化阶段。 22 Y Yp E E e FF 11 E 杆杆1仍然为弹性：仍然为弹性： 120 2/FA 21 2 塑性力学第2章-理想弹塑性材料三 杆桁架问题 p 0 1 p 1 1 2 2 Y E F AE E E pp 0 2 p 1/2 1 2 Y EE F E AE E E （3）当）当F进一步增大，杆进一步增大，杆1也进入塑性：也进入塑性： 1Y 3Y 1 Y E

12、 21 2 2 Y E 22 Y Yp E E Y Yp E E 0 21 p Y E A E 121020 2NN2FAA 此时的外载为：此时的外载为： 0(1 2) YY FA 塑性力学第2章-理想弹塑性材料三 杆桁架问题 0 21 p Y E FA E 0(1 2) YY FA 1.041 Y F F 0.1 p E E 1 1 21 p Y E F FE 外载比较分析：外载比较分析： 线性强化弹塑性线性强化弹塑性: 理想弹塑性理想弹塑性: 当当 由此可见由此可见,考虑材料强化所得到的考虑材料强化所得到的F与理想弹塑性桁架的塑性极与理想弹塑性桁架的塑性极 限载荷差别不大限载荷差别不大.

13、塑性力学第2章-理想弹塑性材料三 杆桁架问题 线性强化材料进入塑性后应力线性强化材料进入塑性后应力 仍然随应变增长仍然随应变增长,F并不是承载并不是承载 极限极限;而理想弹塑性材料进入而理想弹塑性材料进入 塑性流动后不能继续承载塑性流动后不能继续承载. 塑性力学第2章-理想弹塑性材料三 杆桁架问题 2.3 几何大变形对桁架承载能力的影响几何大变形对桁架承载能力的影响 123 0 / l 2 2 100 lll 200 1lll 前面章节采用了以下假定：前面章节采用了以下假定： （1）小变形的假定）小变形的假定 （2）平衡方程建立在结构的初始几何上）平衡方程建立在结构的初始几何上 （3）杆截面不

14、发生变化）杆截面不发生变化 实际上：实际上： 2 0 1 21 2 l 塑性力学第2章-理想弹塑性材料三 杆桁架问题 2 110 11 ln/2ln(1) 22 ll 220 ln/ln(1)ll 1,2,3 jYPjj E 2 10010 1 2/ 1 2 AAllA 220 / 1AlA 杆的对数应变：杆的对数应变： 大变形的情况下，可将弹性变形忽略，采用刚大变形的情况下，可将弹性变形忽略，采用刚-线性强化材料模型。线性强化材料模型。 Y 塑性变形体积不变塑性变形体积不变,则则: 塑性力学第2章-理想弹塑性材料三 杆桁架问题 变形后变形后,杆杆1与杆与杆2的夹角为的夹角为: 2 21 1

15、cos/1/2 1 2 ll 在变形后的结构上建立平衡方程在变形后的结构上建立平衡方程: 1122 2cosFAA 1122 2cos YPYP FAEAE 2 00 2 2 1 1ln 1 2 11ln(1) 2 11 11 12 1 22 YP FAA E 塑性力学第2章-理想弹塑性材料三 杆桁架问题 2 00 2 2 1 1ln 1 2 11ln(1) 2 11 11 12 1 22 YP FAA E 当当 时，虽然有材料强化和时，虽然有材料强化和 变小两个因素使桁架在变小两个因素使桁架在 较较 小时力小时力 F 提高，但随着杆件截面积缩小，提高，但随着杆件截面积缩小， 值随着值随着 的

