6 电磁场的势-达朗伯方程-推迟势

1、第八章第八章 电磁场势电磁场势 景建恩景建恩 E-mailE-mail： Office: Office: 教教5 5楼楼118A118A 20122012年年1212月月 北京北京 8.1 电磁场的势电磁场的势 8.2 均匀非导电媒质中电磁场势满足的微分方程均匀非导电媒质中电磁场势满足的微分方程 达朗伯方程达朗伯方程 8.3 达朗伯方程的解达朗伯方程的解 推迟势推迟势 8.4 推迟势的偶极展开推迟势的偶极展开 8.5 电偶极辐射和磁偶极辐射电偶极辐射和磁偶极辐射 8.6 均匀导电媒质中电磁场满足的微分方程均匀导电媒质中电磁场满足的微分方程 8.7 均匀导电媒质中的赫兹矢量均匀导电媒质中的赫兹矢

2、量 8.8 谐变电磁场势的赫姆霍兹方程谐变电磁场势的赫姆霍兹方程 章节安排章节安排 8.1 电磁场的势电磁场的势 1、 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 2、 标矢和矢势标矢和矢势 3、 规范变换规范变换 1 1、 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理：若矢量场若矢量场 在无限空间中处处单值，且其在无限空间中处处单值，且其 导数连续有界，而源分布在有限空间区域中，则导数连续有界，而源分布在有限空间区域中，则矢量场由其散矢量场由其散 度和旋度唯一确定度和旋度唯一确定，并且可以，并且可以表示为一个标量函数的梯度和一表示为一个标量函数的梯度和一 个矢量函数的旋度之和个矢量函数的旋度之和， 即即

3、 FA FGg F 证明：证明：假设在无限空间中有两个矢量函数假设在无限空间中有两个矢量函数 和和 ，它们具有，它们具有 相同的散度和旋度。但这两个矢量函数不等，令相同的散度和旋度。但这两个矢量函数不等，令 G F ()FGgGg 0g ()FGgGg 0g 要证明矢量场要证明矢量场由其散度和旋度由其散度和旋度唯一唯一确定确定，即矢量即矢量 和矢量和矢量 是同一矢量，是同一矢量， 应该为零矢量。应该为零矢量。 G F g GF GF G F 因为因为 和和 有相同的散度和旋度有相同的散度和旋度 由矢量场论中梯度的散度恒等于零由矢量场论中梯度的散度恒等于零, 令令 g 2 0 0g 0g 由在无

4、限空间中拉普拉斯方程解的有限性及由在无限空间中拉普拉斯方程解的有限性及 函数的函数的任意任意 性，知性，知 只能是一个常数，即只能是一个常数，即 ， 。 0g GF AAA 2 )( 0)( 0 A U 常用的矢量公式常用的矢量公式 在复杂情况下，解麦克斯韦方程是有困难的。在稳定电磁场的情在复杂情况下，解麦克斯韦方程是有困难的。在稳定电磁场的情 况下，引入标量势和矢量势可使求解大为况下，引入标量势和矢量势可使求解大为简化简化；对稳定场的势作适当；对稳定场的势作适当 修改，便适用于变化电磁场的普遍情况。修改，便适用于变化电磁场的普遍情况。 UA 在稳定场情况下，麦克斯韦方程在稳定场情况下，麦克斯

5、韦方程 组第二方程和第三方程组第二方程和第三方程 0 E0 B 稳定电场是有源场，稳定磁场是无源场稳定电场是有源场，稳定磁场是无源场 2 2、 标矢和矢势标矢和矢势 t B E 0 B t D jH f f D UA 标量场的梯度必为无旋场；矢量场的旋度必为无散场标量场的梯度必为无旋场；矢量场的旋度必为无散场 稳定电场是无旋场，稳定磁场是无散场稳定电场是无旋场，稳定磁场是无散场 稳定电场稳定电场U稳定磁场稳定磁场标势标势矢势矢势A 描述描述描述描述 定义：定义： ABUE 2 2、 标矢和矢势标矢和矢势 AB 普遍成立。普遍成立。 但电场但电场E的旋度不再为零，此时电场的旋度不再为零，此时电场

