机械制图线面关系

1、第六章 线面的相对位置 一、平行问题 主要任务： 在投影图上绘制及判断绘制及判断： 1、直线与平面平行 若一直线平行于属于定平面的一直线，则该直线 与平面平行 一、平行问题 例1：试判断直线AB是否平行于定平面 f g f g b a a b c e d e d c （直线AB不平行于定平面 ） b a 例2：试过点K作水平线AB平行于CDE平面 c e d e d k k c a f f b 2、两平面平行 2、两平面平行 若属于一平面的相交两直线对应平行于属于另一 平面的相交两直线，则此两平面平行 一、平行问题 例3：试判断平面ABC是否平行于定平面EFG m n m n r r s s

2、k k 例4：已知定平面由平行两直线AB和CD给定。 试过点K作一平面平行于已知平面 。 e mn m n f e f s r s r _ 例5：试判断两平面是否平行。 e f e f s r s d d c a a c b b r PH SH 二、相交问题 主要任务： 在投影图上求： 并判断：线、面的可见性线、面的可见性 直线与平面相交只有一个交点，它是直线与 平面的共有点。 1、直线与平面相交 二、相交问题 两平面的交线为一直线，且为两平面所共有。 2、平面与平面相交 二、相交问题 1.投影面垂直线与一般位置平面相交 利用线的积聚性求解 例6：求直线MN与平 面ABC的交点。 二、相交问题

3、 OX a / b / c / a b c m /(n/) n m s / s k n由于交点K为直线MN上的点 且MN的V面影像积聚为一点 因此k /必重合于m/ k / n由于交点K为平面ABC上的点 因此含K作面内线AS即可找到k 判断可见性，即可补全MN的水平影像 k k 利用特殊位置平面的某些投影所具有的积聚性， 交点可直接求出。 2、一般位置直线与特殊位置平面相交 二、相交问题 例7：求直线MN与平面ABC的交点。 1 (2) (4) 3 判别可见性的原理： 直线EF与 平面 ABC 相交。 利用重影点。 判断例7中直线MN的可见性 二、相交问题 3.特殊位置平面与特殊位置平面相交

4、 例8：求平面ABCD与DEF的交线并判断可见性 e / f / g / e f g a / b / c / d / a (b) c (d) m (n) m/ n/ 利 用 面 的 积 聚 性 求 解 两面影像的重叠部位是交线影像的区间 f k f k 利用特殊位置平面的某些投影所具有的积聚性， 交线可直接求出。 4、一般位置平面与特殊位置平面相交 二、相交问题 例9：求两平面的交线并判断平面的可见性 f k 例10：求ABC与LMN交线的两投影并判断可见性 例10： 求LMN 与 四边形ABCD 交线的两投影 并判断可见性 s/ a/ s a b / c/ bc XO 例11：求矩形平面与两

5、个共边 三角形的交线并判断可见性 分析： 矩形平面为水平面 其任意一条面内线必是 水平线，交线也是 交线是共有线，亦是三 角形平面内的线 因此必平行面内任意一 条水平线，如AB、AC 求此题交线的水平影像 可找到交线上一点后作 ab、ac的平行线 二、相交问题 5、一般位置直线与一般位置平面相交 1、 过MN作正垂面Q 2、求Q平面与ABC的交线EF 3、求交线EF与MN的交点K 2 例12：求一般位置直线EF与一般位置平面ABC的交点K。 QV 2 1 k k 步骤： 1、 过EF作正 垂面Q 2、求Q平面与 ABC的交线 3、求交线 与EF的 交点K 1 例13：含点A作直线AB使之与交叉

6、两直线CD、EF都相交 图示分析： f / 例13：含点A作直线AB使之与交叉两直线CD、EF都相交 图示分析： f / 例13：含点A作直线AB使之与交叉两直线CD、EF都相交 图示分析： f / （1）线面交点法 用直线与平面求交点的方法求两 平面的共有点。 求出一个平面的图形边缘与另一 平面的两个交点，该两交点的连 线即为两平面的交线 6、两一般位置平面相交 二、相交问题 解题前要先判断哪个平面的哪条 边与另一平面有交点，然后利用 解决一般位置直线与一般位置平 面相交的方法求解 即：含线作垂面,找面面交线,找 线线交点,最后求出面面交线。 PV QV 1 2 2 1 k e e k 含M