16、增大而减的增大而减 小，变成不稳定结构。当小，变成不稳定结构。当 时也有类似的变化趋势。时也有类似的变化趋势。 /1 PY E F /8 PY E 塑性力学第2章-理想弹塑性材料三 杆桁架问题 小结：几何大变形对结构承载能力可能产生重要的影响。一旦结构小结：几何大变形对结构承载能力可能产生重要的影响。一旦结构 进入塑性流动阶段（理想弹塑性材料）或者自由塑性变形阶段（强进入塑性流动阶段（理想弹塑性材料）或者自由塑性变形阶段（强 化材料），几何大变形对于结构的弹塑性来说，一般不可忽略，甚化材料），几何大变形对于结构的弹塑性来说，一般不可忽略，甚 至是一个起决定性作用的因素。至是一个起决定性作用的因

17、素。 塑性力学第2章-理想弹塑性材料三 杆桁架问题 2.4 加载路径对于桁架内应力和应变的影响加载路径对于桁架内应力和应变的影响 y F x Q 弹性状态下弹性状态下：应力应变满足线性关系，可以叠加， 因此不受加载路径的影响。 区别：区别： 弹塑性状态下弹塑性状态下：应力应变是非线性关系，而且有 加载卸载的区别，应力应变不是一一对应的关系， 不同的变形路径得到不同的结果。 考虑：节点同时受水平力考虑：节点同时受水平力Q和竖直力和竖直力F作用作用 塑性力学第2章-理想弹塑性材料三 杆桁架问题 2.4 加载路径对于桁架内应力和应变的影响加载路径对于桁架内应力和应变的影响 y F x Q (1) (

18、1) (2) A B Q F （1）非比例加载）非比例加载 （2）比例加载）比例加载 先施加F至极限载荷 ，同时保持Q=0；保持竖直位移不变的情况 下，Q逐步增大，至新的塑性状态。 Y F Q和F同时加载，整个过程 ，直至（1）的塑性状态。 :1:2F Q 塑性力学第2章-理想弹塑性材料三 杆桁架问题 （1）非比例加载）非比例加载 0(1 2) YY FA 从从O到到A点点 123Y 0 2/ 0 yYY x lE y F x Q (1) (1) A B Q F Y F 0 极限载荷极限载荷: 杆内应力杆内应力: 节点位移节点位移: 塑性力学第2章-理想弹塑性材料三 杆桁架问题 2130 13

19、0 ()2 ()2 F A Q A 03 02 01 2)( 2)( l l l xy y xy 312 应力关系应力关系 应变关系 当保持竖直位移不变情况下当保持竖直位移不变情况下,增加增加Q,此时此时F 将有相应的改变将有相应的改变. 用用 和和 表示表示F和和Q的改变量的改变量.FQ y F x Q 塑性力学第2章-理想弹塑性材料三 杆桁架问题 说明说明:第第1杆继续伸长，第杆继续伸长，第2杆长度不变，第杆长度不变，第3杆卸载杆卸载 02 0 033 21 lEE x 03 03 20 20 F A Q A FQ 2 从从A到到B点点(施加施加Q) 10 () 20 yx l 0 y 0

20、 xx 保持竖直位移不变保持竖直位移不变,故故:施加施加Q, 故故: 20 0 y l 30 () 20 yx l Y 2130 130 ()2 ()2 F A Q A F Q 塑性力学第2章-理想弹塑性材料三 杆桁架问题 B点状态点状态 施加施加Q后的变形过程后的变形过程:第第1杆继续伸长，第杆继续伸长，第2杆长度不变，第杆长度不变，第3杆卸载杆卸载 当当 , 使使 时时, 第第3杆进入反向杆进入反向(压缩压缩)屈服屈服,整整 个桁架再次进入塑性流动屈服，个桁架再次进入塑性流动屈服，Q停止增加，此时外载为停止增加，此时外载为: 3 2 Y 3Y N1 1 N2 Q F 123YY N1 N1

