1.3逻辑函数及其运算规则

1、1 1.3 逻辑函数及其运算规则逻辑函数及其运算规则 随着电子技术特别是数字电子技术的发展，机械触点开关逐随着电子技术特别是数字电子技术的发展，机械触点开关逐 步被无触点电子开关所取代，现已较少使用步被无触点电子开关所取代，现已较少使用“开关代数开关代数”这个术这个术 语，转而使用逻辑代数以便与数字系统逻辑设计相适应。语，转而使用逻辑代数以便与数字系统逻辑设计相适应。 逻辑代数作为布尔代数的一种特例，研究数字电路输入、输逻辑代数作为布尔代数的一种特例，研究数字电路输入、输 出之间的因果关系，或者说研究输入和输出间的逻辑关系。因此，出之间的因果关系，或者说研究输入和输出间的逻辑关系。因此， 逻辑

2、代数是布尔代数向数字系统领域延伸的结果，是数字系统分逻辑代数是布尔代数向数字系统领域延伸的结果，是数字系统分 析和设计的数学理论工具。析和设计的数学理论工具。 2 1.3.1 三种基本逻辑三种基本逻辑 “与与”逻辑定义为当决定某一事件的所有条件都成立时，逻辑定义为当决定某一事件的所有条件都成立时， 这个事件才会发生。这种逻辑关系又称为逻辑这个事件才会发生。这种逻辑关系又称为逻辑“乘乘”。 “ “或或”逻辑定义为当决定某一事件的所有条件中只要有逻辑定义为当决定某一事件的所有条件中只要有 一个条件成立时，这个事件就会发生。这种逻辑关系又称为一个条件成立时，这个事件就会发生。这种逻辑关系又称为 逻辑

3、逻辑“加加”。 “ “非非”逻辑定义为否定，或称为求反，是指事件与使逻辑定义为否定，或称为求反，是指事件与使 事件发生的条件之间构成了否定的关系。亦即当事件发生时，事件发生的条件之间构成了否定的关系。亦即当事件发生时， 条件却不成立；反之，当条件成立时，事件不会发生。条件却不成立；反之，当条件成立时，事件不会发生。 3 AB A B EFEFFE R A 4 A AB BF F 0 00 00 0 0 01 11 1 1 10 01 1 1 11 11 1 A AF F 0 01 1 1 10 0 A AB BF F 0 00 00 0 0 01 10 0 1 10 00 0 1 11 11

4、1 表表1 112 12 与逻辑真值表与逻辑真值表 表表1 113 13 或逻辑真值表或逻辑真值表 表表1 114 14 非逻辑真值表非逻辑真值表 5 若用代数表达式来描述三种基本逻辑关系，若用代数表达式来描述三种基本逻辑关系， 可以写成：可以写成： 与逻辑与逻辑 F=AB F=AB 或写成或写成F=ABF=AB 或逻辑或逻辑 F=A+BF=A+B 非逻辑非逻辑 FA 6 7 1.3.2 逻辑运算逻辑运算 （1 1）与运算）与运算 F= AB F= AB （或（或F=ABF=AB） 00=0 01=000=0 01=0 10=0 11=1 10=0 11=1 8 （2 2）或运算）或运算 F=

5、A+BF=A+B 0+0=0 0+1=1 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1 1+0=1 1+1=1 由此可推知一般或运算的运算规则为：由此可推知一般或运算的运算规则为： A+0=AA+0=A A+1=1 A+1=1 A+A=A A+A=A 9 （3 3）非运算）非运算 FA 0110 由此可推知一般非运算的运算规则为：由此可推知一般非运算的运算规则为： 10 2复合逻辑运算复合逻辑运算 （1 1）与非逻辑）与非逻辑 与和非的复合逻辑称为与非逻辑，它可以看成与逻辑与和非的复合逻辑称为与非逻辑，它可以看成与逻辑 后面加了一个非逻辑，实现与非逻辑的电路称为与非门。后面加了一个非逻辑，实