7、N 作正垂 面P， 得 MN 与平面ABC交 点为K； 例14: 求两平面的交线 含 ML 作正垂 面Q，得ML与 平面ABC交点 为E; 连接K、E得交 线KE 判别可见性 步骤： （2）辅助平面法 6、两一般位置平面相交 二、相交问题 作辅助面，找辅助面与两已知 平面的交线，两交线的交点即为三 个面的公有点，也即两已知平面的 交线上的点，求两个如此之点，连 线即得两已知平面的交线。 为解题方便，辅助平面通常设作为水平面 例15：求两平面的交线 三 、垂 直 问 题 两两 平平 面面 垂垂 直直 1、直线与平面垂直 定理： 若一直线垂 直于一平面、则 直线的水平投影 必垂直于属于该 平面的水

8、平线的 水平投影；直线 的正面投影必垂 直于属于该平面 的正平线的正面 投影。 三 、垂 直 问 题 几何依据：若线面垂直，则线垂直于面内的两条交直线； 投影现象：线的V面影像垂直于面内正平线的V面影像； 线的H面影像垂直于面内水平线的H面影像 k l k l 若一直线垂直于属于平面的水平线的水平投影；直线 的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影、则直线 必垂直于该平面。 例16：平面由 BDF给定，试过定点K作平面的法线。 h a c a c h 例17：平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线MN是否 垂直于定平面。 ef e f 结论：不垂直 直径任取 NM 例18：试过点N作一平面

9、，使该平面与V面的夹角为60 ， 与H面的夹角为45 。 |YM-N| |ZM-N| m h mn m k |ZM-N| |YM-N| 30 45 mn mn k h n n 平面的法线与平面的最大斜度 线对同一投影面的夹角为互补 2 、两平面垂直 三 、垂 直 问 题 若一平面包 含另一平面 的垂线则该 两平面相互 垂直 反之亦然 h a c a c h 四.综合问题示例 此类问题通常包括下列基本作图： 1含定点或直线作平面以及在定平面内取点、线 2求直线与平面的交点 3求两平面的交线 4含定点作直线平行于定平面 5含定点作直线垂直于定平面 6含定点作平面垂直于定直线 解题思考： n空间分析

10、： 结合投影图理解题意，明确已知条 件与所 求之解的关系 n解题分析： 解题所采用的几何依据是哪些、是否确切， 制定合理、恰当的解题方法与步骤 n作图分析： 对应投影图按拟采用的解题方法及其步骤， 分析如何使所作图形（线）准确、简便 PH 例20：过点A作一直线与BC相交，并平行于DEF 含A作平面平行于DEF 找BC与之交点 连接交点与A点即得所求 Pv 1 / 1 2 / 2 3 / 3 4 / m n Qv 4 例20：过点A作一直线与BC相交，并平行于DEF 将A及BC视为购成平面ABC 找ABC与DEF的交线 过A作直线平行该交线即为所求 例20：过点A作一直线与BC相交，并平行于D

11、EF X1 V H1 f1 d1 c1 b1 a1 k1 K/ k 1 / 1 Pv 3 / 3 4/ 4 l l / k k / 例21：作直线，使之与直线MN平行，并交直线AB 于K，交直线CD于L。 含AB平行于MN作平面ABE 求ABE与DC之交点即得L 过L平行于MN作直线与AB交 点即为K L K e / e f / f S1v 1 / 1 2 / 2 3 / 3 4 / 4 例21：作直线，使之与直线MN平行，并交直线AB 于K，交直线CD于L。 含AB平行于MN作平面ABE 含CD平行于MN作平面CDF 求ABE与CDF之交线 X1 V1 H C1 / d1 / a1 / b1 / m1 / n1 / X2 V1H1 a1 b1 c1 (d1) m1 n1 k1 k1 / k k / l / l 例21：作直线，使之与直线MN平行，并交直线AB 于K，交直线CD于L。 投影变换 1 / 1 2 / 2 b b / AB AD AB c / c Pv B C 过A作垂直于AD的平面 求EF与垂面之交点即得B 求AB实长并找到对应在AD 上的影像长即得C点 例22：作直角等腰 ABC，ABAC，AB=AC， B点在