6、一部分是由电荷激发一部分是由电荷激发的，另一部分是由的，另一部分是由 变化磁场激发变化磁场激发的，而变化磁场激发的电场是有旋的。因此，在普遍情况下，的，而变化磁场激发的电场是有旋的。因此，在普遍情况下， 电场是电场是有旋和有源场有旋和有源场，不能用一个单一的标势来描述。由于磁场的激发关系，不能用一个单一的标势来描述。由于磁场的激发关系， 电场的表示式中必然包含描述磁场的矢势电场的表示式中必然包含描述磁场的矢势A。 在在变化电磁场的情况变化电磁场的情况下，下，磁场磁场仍保持无源性，仍保持无源性， t B E f D t B E 将将 AB 代入麦克斯韦第二方程式代入麦克斯韦第二方程式 得得0)(

7、 t A E 矢量矢量 t A E 则可以表示为某个标量函数的梯度，即则可以表示为某个标量函数的梯度，即 U t A E 这里仍用这里仍用U来表示标量函数，并且右边采用负号以使来表示标量函数，并且右边采用负号以使A与时间无与时间无 关时仍回到静电势。关时仍回到静电势。 )21 .8( ) 11 .8( AB t A UE 的旋度为零，的旋度为零， 式式(8.1-1)、(8.1-2)说明需用四个势函数说明需用四个势函数 zyx AAAU、 才能完全描述电磁才能完全描述电磁 场。应当注意，在变化电磁场中，电场和磁场是相互作用着的整体，即场。应当注意，在变化电磁场中，电场和磁场是相互作用着的整体，即

8、必须必须 把标势和矢势作为一个整体来描述电磁场把标势和矢势作为一个整体来描述电磁场。 3、 规范变换规范变换 由由(8.1-1)式和式和(8.1-2)式可知，式可知，E、B和和A、U是是微分方程微分方程的关系，这种关的关系，这种关 系不是一一对应的，即如果已知电场强度系不是一一对应的，即如果已知电场强度E和磁场强度和磁场强度B，则确定出来的，则确定出来的标标 势势U和矢势和矢势A并不是唯一的并不是唯一的。现在讨论场的势可以确定到什么程度。现在讨论场的势可以确定到什么程度。 如果对如果对A、U作如下的变换作如下的变换 t UUU AAA (8.1-3) 式中，式中，是任意标量函数。将此变换分别代

9、入是任意标量函数。将此变换分别代入(8.1-1)式和式和(8.1-2)式，得式，得 E t A UA tt UE BAAB )()( )( 即通过变化即通过变化(8.1-3)式引入的一组势式引入的一组势(A,U)和原来的一组势和原来的一组势(A,U)描述同一个电描述同一个电 磁场；换言之，对于同一个电磁场磁场；换言之，对于同一个电磁场E和和B，它的势，它的势(A,U)的选择并不是唯一的，的选择并不是唯一的， 通过变换通过变换(8.1-3)式可以找到许多组式可以找到许多组(A,U)来对应同一个电磁场。来对应同一个电磁场。(8.1-3)式称为式称为 势的势的规范变换规范变换，每一组，每一组(A,U

10、)称为一种称为一种规范规范。 由于表示电磁场客观属性的可测物理量是由于表示电磁场客观属性的可测物理量是E和和B，而不同规范又对应着，而不同规范又对应着 同一的同一的E和和B。因此，。因此，如果用势来描述电磁场，其所涉及的电磁现象的物理如果用势来描述电磁场，其所涉及的电磁现象的物理 规律都应当在规范变换下保持不变，这种不变性称为规律都应当在规范变换下保持不变，这种不变性称为规范不变性规范不变性。从式。从式(8.1- 3)可知，矢势仅仅确定到一任意标量函数的梯度；标势仅仅确定到同一任意可知，矢势仅仅确定到一任意标量函数的梯度；标势仅仅确定到同一任意 标量函数的时间导数。标量函数的时间导数。由于规范

11、不变性，才有可能在一定的附加条件下挑选由于规范不变性，才有可能在一定的附加条件下挑选 所需要的一组势来简化问题的计算所需要的一组势来简化问题的计算。这些附加条件通常是势之间的关系，称。这些附加条件通常是势之间的关系，称 为为规范条件规范条件。 不同情况可以选择不同的规范条件。如，在稳定场中，曾经选择称为不同情况可以选择不同的规范条件。如，在稳定场中，曾经选择称为库库 仑规范条件仑规范条件的的0 A 而使势的方程简化；在变化电磁场中，将会看到选择而使势的方程简化；在变化电磁场中，将会看到选择 称为称为洛伦兹规范条件洛伦兹规范条件的的0 t U A可以使势的方程简化。可以使势的方程简化。 8.2