21、 N1 3 N3 N3 N3 2 N2 N2 N2 0 x F 13 cos45cos450NNQ 0 Y F 123 cos45cos450NNNF 塑性力学第2章-理想弹塑性材料三 杆桁架问题 00 2 YY QAFA YY E 0 x F 13 cos45cos450NNQ 0 Y F 123 cos45cos450NNNF 10Y NA 20Y NA 30Y NA 0 2/ yYYl E 330 20 x EEl 3 2 Y 0 4/2 xYY lE 123 3,2, YYY 塑性力学第2章-理想弹塑性材料三 杆桁架问题 (2) 比例加载比例加载 :1:2F Q (1) (1) (2)

22、 A B Q F Y F 0 2130 130 ()2 ()2 F A F A 213 从零开始加载从零开始加载,在弹性范围内在弹性范围内: 213 1 0 2 (2)0 212 F A 2 0 2 *0 12 F A 3 0 2 (2)0 212 F A 三者之中三者之中 最大最大,随着外载随着外载 增大增大,杆杆1先进入塑性状态先进入塑性状态. 1 塑性力学第2章-理想弹塑性材料三 杆桁架问题 1 0 2 (2) 212 F A 2 0 22 2 * 1223 2 e Y F A 3 0 222 2 21223 2 e Y F A 1Y 当当 时，由时，由 0 2 12 23 2 eY F

23、A 1Y 2 23 2 yY 2 12 23 2 xY 塑性力学第2章-理想弹塑性材料三 杆桁架问题 继续加载 20 30 (12) 2 F A F A 杆1进入塑性状态. 1 0 2QF 当 222 e Y 0 2 23 2 Y FA 0eY FFFA 0 22 YY QFAQ 22 22 23 2 e YY 塑性力学第2章-理想弹塑性材料三 杆桁架问题 123YY B点状态 232 yYxY 123 2, YYY 0 2/ YYYY ElE 塑性力学第2章-理想弹塑性材料三 杆桁架问题 比例加载 非比例加载 123 ,2 3,2, yYxY YYY 123 2,32 2, yYxY YYY

24、 00 2 YY QAFA 比例加载和非比例加载相同点比例加载和非比例加载相同点: 塑性力学第2章-理想弹塑性材料三 杆桁架问题 2.5 载荷平面内的屈服曲线和极限曲线载荷平面内的屈服曲线和极限曲线 (1) (1) (2) A B Q F Y F 0 载荷空间载荷空间:以结构上作用的各独立外载以结构上作用的各独立外载 作为坐标轴形成的空间作为坐标轴形成的空间 载荷平面内的屈服曲线载荷平面内的屈服曲线 1 0 12 (2 ) 212 FQ A 2 0 2 * 12 F A 3 0 12 (2 ) 212 FQ A 载荷空间内的一点载荷空间内的一点 载荷空间内的一组曲线载荷空间内的一组曲线 塑性力

25、学第2章-理想弹塑性材料三 杆桁架问题 1Y 2Y 3Y 当各杆中的应力分别满足上式当各杆中的应力分别满足上式,则桁架处于弹性状态则桁架处于弹性状态.而上式中有而上式中有 任何一个取等号时任何一个取等号时,桁架就开始屈服桁架就开始屈服. 初始弹性极限曲线初始弹性极限曲线:桁架初始弹性范围的边界桁架初始弹性范围的边界 00 12 (2)1 2 1 2 YY FQ AA 0 2 *1 12 Y F A 00 12 (2)1 2 1 2 YY FQ AA 塑性力学第2章-理想弹塑性材料三 杆桁架问题 极限曲线极限曲线 对于理想弹塑性材料的三杆桁架对于理想弹塑性材料的三杆桁架,当三根杆中有两根达到屈服

26、当三根杆中有两根达到屈服, 桁架就会变成机构桁架就会变成机构,在外载不变的情况下发生无限制的塑性流动在外载不变的情况下发生无限制的塑性流动. 12Y (1) 当当由平衡方程可得由平衡方程可得: 2130 130 ()2 ()2 F A Q A 30 30 ()2 ()2 YY Y F A Q A 0 3 0 12 12 Y Y Y FQ A Q A 0 1 121 Y Q A 0 20 Y Q A 限制条件 塑性力学第2章-理想弹塑性材料三 杆桁架问题 13YY (2) 当当由平衡方程可得由平衡方程可得: 2130 130 ()2 ()2 F A Q A 20 0 2 Y F A Q A 0