6、现与非逻辑的电路称为与非门。 它是一种最常见的复合逻辑，表达式为它是一种最常见的复合逻辑，表达式为 FAB 11 （2 2）或非逻辑）或非逻辑 或和非的复合逻辑称为或非逻辑，可以看成或逻辑后面或和非的复合逻辑称为或非逻辑，可以看成或逻辑后面 加了一个非逻辑，实现或非逻辑的电路称为或非门。它加了一个非逻辑，实现或非逻辑的电路称为或非门。它 也是一种常见的复合逻辑，表达式为也是一种常见的复合逻辑，表达式为 FAB 12 （3 3）异或逻辑）异或逻辑 异或逻辑是指当两个输入逻辑变量取值相同时，输异或逻辑是指当两个输入逻辑变量取值相同时，输 出为出为0 0，不同（相异）时输出为，不同（相异）时输出为1

7、 1。实现异或逻辑的电路。实现异或逻辑的电路 称为异或门。表达式为称为异或门。表达式为 FABABAB 13 （4 4）同或逻辑）同或逻辑 同或逻辑又称为异或非逻辑，是指当两个输入逻辑变量同或逻辑又称为异或非逻辑，是指当两个输入逻辑变量 取值相同时，输出为取值相同时，输出为1 1，不同时输出为，不同时输出为0 0。实现同或逻辑的。实现同或逻辑的 电路称为同或门（或称为异或非门）。表达式为电路称为同或门（或称为异或非门）。表达式为 F=ABF=ABABA BAB 14 （5 5）与或非逻辑）与或非逻辑 是三种基本逻辑的组合，也可看成是与逻辑和或非是三种基本逻辑的组合，也可看成是与逻辑和或非 逻辑

8、的组合。表达式为逻辑的组合。表达式为 FABCD 15 16 1.3.3 逻辑代数基本定律和规则逻辑代数基本定律和规则 17 2扩充公式扩充公式 2 2扩充公式扩充公式 （1 1）扩充公式一）扩充公式一 1 1）A =0A =0，AA=AAA=A的扩充。的扩充。 当包含变量当包含变量X X、的函数、的函数f f和变量和变量X X相相“与与”时，函数时，函数f f中的中的X X均均 可用可用“1”1”代替，均可用代替，均可用“0”0”代替；当代替；当f f和变量和变量 相相“与与”时时 ，函数，函数f f中的中的X X均可用均可用“0”0”代替，代替， 均可用均可用“1”1”代替。即代替。即 X

9、fXf（X X，Y Y，Z Z）= Xf= Xf（1 1，0 0，Y Y，Z Z） ff（X X，Y Y，Z Z）= f= f（0 0，1 1，Y Y，Z Z） A X X X X X X X X 18 2 2）A+ =1A+ =1，A+ B=A+BA+ B=A+B，A+AB=AA+AB=A的扩充。的扩充。 当包含变量当包含变量X X、 的函数的函数f f和变量和变量X X相相“或或”时，函数时，函数f f中中 的的X X均可用均可用“0”0”代替，代替， 均可用均可用“1”1”代替。当代替。当f f和变量和变量 相相“ 或或”时，函数时，函数f f中的中的X X均可用均可用“1”1”代替，代

10、替， 均可用均可用“0”0”代替。代替。 即即 X+fX+f（X X，Y Y，Z Z）= X+f= X+f（0 0，1 1，Y Y，Z Z） +f+f（X X， ，Y Y，Z Z）= +f= +f（1 1，0 0，Y Y，Z Z） A A X X X X XX X X 19 （2 2）扩充公式二）扩充公式二 1 1）一个包含有变量）一个包含有变量X X、的函数、的函数f f，可展开为，可展开为XfXf和和 ff的逻辑的逻辑“或或”。即。即 f f（X X，Y Y，Z Z）= Xf= Xf（X X，Y Y，Z Z）+ f+ f（X X，Y Y，Z Z） = Xf= Xf（1 1，0 0，Y Y，