12、均匀非导电媒质中电磁场势满足的微分方程均匀非导电媒质中电磁场势满足的微分方程 达朗伯方程达朗伯方程 1 1、 洛伦兹规范条件洛伦兹规范条件 2 2、 电磁场势的波动方程电磁场势的波动方程达朗伯方程达朗伯方程 )21 .8( ) 11 .8( AB t A UE 下面利用规范变换来求矢势下面利用规范变换来求矢势A和标势和标势U在均匀非导电媒质中在均匀非导电媒质中(即即=0，=常常 数，数，=常数常数)所满足的方程。所满足的方程。 将将(8.1-2)式代入麦克斯韦方程组的第一方程式中，得式代入麦克斯韦方程组的第一方程式中，得 t U t A jA f 2 2 1 根据矢量分析公式根据矢量分析公式

13、AAA 2 )( ，上式可化为，上式可化为 t U t A jAA f 2 2 2 )( 将上式整理，得将上式整理，得 f j t U A t A A )( 2 2 2 (8.2-1) 1 1、 洛伦兹规范条件洛伦兹规范条件 其次将其次将(8.1-1)式代入麦克斯韦方程组的第四方程式中，得式代入麦克斯韦方程组的第四方程式中，得 f t A U )( 即即 f t A U 2 (8.2-2) (8.2-1)式和式和(8.2-2)式中既有式中既有A也有也有U，并且两个方程并且两个方程 的形式不对称。但是可以利用规范来简化上面的方程。的形式不对称。但是可以利用规范来简化上面的方程。 即选择即选择A

14、和和U 使它满足一个附加条件使它满足一个附加条件 0 t U A 称为称为洛伦兹规范条件。洛伦兹规范条件。 0 t U A ) 42 . 8 ( ) 32 . 8 ( 2 2 2 2 2 2 f f t U U j t A A 这就是在这就是在洛伦兹规范洛伦兹规范下电磁场矢势下电磁场矢势A和标势和标势U所满足的微分方程。由此可所满足的微分方程。由此可 见，见，A所满足的方程和所满足的方程和U所满足的方程具有相同的形式。若已知自由电荷和传所满足的方程具有相同的形式。若已知自由电荷和传 导电流的分布就能从上列两方程求得导电流的分布就能从上列两方程求得A和和U，再从，再从(8.1-1)和和(8.1-

15、2)式求电磁场式求电磁场 强度强度E和和B。 (8.2-3)式和式和(8.2-4)式的微分方程，称为式的微分方程，称为波动方程波动方程。当右边为零时，称为。当右边为零时，称为 齐次波动方程；当右边不为零时，称为非齐次波动方程或齐次波动方程；当右边不为零时，称为非齐次波动方程或达朗伯方程达朗伯方程。 f j t U A t A A )( 2 2 2 f t A U 2 2 2、 洛伦兹规范下电磁场势的波动方程洛伦兹规范下电磁场势的波动方程 8.3 达朗伯方程的解达朗伯方程的解 推迟势推迟势 1、点电荷达朗伯方程的解点电荷达朗伯方程的解 2、随时间变化的体分布场源的推迟势随时间变化的体分布场源的推

16、迟势 8.3 达朗伯方程的解达朗伯方程的解 推迟势推迟势 在无限大均匀非导电煤质中，当在无限大均匀非导电煤质中，当 或或 为已知时，求解矢势为已知时，求解矢势A达朗达朗 伯方程与标势伯方程与标势U满足的达朗伯方程。满足的达朗伯方程。 由于两势函数满足的达朗伯方程在形式上完全相似，故只讨论其中一由于两势函数满足的达朗伯方程在形式上完全相似，故只讨论其中一 个方程（个方程（8.2-4）的解，方程（）的解，方程（8.2-3）的解可用类比的方法直接写出。）的解可用类比的方法直接写出。 求解原则：求解原则： 由于在线性、均匀、各向同性的非导电媒介质中，达朗伯方程是线性由于在线性、均匀、各向同性的非导电媒

17、介质中，达朗伯方程是线性 微分方程。如果场源分布在有限体积内，就可以把它分解成无限多个点源，微分方程。如果场源分布在有限体积内，就可以把它分解成无限多个点源， 解出点源的达朗伯方程后，任意有限体积分布的场源的解就是各点场源解解出点源的达朗伯方程后，任意有限体积分布的场源的解就是各点场源解 的叠加。的叠加。 ) 42 . 8 ( ) 32 . 8 ( 2 2 2 2 2 2 f f t U U j t A A 1、点电荷达朗伯方程的解点电荷达朗伯方程的解 如图如图8.3-1所示，设均匀非导电煤质中，在原所示，设均匀非导电煤质中，在原 点处放一随时间变化的点电荷点处放一随时间变化的点电荷Q(t)，