27、11 Y F A 只要载荷状态达到这个六边只要载荷状态达到这个六边 形上的某一点，桁架便处于形上的某一点，桁架便处于 塑性极限状态。塑性极限状态。 塑性力学第2章-理想弹塑性材料三 杆桁架问题 后继屈服曲线后继屈服曲线 当载荷加载到初始屈服曲线之外当载荷加载到初始屈服曲线之外,但仍然在极限曲线范围之内但仍然在极限曲线范围之内 时时,卸载再加载卸载再加载. 0Q 0Y FA 1 112 2 00 13 2 212 Y 0 2 2 1 12 Y 塑性力学第2章-理想弹塑性材料三 杆桁架问题 00 13 2 212 Y 0 2 2 1 12 Y 0 11 0 12 (2 ) 212 FQ A 0 2

28、2 0 2 * 12 F A 0 33 0 12 (2 ) 212 FQ A 后继弹性极限曲线后继弹性极限曲线 或后继屈服曲线或后继屈服曲线 1Y 2Y 3Y 再加载再加载 塑性力学第2章-理想弹塑性材料三 杆桁架问题 张量概念及其基本运算张量概念及其基本运算 1 1、张量概念、张量概念 张量分析是研究固体力学、流体力学及连续介张量分析是研究固体力学、流体力学及连续介 质力学的重要数学工具质力学的重要数学工具 。 张量分析具有高度概括、形式简洁的特点。张量分析具有高度概括、形式简洁的特点。 所有与坐标系选取无关的量，统称为物理恒量。所有与坐标系选取无关的量，统称为物理恒量。 在一定单位制下，只

29、需指明其大小即足以被说明在一定单位制下，只需指明其大小即足以被说明 的物理量，统称为标量。例如温度、质量、功等。的物理量，统称为标量。例如温度、质量、功等。 在一定单位制下，除指明其大小还应指出其方向在一定单位制下，除指明其大小还应指出其方向 的物理量，称为矢量。例如速度、加速度等。的物理量，称为矢量。例如速度、加速度等。 绝对标量只需一个量就可确定，而绝对矢量则需绝对标量只需一个量就可确定，而绝对矢量则需 三个分量来确定。三个分量来确定。 塑性力学第2章-理想弹塑性材料三 杆桁架问题 若我们以若我们以r表示维度，以表示维度，以n表示幂次，则关于三维表示幂次，则关于三维 空间，描述一切物理恒量

30、的分量数目可统一地表空间，描述一切物理恒量的分量数目可统一地表 示成：示成： M = 3n 现令现令 n 为这些物理量的阶次，并统一称这些物为这些物理量的阶次，并统一称这些物 理量为张量。理量为张量。 当当n=0时，零阶张量，时，零阶张量，M = 1，标量；，标量； 当当n=1时，一阶张量，时，一阶张量，M = 3，矢量；，矢量； 、 、 、 当取当取n时，时，n阶张量，阶张量，M = 3n。 塑性力学第2章-理想弹塑性材料三 杆桁架问题 在张量的讨论中，都采用下标字母符号，来表在张量的讨论中，都采用下标字母符号，来表 示和区别该张量的所有分量。示和区别该张量的所有分量。 不重复出现的下标符号称为自由标号。自由标不重复出现的下标符号称为自由标号。自由标 号在其方程内只罗列不求和。以自由标号的数号在其方程内只罗列不求和。以自由标号的数 量确定张量的阶次。量确定张量的阶次。 重复出现，且只能重复出现一次的下标符号称重复出现，且只能重复出现一次的下标符号称 为哑标号或假标号。哑标号在其方程内先罗列，为哑标号或假标号。哑标号在其方程