11、Z Z）+ f+ f（0 0，1 1，Y Y，Z Z） 2 2）一个包含有变量）一个包含有变量X X、的函数、的函数f f，可展开为（，可展开为（X+fX+f）和（）和（ +f+f）的逻辑）的逻辑“与与”。即。即 f f（X X，Y Y，Z Z）= X+f= X+f（X X，Y Y，Z Z） +f +f（X X，Y Y，Z Z） = X+f = X+f（0 0，1 1，Y Y，Z Z） +f +f（1 1，0 0，Y Y，Z Z） XX X XXX X X X X X XX X 20 3基本规则基本规则 逻辑代数有三个重要的规则，即代入规则、反演规则逻辑代数有三个重要的规则，即代入规则、反演规

12、则 和对偶规则。利用它们可将原有的公式加以扩充和扩展，和对偶规则。利用它们可将原有的公式加以扩充和扩展， 因此在逻辑运算中十分有用。因此在逻辑运算中十分有用。 21 （1 1）代入规则）代入规则 代入规则是指在任一逻辑等式中，如果将等式两边所有代入规则是指在任一逻辑等式中，如果将等式两边所有 出现的某一变量都代之以一个逻辑函数，则此等式仍然出现的某一变量都代之以一个逻辑函数，则此等式仍然 成立。成立。 22 例例1.9 1.9 将函数将函数B=XYB=XY代入代入 等式，证明新的等式仍然成立。等式，证明新的等式仍然成立。 证明：证明： 所以，原等式代入所以，原等式代入B=XYB=XY后仍然成立

13、。后仍然成立。 ()ABA XYAXYAXY ABAXYAXY ABAB 23 （2 2）反演规则）反演规则 已知一逻辑函数已知一逻辑函数F F，求其反函数时，只要将原函数，求其反函数时，只要将原函数F F中所中所 有的原变量变为反变量，反变量变为原变量；有的原变量变为反变量，反变量变为原变量；“”变变 为为“”,“”,“”变为变为“”；“0”0”变为变为“1”1”；“1”1” 变为变为“0”0”。这就是逻辑函数的反演规则。这就是逻辑函数的反演规则。 24 例例1.10 1.10 求原函数的反函数。求原函数的反函数。 解：根据反演规则可得解：根据反演规则可得 FABABCBD () () ()

14、FABABCBD 25 （3 3）对偶规则）对偶规则 已知一逻辑函数已知一逻辑函数F F，只要将其中所有的，只要将其中所有的“”变为变为“ ”, ”, “ ”“ ”变为变为“”，“0”0”变为变为“1”1”，“1”1”变为变为“0”0”， 而变量保持不变；原函数的运算先后顺序保持不变，那么而变量保持不变；原函数的运算先后顺序保持不变，那么 就可以得到一个新函数，新函数称为原函数就可以得到一个新函数，新函数称为原函数F F的对偶函数，的对偶函数， 记做。获得对偶函数的规则称为对偶规则。记做。获得对偶函数的规则称为对偶规则。 26 例例1.11 1.11 求原函数的对偶函数。求原函数的对偶函数。

15、解：根据对偶规则可得解：根据对偶规则可得 FABABCBD () () ()FABABCBD 在使用对偶规则时，也要注意保持原函数在使用对偶规则时，也要注意保持原函数 式中运算符号的优先顺序不变，为避免出式中运算符号的优先顺序不变，为避免出 错，应正确使用括号。错，应正确使用括号。 27 对偶函数与原函数具有如下特点：对偶函数与原函数具有如下特点： 原函数与对偶函数互为对偶函数，或者说一个函数对偶函原函数与对偶函数互为对偶函数，或者说一个函数对偶函 数的对偶函数是原函数本身。数的对偶函数是原函数本身。 任两个相等的函数，其对偶函数也相等。实际上，表任两个相等的函数，其对偶函数也相等。实际上，表1 1 2222中的两个表达式形式是互为对偶的。中的两个表达式形式是互为对偶的。 值得注意的是，在求函数的对偶式时，逻辑变量不进行反变值得注意的是，在求函数的对偶式时，逻辑变量不进行反变 换，这与反演规则不同。换，这与反演规则不同。 28 例例1.12 1.12 证明等式证明等式 ABACABAC 。 ABACAB ACAB AC ()()ABACABAC ACA BCABABC ABAC 证明：证明： 29 例例1.13 1.13 证明等式证明等式AB+