18、其电荷密度，其电荷密度 (r，t)=Q(t)(r),则此随时间变化的点电荷激发的标则此随时间变化的点电荷激发的标 势势U满足达朗伯方程满足达朗伯方程 )()( 2 2 2 rtQ t U U ) 13 . 8 ( )()(1 )( 1 2 2 2 2 2 rtQ t U vr U r rr 式中的式中的 是媒质的磁导率和介电常数。由是媒质的磁导率和介电常数。由 于点电荷于点电荷Q(t)激发的场是球对称的，选择球坐激发的场是球对称的，选择球坐 标系，因标系，因U仅与仅与r、t有关，则上式写成有关，则上式写成 由于仅在原点处有电荷，其余空间电荷为零，故除原点外，由于仅在原点处有电荷，其余空间电荷为

19、零，故除原点外，U 满足齐次波满足齐次波 动方程动方程 上式两边乘以上式两边乘以r可以得到可以得到 即即 这是齐次波动方程这是齐次波动方程 r U rU r rU )( U r rU r U r )( 2 2 2 2 2 )()()()(1)(1 )( 1 r rU r rU r r rU r rU r rU r rU r rrr U r rr 0 )(1)( 2 2 22 2 t rU vr rU 注：注： 它的通解为它的通解为 式中，式中，f1和和f2是存在二阶偏导数的两个待定函数。是存在二阶偏导数的两个待定函数。 由此可知，方程的球面对称解为由此可知，方程的球面对称解为 0 )(1)(

20、2 2 22 2 t rU vr rU U满足的齐次波动方程满足的齐次波动方程 )()( 21 v r tf v r tfrU r v r tf r v r tf U )()( 21 容易看出，此解与平面波不同，多出一个因子，显然，容易看出，此解与平面波不同，多出一个因子，显然，U随随r增大增大 而减小，这是一种球面波。这个解的第一项是由场源点以速度而减小，这是一种球面波。这个解的第一项是由场源点以速度v向向 外传播的球面波外传播的球面波。第二项是以相同速度。第二项是以相同速度v从无限远处从无限远处会聚在场源上会聚在场源上 点上的球面波点上的球面波。函数。函数f1和和f2的具体形式由物理条件确

21、定。的具体形式由物理条件确定。 当研究辐射问题时，电磁场是原点处的。随时间变化的电荷发出的，当研究辐射问题时，电磁场是原点处的。随时间变化的电荷发出的， 它向外发射。因此，在辐射问题中应取它向外发射。因此，在辐射问题中应取f2=0，即，即 函数函数f1的形式应由原点处的电荷随时间变化的形式确定。当的形式应由原点处的电荷随时间变化的形式确定。当 时，时， (8.3-1)式和式和(8.3-2)式分别过渡到泊松方程和拉普拉斯方程，它们的解分别为式分别过渡到泊松方程和拉普拉斯方程，它们的解分别为 为了使所得到的解一致，必须有为了使所得到的解一致，必须有 因此，在变化的磁场中应为因此，在变化的磁场中应为

22、 故所得到的解应取如下形式故所得到的解应取如下形式 r v r tf U )( 1 r tQ U 4 )( r tf U )( 1 和和 4 )( )( 1 tQ tf 4 )( )( 1 v r tQ v r tf r v r tQ trU 4 )( ),( 这意味着在这意味着在r处、在处、在t时刻的势，不是有时刻的势，不是有t时刻的电荷时刻的电荷Q(t)所决定的，而是由所决定的，而是由( ) 时刻的电荷（）所决定的，即时刻的电荷（）所决定的，即随时间的变化的点电荷从原点出发的球面随时间的变化的点电荷从原点出发的球面 电磁波以速度传播，到达处不是瞬时的电磁波以速度传播，到达处不是瞬时的，是推迟一段时间才到达的，因此，是推迟一段时间才到达的，因此， 称处的势为称处的势为推迟势推迟势。 r v r tQ trU 4 )( ),( 电磁场标量势的解满足如下形式电磁场标量势的解满足如下形式 如果随时间