北师大版初中数学八九年级下册《二次函数的实际应用》教案

1、北师大版初中数学八九年级下册二次函数的实际应用教案 【教学目标】1、知识与技能：学会把一些简单的实际生活中的二次函数问题抽象转化为数学问题，并能应用二次函数的相关性质解决问题，能进一步熟练掌握二次函数解析式的各种求法。 2、过程与方法：（1）以学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型，并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，培养学生分析问题和解决问题的能力。（2）让学生能把数学知识应用到生产、生活的实际中去，形成应用数学的意识。（3）通过小组合作探索，获得一些研究问题与合作交流的方法与经验。3、情感态度与价值观：体验函数知识的实际应用价值，感受数学与人类生

2、活的密切联系，从实践动手当中，让学生产生对数学的兴趣，从而培养学生观察和推理能力，体验主动探究的成功快乐。【重点和难点】重点：理解实际问题中的问题背景，弄清问题中相关量的关系，建立适当的数学模型，并把实际问题转化为数学问题。难点：如何把实际问题抽象转化为数学问题。【教学方法和手段】教学方法：学生在教师创设的情景中以问题为中心进行自主探究。教学手段：借助多媒体辅助教学，利用动画、投影等效果将教学内容直观化、形象化，丰富课堂教学形式，提高课堂教学效果。【教学过程】利润最优化问题牵动着每个现代人的心，形形色色的抛物线形状和运动轨迹常常落入我们的视野，这些都与二次函数密不可分，今天就让我们一起来探索与

3、二次函数有关的实际应用问题。 （一）师生互动，探索问题。例1：某商场购进一批单价为20元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多利润，商场决定提高销售价格。试销阶段每件产品的销售价x（元件）与产品每天的销售量y（件）之间的关系如下表：x(元件)24262830y(件)32282420假定每天销售件数y(件)与每件产品的销售价x（元件）始终满足一次函数。 (1)试求y与x之间的关系式； (2)怎样定价才能使每天获得利润最大？每天的最大利润是多少元？ (3)当销售价定为多少元时，每天利润150元？(4)为开拓市场，巩固顾客数量，该商场决定所有日用品利润率不超过40，并给日用品销售经理下达这样的任务，

4、这种日用品每天利润不能低于150元。如果你是这个销售经理，你可以在什么范围定价？（结合函数图像确定取值范围）在教师的引导下，学生自主研究、解答本题，并请学生说出解题思路以及答案，师生共同研究。并通过课件生动形象的的动画演示，引导学生解决实际问题，在此同时，培养用动态的观点看待一些事情，提高学生的建模能力，以及渗透数形结合的思想方法。（二）自主探究，提炼方法 练习1某瓜果基地市场部为指导该基地某种蔬菜的生产和销售，在对历年市场行情和生产情况进行了调查的基础上，对今年这种蔬菜上市后的市场售价和生产成本进行了预测，提供了两个方面的信息，如甲乙两图，注甲乙两图中的每个黑心点所对应的纵坐标分别指相应月份

5、的售价和成本，生产成本6月份最低，甲图的图像是线段，乙图的图像是抛物线段。请你根据图像提供的信息说明。（1）在三月份出售这种蔬菜，每kg的收益是多少元？（收益=售价成本）（2）哪个月出售这种蔬菜，每kg的收益最大，说明理由。对比例1练习1信息获取方式，引导学生自主探究在图像中获取有用的信息。（三）合作学习，小组汇报。例2：在青岛市开展的创城活动中，某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上修建一个矩形花园 abcd，花园的一边靠墙，中间用栅栏隔开分别种两种不同的花卉，栅栏总长为60m（如图所示）。若设花园的 bc 边长为 x (m)，花园的面积为 y (m )。（1）求y 与 x之间的函

6、数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；ef引导学生自主研究、解答本题，并请学生说出解题思路以及答案，纠正错误，引导学生列函数关系式时注意认真审题，明确每个代数式的含义。（2）满足条件的花园面积能达到300m吗？若能，求出此时x的值；若不能，说明理由；（3）根据（1）中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当 x 取何值时，花园的面积最大？最大面积为多少？引导学生独立完成后，4人一组交流讨论，找出答案曾经出现差异的组谈谈交流之后的结果。引导学生利用函数性质解决问题时应当注意自变量的取值范围。通过课件的动画演示，引导学生解决实际问题，在此同时，培养用动态的观点看待一些事情，提高学

7、生的建模能力，渗透数形结合的思想方法。通过合作学习，小组汇报等手段，领悟列函数关系式和利用函数性质解决问题时注意事项。（四）百家争鸣，一题多解。例3：在一条小河上有一座抛物线型石拱桥如图所示，正常水位时桥下水面宽度是6米，拱顶距水面4米。（1）当夏天多水季节到来的时候，水面上升1米后，此时水面宽度是多少米？（2）有一种运货的竹筏满载货物后横截面可以近似看做宽4米，高2米的长方形，问在正常水位下，竹筏能否通过拱桥？夏天多水季节到来的时候，竹筏能否通过拱桥？引导学生明确建立平面直角坐标系要注意的问题，注重一题多解，引导学生注意日常生活用语和二次函数相关的数学语言的互相转换。归纳把生活中的抛物线问题

8、转化为数学问题的一般步骤。（五）感悟与反思： （六）课后完成：练习2如图，在一块三角形区域abc中，c=90，边ac=8，bc=6，现要在abc内建造一个矩形水池defg，如图的设计方案是使de在ab上。 求abc中ab边上的高h；设dg=x,当x取何值时，水池defg的面积最大？实际施工时，发现在ab上距b点1.85的m处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为保护大树，请设计出另外的方案，使三角形区域中欲建的最大矩形水池能避开大树。练习3如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成。长方形的长是8m，宽是2m，抛物线可以用y-x+4表示。（1）一辆货运卡车高4m，宽2米，它能

9、通过该隧道吗？（2）如果该隧道内设双行道，那么这辆货运卡车是否可以通过？作业1. 某机械租赁公司有同一型号的机械设备40套. 经过一段时间的经营发现：当每套机械设备的月租金为270元时，恰好全部租出. 在此基础上，当每套设备的月租金提高10元时，这种设备就少租出一套，且未租出的一套设备每月需要支出费用（维护费、管理费等）20元，设每套设备的月租金为x（元），租赁公司出租该型号设备的月收益（收益=租金收入支出费用）为y（元）。（1）用含x的代数式表示未租出的设备数（套）以及所有未租出设备（套）的支出费用；（2）求y与x之间的二次函数关系式；（3）当月租金分别为4300元和350元时，租赁公司的月收益分别是多少元？此时应该租出多少套机械设备？请你简要说明理由；（4）请把（2）中所求的二次函数配方成y（x +） +的形式，并据此说明：当x为何值时，租赁公司出租该型号设备的月收益最大？最大月收益是多少？作业2. 图1是某段河床横断面的示意图.查阅该河段的水文资料，得到下表中的数据：x/m51020304050y/m0.1250.524.5812.5x5102030405